Pierwiastki i potęgi - zadania

Pokaż ćwiczenia:

Materiał poświęcony jest zadaniom dotyczącym pierwiastkowania i potęgowania. Jeżeli potrzebujesz przypomnieć sobie podstawowe wiadomości odnośnie tego tematu, zajrzyj do lekcji Potęga o wykładniku wymiernymD1AUVRgYEPotęga o wykładniku wymiernym, Działania na potęgachD9yvb6PIIDziałania na potęgach lub Działania na pierwiastkachDpHZRqUPrDziałania na pierwiastkach.

Rx1FdbNzI4zXq2

Ćwiczenie 1

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\sqrt{27} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

\sqrt{11^{5}} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

\sqrt[4]{6^{3}} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

5^{\frac{5}{3}} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

{(\sqrt[3]{6})}^{4} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

3^{\frac{4}{5}} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

\sqrt[4]{125} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

11^{\frac{5}{6}} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

11^{\frac{2}{5}} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

\sqrt{0,1} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

5^{- \frac{2}{3}} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

\sqrt[3]{6^{- 4}} =

10^{- \frac{1}{2}}

, 2.

6^{- \frac{4}{3}}

, 3.

{(\sqrt[6]{11})}^{5}

, 4.

6^{\frac{4}{3}}

, 5.

11^{\frac{5}{2}}

, 6.

\sqrt[3]{0,04}

, 7.

3^{\frac{3}{2}}

, 8.

{(\sqrt[3]{5})}^{5}

, 9.

5^{\frac{3}{4}}

, 10.

\sqrt[5]{81}

, 11.

6^{\frac{3}{4}}

, 12.

\sqrt[5]{121}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQBFketWg2uzn

Ćwiczenie 2

Połącz w pary wartości sobie równe.

\sqrt{243}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{1}{4}}

, 2.

3^{\frac{4}{3}}

, 3.

3^{\frac{1}{2}}

, 4.

3^{\frac{1}{2}}

, 5.

3^{\frac{9}{4}}

, 6.

3^{\frac{5}{2}}

9 \sqrt[4]{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{1}{4}}

, 2.

3^{\frac{4}{3}}

, 3.

3^{\frac{1}{2}}

, 4.

3^{\frac{1}{2}}

, 5.

3^{\frac{9}{4}}

, 6.

3^{\frac{5}{2}}

3 \sqrt[3]{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{1}{4}}

, 2.

3^{\frac{4}{3}}

, 3.

3^{\frac{1}{2}}

, 4.

3^{\frac{1}{2}}

, 5.

3^{\frac{9}{4}}

, 6.

3^{\frac{5}{2}}

\frac{\sqrt{3^{5}}}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{1}{4}}

, 2.

3^{\frac{4}{3}}

, 3.

3^{\frac{1}{2}}

, 4.

3^{\frac{1}{2}}

, 5.

3^{\frac{9}{4}}

, 6.

3^{\frac{5}{2}}

\sqrt{\sqrt{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{1}{4}}

, 2.

3^{\frac{4}{3}}

, 3.

3^{\frac{1}{2}}

, 4.

3^{\frac{1}{2}}

, 5.

3^{\frac{9}{4}}

, 6.

3^{\frac{5}{2}}

\sqrt[3]{3 \sqrt{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{1}{4}}

, 2.

3^{\frac{4}{3}}

, 3.

3^{\frac{1}{2}}

, 4.

3^{\frac{1}{2}}

, 5.

3^{\frac{9}{4}}

, 6.

3^{\frac{5}{2}}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoWT1BUrHdlgi

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy liczba $x = 2 \sqrt[3]{4}$ spełnia nierówność $x < 2^{\frac{7}{3}}$ .

R1I1mzEaGW6QE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj z własności ${(\sqrt[n]{a})}^{m} = a^{\frac{m}{n}}$ .

$x = 2 \sqrt[3]{4} = 2 \sqrt[3]{2^{2}} = 2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{3}}$ .

