Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Przeanalizuj przykład pokazujący, jak obliczyć długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym oraz długość okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Poznaj też twierdzenie, w którym podany jest wzór na obliczenie promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

Przykład 1

W trójkącie prostokątnym $A B C$ dane są długości przyprostokątnych

|A C| = 16

|B C| = 30

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Ponieważ trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu na nim opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej.
Z twierdzenia Pitagorasa

{|A B|}^{2} = 16^{2} + 30^{2}

Po uwzględnieniu, że $|A B| > 0$ , otrzymujemy $|A B| = 34$ . Zatem promień $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $17$ .

R1e0QvbFEyBVC1

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku S opisany na trójkącie prostokątnym C A B o przyprostokątnych długości 16 i 30. Środek S podzielił przeciwprostokątną A B na pół tak, że odcinki S B oraz S A mają długość wielkie R. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $S$ i $r$ oznaczają odpowiednio środek i promień okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ . Okrąg ten jest styczny do przyprostokątnych $A C$ i $B C$ w punktach odpowiednio $D$ i $F$ , a do przeciwprostokątnej w punkcie $E$ , jak na rysunku.

RxMYJtQPb7Wt91

Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r wpisanego w trójkąt prostokątny A B C o przyprostokątnych BC=16 i AC=30 i przeciwprostokątnej AB długości 34. Okrąg jest styczny do przyprostokątnej BC w punkcie F, przyprostokątnej AC w punkcie D i przeciwprostokątnej AB w punkcie E. Odcinki w trójkącie mają długości: BF=16‑r, FC=r, CD=r, DA=30‑r, AE=30‑r, BE=16‑r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że

|C D| = |C F|

|B E| = |B F|

|A D| = |A E|

Czworokąt $S D C F$ jest kwadratem o boku $r$ . Zatem

|C D| = |C F| = r

|B E| = |B F| = 16 - r

Ponieważ

|A B| = |A E| + |B E|

|A D| = |A E| = 30 - r

16 - r + 30 - r = 34

Stąd $r = 6$ .
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ i przeciwprostokątnej długości $c$ , otrzymujemy związek między długościami boków trójkąta prostokątnego i promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

RUekJMOvfYiHl1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r wpisanego w trójkąt prostokątny A B C o przyprostokątnych BC=a i AC=b i przeciwprostokątnej AB długości c. Okrąg jest styczny do przyprostokątnej BC w punkcie F, przyprostokątnej AC w punkcie D i przeciwprostokątnej AB w punkcie E. Odcinki w trójkącie mają długości: BF=a‑r, FC=r, CD=r, DA=b‑r, AE=b‑r, BE=a‑r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

c = a - r + b - r

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Twierdzenie: Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Promień $r$ okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej długości $c$ jest równy

r = \frac{a + b - c}{2}