Pierwiastki godne szacunku

1. Cele lekcji

a) Wiadomości

Uczeń:

1. zna pojęcie pierwiastka arytmetycznego II i III stopnia z liczby nieujemnej;

2. zna pojęcie liczby niewymiernej;

3. rozumie różnicę w rozwinięciu dziesiętnym liczby wymiernej i niewymiernej;

4. umie obliczyć pierwiastek arytmetyczny II i III stopnia z liczby nieujemnej;

5. umie oszacować wartość wyrażenia zawierającego pierwiastki;

6. umie obliczyć wartość wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki.

b) Umiejętności

1. Uczeń potrafi obliczać pierwiastki drugiego i trzeciego stopnia.

2. Uczeń potrafi oszacować wartość pierwiastka.

3. Uczeń potrafi zastosować obliczone wielkości do rozwiązywania zadań.

2. Metoda i forma pracy

Prezentacja, dyskusja, wykonywanie ćwiczeń. Uczniowie pracują indywidualnie i w parach.

3. Środki dydaktyczne

Kalkulatory, karty pracy, panel projekcyjny RM wraz z kalkulatorem graficznym Casio.

4. Przebieg lekcji

a) Faza przygotowawcza

Zajęcia zaczynam od powtórzenia, ile to jest: $\sqrt{4},\sqrt{9},$$\sqrt{16},\sqrt{25},$$\sqrt{36},\sqrt{49},$$\sqrt{64},\sqrt{81},$$\sqrt{100},\sqrt{144},$

$\sqrt[3]{8},\sqrt[3]{27},\sqrt[3]{64},\sqrt[3]{125},\sqrt[3]{216},\sqrt[3]{1000}.$

Szacowanie wielkości nie zawsze jest łatwe. Jak policzyć w przybliżeniu wartości pierwiastków, które są liczbami niewymiernymi?

Przypomnijcie, jakie znacie liczby niewymierne.

Kiedy dana liczba jest liczbą niewymierną?

Ile to jest w przybliżeniu:

$\sqrt{10},\sqrt{15},$$\sqrt{19}$$\sqrt{23},\sqrt{50},$$\sqrt{61}$

Tu zaczynają się najczęściej na schody. Trudno jest dzieciom przewidzieć, jakimi liczbami są podane pierwiastki.

b) Faza realizacyjna

Przy pomocy kalkulatora z panelem projekcyjnym obliczamy wartości przybliżone kilku pierwiastków, jak na rysunkach:

RfPEDVbQklcly

Uczniowie zauważają, iż wartości pierwiastków liczb od 10 do 15 mieszczą się w granicach między 3 a 4, ponadto $\sqrt{10}$to niewiele ponad 3, zaś $\sqrt{15}$ to prawie 4.

Obie liczby, zarówno $\sqrt{10}$jak i $\sqrt{15}$ mieszczą się między $\sqrt{9}$, a $\sqrt{16}$, a te pierwiastki dzieci liczą bez kłopotów.

W takim razie między jakimi pierwiastkami, które potraficie obliczyć dokładnie, można umieścić $\sqrt{19}$i$\sqrt{23}$?

Odpowiedź nie będzie trudna:

między $\sqrt{16}$a $\sqrt{25}$, czyli między liczbami 4 i 5, oczywiście $\sqrt{19}$bliżej czwórki, zaś $\sqrt{23}$bliżej piątki. Przybliżoną wartością $\sqrt{19}$może być 4,3, zaś$\sqrt{23}$ około 4,8.

Sprawdzamy przy pomocy kalkulatora nasze przypuszczenia

Pomyłka niewielka w pierwszym przypadku.

R4lzGsqIgRO7U

Zostały jeszcze dwie liczby. Oszacujmy wielkość $\sqrt{50}$i$\sqrt{61}$.

Najpierw umieszczamy obie liczby między $\sqrt{49}$, a $\sqrt{64}$, czyli między 7, a 8. Przybliżone wartości szukanych pierwiastków to około 7,1 oraz 7,7.

R24fnLD1KHnrU

Sprawdzamy ponownie z kalkulatorem w ręku:

Podobnie możemy szacować wartości pierwiastków trzeciego stopnia.

Oszacuj wielkość $\sqrt[3]{30}$.

$\sqrt[3]{27}$< $\sqrt[3]{30}$ < $\sqrt[3]{64}$

Czyli 3 < $\sqrt[3]{30}$ < 4

Stąd przybliżona wielkość $\sqrt[3]{30}$$$3,1

Sprawdzamy przy pomocy kalkulatora:

RuOAPPqSa1dH0

Zadania do samodzielnego rozwiązania (karta pracy):

1. Oszacuj wartości pierwiastków, umieszczając je najpierw między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi. Staraj się liczyć najpierw bez kalkulatora, następnie sprawdź swoje obliczenia po uzupełnieniu brakujących wielkości.

• $\sqrt{26}$$\sqrt{83}$$\sqrt{97}$$\sqrt{103}$$\sqrt{119}$$\sqrt{147}$

• $\sqrt[3]{11}$$\sqrt[3]{19}$$\sqrt[3]{63}$$\sqrt[3]{121}$

c) Faza podsumowująca

Umiejętność szacowania pierwiastków jest bardzo przydatna przy obliczaniu pól powierzchni, czy objętości brył, zwłaszcza w sytuacjach praktycznych. Postarajcie się zdobyte wiadomości i umiejętności wykorzystać przy szacowaniu wielkości zadanych w pracy domowej.

5. Załączniki

a) Zadanie domowe

Jaką objętość w przybliżeniu będzie miał pojemnik, jeżeli z dokładnych obliczeń mamy (3$\sqrt{17}+8)m^3$?

Czy powierzchnia 10$\sqrt{7}{m}^2$ to więcej, czy mniej niż $30m^2$?

Oszacuj długość (100$\sqrt{123}+100)m$.

Sprawdź swoje przypuszczenia przy pomocy kalkulatora.

Rrhnb4YIeq0wt

Odp.

b) Karta pracy ucznia