Określanie miejsc zerowych i wartości funkcji - zadania

Określanie miejsc zerowych i wartości funkcji to najbardziej przydatne umiejętności podczas analizy przebiegu zmienności funkcji.

W tym materiale:

wyznaczysz miejsca zerowe funkcji, która określona jest wzorem,
wyznaczysz wartości funkcji, która określona jest wzorem, tabelą lub grafem.

Jeżeli potrzebujesz przypomnieć sobie definicję miejsca zerowego i przeanalizować przykłady dotyczące tego zagadnienie skorzytaj z materiału Miejsca zerowe funkcjiD1G5NGlh2Miejsca zerowe funkcji.

Aby powtórzyć wiadomości dotyczące wartości funkcji dla danego argumentu skorzystaj z materiału Wartość funkcji dla danego argumentuDqUPeROFAWartość funkcji dla danego argumentu.

R14ae7OPNCZQi1

Ćwiczenie 1

$f (x) = 2 x + 3$
$f (x) = 15 - 5 x$
$f (x) = 3 x$
$f (x) = \frac{1}{3} x + 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYDGIoVawn7Mn1

Ćwiczenie 2

$x = 2$
$x = 1$
$x = - 1$
$x = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Funkcja $g$
$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$g (x)$	$0$	$\frac{7}{4}$	$\sqrt{5}$	$0$	$1$	$2$

RfEv5BzmmCYQu

$\frac{7}{4}$
$2$
$\sqrt{5}$
$6$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfmEoEoHSOlZ821

Ćwiczenie 4

Uzupełnij miejsca zerowe funkcji $f$ .

a) $f (x) = x^{3} - x :$ ............ , ............ , ............
b) $f (x) = x^{2} + x :$ ............ , ............
c) $f (x) = 2 x + 4 :$ ............
d) $f (x) = - 5 x - 20 :$ ............
e) $f (x) = \frac{x + 2}{x} :$ ............
f) $f (x) = \sqrt{x + 3} :$ ............
g) $f (x) = \frac{4 x - 4}{\sqrt{x}} :$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Rho6Q75tB8U7m1

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują dwa zbiory. Oba zbiory sa niepuste, a ich elementy to liczby. Pierwszy zbiór zawiera następujące elementy: 6; 4; -3; 0; -2; -1; 1. Drugi zbiór zawiera następujące elementy: 5; -4; 3; 0; -2. Każdy element z pierwszego zbioru ma przyporządkowany dokładnie jeden element z drugiego zbioru. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów z pierwszego zbioru do elementów z drugiego zbioru. Argumentowi 6 przyporządkowano wartość 5. Argumentowi 4 przyporządkowano wartość 0. Argumentowi -3 przyporządkowano wartość -4. Argumentowi 0 przyporządkowano wartość -2. Argumentowi -2 przyporządkowano wartość 3. Argumentowi -1 przyporządkowano wartość -4. Argumentowi 1 przyporządkowano wartość -2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RviG2an2znlMR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1PFfApGOhiYu11

Ćwiczenie 6

Oblicz wartość funkcji $f$ w punkcie $x = - 1$ .

a) $f (x) = \sqrt{x + 5} :$ ............
b) $f (x) = \frac{2}{\sqrt{- 2 x + 2}} :$ ............
c) $f (x) = \frac{3}{x + 4} :$ ............
d) $f (x) = \sqrt[3]{x - 7} :$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QvYjV2JaYft2

Ćwiczenie 7

$- 4$
$- 2$
$0$
$1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReExeiKdCytYl2

Ćwiczenie 8

$19$
$10$
$9$
$8$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1J7uSrmefwuE2

Ćwiczenie 9

$26$
$17$
$3$
$- 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Mi5BEg38nUW2

Ćwiczenie 10

$1$
$\sqrt{2}$
$\sqrt{3}$
$\sqrt{5}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Funkcja $g$ określona jest za pomocą tabeli.

Funkcja $g$
$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g (x)$	$4$	$3$	$2$	$1$	$1$	$2$	$3$	$4$

Wyznacz zbiór wartości funkcji $g$ .

RSjUNns2sQkX7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytaj z tebeli, jakie wartości przyjmuje funkcja $g$ dla wszystkich swoich argumentów.

$\{1, 2, 3, 4\}$ .

Ćwiczenie 12

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} & dla & x \leq 0 \\ x + 1 & dla & x > 0 \end{matrix}$ .

R1IrXOQQk2rfh

Oblicz wartości funkcji

f

dla podanych argumentów. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz odpowiednią liczbę. a.

f (0) =

0

, 2.

1

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{4}

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

\frac{7}{3}

, 8.

\sqrt{5} + 3

, 9.