Ponieważ $\frac{5}{3} < \frac{7}{3}$ to $2^{\frac{5}{3}} < 2^{\frac{7}{3}}$ , czyli liczba $2^{\frac{5}{3}}$ spełnia nierówność $x < 2^{\frac{7}{3}}$ .

RnZa8gf0IcBus

Ćwiczenie 5

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej. a)

5^{- \frac{1}{5}}

5^{\frac{1}{5}}

5^{\frac{2}{3}}

5^{\frac{3}{4}}

5^{- \frac{3}{4}}

.

1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

.

b)

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

{(0,3)}^{- 3}

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

.

1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

.

c)

\sqrt[3]{16}

\sqrt[3]{4}

\sqrt[4]{128}

\sqrt[4]{32}

\sqrt[3]{256}

\sqrt{8}

.

1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej. a)

5^{- \frac{1}{5}}

5^{\frac{1}{5}}

5^{\frac{2}{3}}

5^{\frac{3}{4}}

5^{- \frac{3}{4}}

.

1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

.

b)

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

{(0,3)}^{- 3}

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

.

1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

.

c)

\sqrt[3]{16}

\sqrt[3]{4}

\sqrt[4]{128}

\sqrt[4]{32}

\sqrt[3]{256}

\sqrt{8}

.

1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

, 1.

\sqrt{8}

, 2.

{(0,3)}^{- \frac{1}{2}}

, 3.

{(0,3)}^{\frac{5}{8}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

\sqrt[3]{4}

, 6.

{(0,3)}^{\frac{3}{7}}

, 7.

{(0,3)}^{\frac{1}{3}}

, 8.

5^{\frac{3}{4}}

, 9.

\sqrt[4]{32}

, 10.

{(0,3)}^{- 3}

, 11.

5^{- \frac{2}{3}}

, 12.

5^{\frac{2}{3}}

, 13.

5^{- \frac{3}{4}}

, 14.

\sqrt[4]{128}

, 15.

\sqrt[3]{256}

, 16.

{(0,3)}^{- \frac{5}{6}}

, 17.

5^{- \frac{1}{5}}

, 18.

5^{\frac{1}{5}}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Iz1okcLR6R51

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XqTy3TN0oXs1

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NaZfNYddCpy1

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReTfUNddha2Yw1

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aUpCeAeClVw1

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JyCpgsjBLt8

Ćwiczenie 11

Zapisz w postaci potęgi o podstawie

6

i wykładniku wymiernym. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\sqrt[4]{216}

=

6^{- \frac{2}{3}}

, 2.

6^{\frac{3}{2}}

, 3.

6^{\frac{3}{4}}

, 4.

6^{\frac{1}{4}}

, 5.

6^{- \frac{1}{3}}

, 6.

6^{\frac{5}{3}}

, 7.

6^{\frac{7}{2}}

, 8.

6^{\frac{7}{3}}

36 \sqrt[3]{6}

=

6^{- \frac{2}{3}}

, 2.

6^{\frac{3}{2}}

, 3.

6^{\frac{3}{4}}

, 4.

6^{\frac{1}{4}}

, 5.

6^{- \frac{1}{3}}

, 6.

6^{\frac{5}{3}}

, 7.

6^{\frac{7}{2}}

, 8.

6^{\frac{7}{3}}

{(\frac{324}{9})}^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[4]{36}

=

6^{- \frac{2}{3}}

, 2.

6^{\frac{3}{2}}

, 3.

6^{\frac{3}{4}}

, 4.

6^{\frac{1}{4}}

, 5.

6^{- \frac{1}{3}}

, 6.

6^{\frac{5}{3}}

, 7.

6^{\frac{7}{2}}

, 8.

6^{\frac{7}{3}}

\frac{1}{36} \cdot {(\sqrt{6})}^{- 2} \cdot \sqrt[3]{6^{8}}

=

6^{- \frac{2}{3}}

, 2.

6^{\frac{3}{2}}

, 3.

6^{\frac{3}{4}}

, 4.

