Obrót

1. Cele lekcji

a) Wiadomości

1. Zapoznanie uczniów z pojęciem obrotu w ujęciu klasycznym oraz częściowo analitycznym.

2. Poznanie podstawowych własności obrotu.

b) Umiejętności

1. Uczeń potrafi konstruować obrazy niektórych figur w obrocie.

2. Uczeń potrafi obliczać współrzędne obrazów punktów w obrocie o niektóre kąty.

3. Uczeń poszukuje argumentacji matematycznej w oparciu o poznaną definicję.

4. Ćwiczenie umiejętności pracy z tekstem matematycznym.

5. Ćwiczenie umiejętności pracy w grupie.

2. Metoda i forma pracy

Praca indywidualna, praca zespołowa.

3. Środki dydaktyczne

Komputer z rzutnikiem multimedialnym.

4. Przebieg lekcji

Zapoznanie uczniów z definicją obrotu (wypowiedź słowna, wprowadzenie nazewnictwa): ${\mathrm{\text{Ob}}}_S^{\alpha \ne 0}(X)=X\prime \iff \begin{array}{c}\hfill \{\mathrm{\text{SX}}=\mathrm{\text{SX}}\prime |\hfill \end{array}$.

Przy okazji takiej definicji nauczyciel wyjaśnił pojecie kąta skierowanego (wyodrębnienie pierwszego i drugiego ramienia, ruch od ramienia pierwszego do drugiego przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie ze wskazówkami zegara).

Następnie uczniowie samodzielnie, w oparciu o podaną definicję, konstruują obraz punktu w obrocie o dowolny kąt. Jeden z uczniów podaje swój sposób konstrukcji (ewentualne ulepszenia, inne propozycje). Potem nauczyciel wykonuje wskazaną konstrukcje na komputerze (wystarcza program CABRI 1), tak aby wszyscy uczniowie widzieli. Następnie porusza punktem X – uczniowie obserwują obraz X’ (w programie CABRI 1 jest to możliwe). Dodatkowo uczący zaznacza odcinek XX’.

R133yq2AvwbeB

R1emKoFCMi9Gz

R4WMJn2xWD0Sf

R1Il2dI1EE0wt

Po takiej obserwacji uczniowie otrzymują następujące polecenia:

• Czy obrót jest przekształceniem geometrycznym?

• Znajdź punkty stałe obrotu.

• Wyznacz zbiór wartości obrotu.

• Scharakteryzuj odcinki XX’, przy wszelkich położeniach punktu X.

• Co może być obrazem prostej, okręgu, trójkąta?

• Czy można wskazać takie dwa punkty X i Y, aby ?

• Jakie jest przekształcenie odwrotne do obrotu?

Odpowiedzi na powyższe pytania powinny być poparte argumentacją, choć w przypadku obrotu nie jest ona taka łatwa. Z tego tez powodu nauczyciel akceptuje formułowane przez uczniów wnioski bez ścisłego matematycznego uzasadnienia.

Uczniowie początkowo pracują samodzielnie w poszukiwaniu odpowiedzi na te pytania, potem tworzą grupy czteroosobowe (dwie sąsiednie ławki) i uzgadniają wspólne stanowisko. Następnie przechodzimy do wymiany poglądów. Grupy omawiają po jednym z pytań. Pojawiają się także na ekranie obrazy prostej, okręgu w obrocie konstruowane na zasadzie „miejsca geometrycznego punktu” (jest to jedna z opcji programu CABRI 1).

Rr8mVBKDafwAf

Rm0wlgoyeMQ1E

W wyniku pracy powinna zostać wypracowana następująca charakterystyka obrotu:

• Jest to przekształcenie geometryczne.

• Ma dokładnie jeden punkt stały: środek obrotu: jeśli X = X’, to , kąt nie jest kątem zerowym, zatem punkty X i S muszą się pokrywać.

• Zbiorem wartości jest cała płaszczyzna.

• Odcinki XX’ (przy wszelkich położeniach punktu X) są różnej długości: od 0 do dowolnie dużej, nie są do siebie równoległe. Symetralne tych odcinków przechodzą przez jeden punkt – środek obrotu.

• Obrazem prostej jest prosta, wydaje się, że tworzy ona z daną prostą kąt równy kątowi obrotu. Obrazem okręgu jest okrąg o tym samym promieniu.

• Obrót jest przekształceniem izometrycznym.

• Przekształceniem odwrotnym do obrotu jest obrót o kąt przeciwny do danego.

Kolejny etap lekcji dotyczy obrotu w układzie współrzędnych. Zadanie uczniów polega na znalezieniu związku pomiędzy współrzędnymi punktu , a współrzędnymi jego obrazu w obrocie wokół początku układu współrzędnych o kąty skierowane: 90Indeks górny °^°, 180Indeks górny °^°, 270Indeks górny °^°.

Nauczyciel przeprowadza odpowiednie rozumowanie dla kąta 90Indeks górny °^°.

RnXEaQ5yJzXIZ

Kąt AOA’ wynosi 90Indeks górny °^°. Obrotowi podlegają także współrzędne punktu A. I tak: obrazem współrzędnej x jest współrzędna y’ (zachowuje znak), a obrazem y jest x’ (następuje zmiana znaku na przeciwny). Stąd otrzymujemy, że .

Następnie uczniowie najpierw pracują samodzielnie, potem znów czwórkami. Na koniec grupy relacjonują swoje wyniki: W obrocie o kąt 180Indeks górny °^°obrazem punktu A(x, y) jest punkt . W obrocie o kąt 270Indeks górny o^o obrazem punktu A(x, y) jest punkt $A\prime (y,-x)$.

Na zakończenie uczniowie wykonują ćwiczenia, np.: Znajdź obraz trójkąta ABC w obrocie wokół punktu A o kąt BAC.

5. Bibliografia

1. Konior J., Repetytorium z CABRI, część II, [w:] „Matematyka i Komputery” nr 11, 2002, s. 5‑8.

2. Pająk W., Badanie przekształceń geometrycznych, [w:] „Nauczyciele i Matematyka” nr 8, 1993, s. 22‑23.

3. Pająk W., CABRI i przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, VULCAN, Wrocław 1994.

6. Załączniki

a) Zadanie domowe

1. Obierz dwa dowolne punkty A, B w układzie współrzędnych, znajdź ich obrazy A’, B’ w obrocie wokół początku układu współrzędnych o kąt 90Indeks górny °^°(potem: 270Indeks górny °^°, 180Indeks górny °^°). Sprawdź, czy AB = A’B’.

2. Czy istnieje związek pomiędzy symetrią środkową, a obrotem?

7. Czas trwania lekcji

2 godziny lekcyjne

8. Uwagi do scenariusza

brak