\frac{5}{3}

, 10.

\frac{9}{5}

, 11.

\sqrt{5} + 2

, 12.

\sqrt{5} + 1

, 13.

5

, 14.

\sqrt{3} + 1

f (- \sqrt{2}) =

0

, 2.

1

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{4}

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

\frac{7}{3}

, 8.

\sqrt{5} + 3

, 9.

\frac{5}{3}

, 10.

\frac{9}{5}

, 11.

\sqrt{5} + 2

, 12.

\sqrt{5} + 1

, 13.

5

, 14.

\sqrt{3} + 1

f (\frac{2}{3}) =

0

, 2.

1

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{4}

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

\frac{7}{3}

, 8.

\sqrt{5} + 3

, 9.

\frac{5}{3}

, 10.

\frac{9}{5}

, 11.

\sqrt{5} + 2

, 12.

\sqrt{5} + 1

, 13.

5

, 14.

\sqrt{3} + 1

f (\sqrt{5}) =

0

, 2.

1

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{4}

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

\frac{7}{3}

, 8.

\sqrt{5} + 3

, 9.

\frac{5}{3}

, 10.

\frac{9}{5}

, 11.

\sqrt{5} + 2

, 12.

\sqrt{5} + 1

, 13.

5

, 14.

\sqrt{3} + 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Wyznacz miejsce zerowe następujących funkcji.

$f (x) = 4 x - 6$
$g (x) = 5 - 2 x$
$h (x) = \frac{2 x - 3}{7}$
$k (x) = \frac{9 - 3 x}{11}$

RZwIpJjYuPdud

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Na wykresie funkcji $f (x) = - 2 x + 5$ leży każdy z punktów: $A = (- 1, a)$ ,
$B = (0, b)$ , $C = (1, c)$ , $D = (2, d)$ . Oblicz $a$ , $b$ , $c$ i $d$ . Wpisz w luki odpowiednie liczby.

RxZLvGlVWaNjZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

$f (x) = x (x - 5)$
$g (x) = (2 x + 4) (x - 3)$
$h (x) = (x - 1) (5 - x)$
$k (x) = x (x + 2) (8 - 4 x)$

R18joT9LLjQJe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Dany jest okrąg o promieniu $r$ . Przez $P (r)$ oznaczamy funkcję określającą zależność między polem sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg a promieniem $r$ .

Podaj wzór funkcji $P$ .
Oblicz $P (2)$ .
Znajdź $r$ , dla którego funkcja $P$ przyjmuje wartość $54 \sqrt{3}$ .

R8Ifj4zOLZ7Zv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Dziedziną funkcji $f (x) = x^{2}$ jest przedział $〈- 5, 2〉$ . Znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość

$0$
$1$
$3$
$16$

RorvfMXH3QNkh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Funkcja $g$ określona jest, dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n,$ wzorem $g (n) = \frac{n^{2} - 1}{4}$ . Znajdź argument, dla którego funkcja $g$ osiąga wartość $20$ . Wpisz w lukę odpowiednią liczbę.

R18wi6I3O3Gac

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

$f (x) = x^{2} - 25$
$g (x) = 7 - x^{2}$
$h (x) = 9 x^{2} + 6 x + 1$
$k (x) = x^{2} - 12 x + 36$

RP1yduRuHMDFz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Funkcja $u$ jest określona wzorem $u (x) = \{\begin{matrix} - x - 1 & dla & x < - 3 \\ 2 & dla & - 3 \leq x \leq 2 \\ 2 x - 2 & dla & x > 2 \end{matrix}$ .

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ funkcja $u$ przyjmuje tylko wartości dodatnie.

R1ZZL6frazR3L

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiąż dwie nierówności: $- x - 1 > 0$ oraz $2 x - 2 > 0$ . Porównaj rozwiązania tych nierówności z podanymi przedziałami w funckji $u$ . Zastanów się, jakie wartości przyjmuje funkcja dla $- 3 \leq x \leq 2$ ?

Jeżeli $x < - 3$ , to $- x > 3$ , więc $u (x) = - x - 1 > 3 - 1 = 2$ , a zatem dla $x < - 3$ funkcja $u$ przyjmuje wartości dodatnie.

Jeżeli $- 3 \leq x \leq 2$ , to $u (x) = 2$ , więc funkcja $u$ przyjmuje wartości dodatnie.

Jeżeli $x > 2$ , to $2 x > 4$ , więc $u (x) = 2 x - 2 > 4 - 2 = 2$ , a zatem również dla $x > 2$ funkcja $u$ przyjmuje wartości dodatnie.

Wynika z tego, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ funkcja $u$ przyjmuje wartości dodatnie.