6^{\frac{1}{4}}

, 5.

6^{- \frac{1}{3}}

, 6.

6^{\frac{5}{3}}

, 7.

6^{\frac{7}{2}}

, 8.

6^{\frac{7}{3}}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rc01IAkrVCcd02

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReCwjWJAr5gsT

Ćwiczenie 13

Oblicz. Wynik zapisz w postaci potęgi o podstawie będącej liczbą naturalną. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

3^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3^{4}} \cdot {(\frac{1}{9})}^{2,5}

=

3^{- 3}

, 2.

2^{5,5}

, 3.

2^{\frac{121}{6}}

, 4.

3^{- 5}

, 5.

5^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{149}{6}}

, 7.

5^{\frac{1}{3}}, 8.

6^{\frac{1}{3}}, 9.

3^{6}

, 10.

3^{4}

, 11.

3^{\frac{1}{20}}

, 12.

3^{\frac{1}{10}}

, 13.

4^{2,5}

, 14.

5^{\frac{1}{2}}

, 15.

2^{4}

, 16.

2^{3}

, 17.

2^{1,5}

, 18.

3^{4,5}

8 \cdot \sqrt[4]{4} \cdot {(0,5)}^{\frac{1}{2}}

=

3^{- 3}

, 2.

2^{5,5}

, 3.

2^{\frac{121}{6}}

, 4.

3^{- 5}

, 5.

5^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{149}{6}}

, 7.

5^{\frac{1}{3}}, 8.

6^{\frac{1}{3}}, 9.

3^{6}

, 10.

3^{4}

, 11.

3^{\frac{1}{20}}

, 12.

3^{\frac{1}{10}}

, 13.

4^{2,5}

, 14.

5^{\frac{1}{2}}

, 15.

2^{4}

, 16.

2^{3}

, 17.

2^{1,5}

, 18.

3^{4,5}

\frac{1}{\sqrt[4]{6}} \cdot {(\sqrt[3]{36})}^{2} \cdot {(6^{\frac{3}{4}})}^{- 1}

=

3^{- 3}

, 2.

2^{5,5}

, 3.

2^{\frac{121}{6}}

, 4.

3^{- 5}

, 5.

5^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{149}{6}}

, 7.

5^{\frac{1}{3}}, 8.

6^{\frac{1}{3}}, 9.

3^{6}

, 10.

3^{4}

, 11.

3^{\frac{1}{20}}

, 12.

3^{\frac{1}{10}}

, 13.

4^{2,5}

, 14.

5^{\frac{1}{2}}

, 15.

2^{4}

, 16.

2^{3}

, 17.

2^{1,5}

, 18.

3^{4,5}

{(\frac{1}{8})}^{- 3,5} \cdot {(\frac{1}{4})}^{2,5}

=

3^{- 3}

, 2.

2^{5,5}

, 3.

2^{\frac{121}{6}}

, 4.

3^{- 5}

, 5.

5^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{149}{6}}

, 7.

5^{\frac{1}{3}}, 8.

6^{\frac{1}{3}}, 9.

3^{6}

, 10.

3^{4}

, 11.

3^{\frac{1}{20}}

, 12.

3^{\frac{1}{10}}

, 13.

4^{2,5}

, 14.

5^{\frac{1}{2}}

, 15.

2^{4}

, 16.

2^{3}

, 17.

2^{1,5}

, 18.

3^{4,5}

9^{0,4} \cdot \sqrt{3^{0,5}} \cdot {(\frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}}

=

3^{- 3}

, 2.

2^{5,5}

, 3.

2^{\frac{121}{6}}

, 4.

3^{- 5}

, 5.

5^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{149}{6}}

, 7.

5^{\frac{1}{3}}, 8.

6^{\frac{1}{3}}, 9.

3^{6}

, 10.

3^{4}

, 11.

3^{\frac{1}{20}}

, 12.

3^{\frac{1}{10}}

, 13.

4^{2,5}

, 14.

5^{\frac{1}{2}}

, 15.

2^{4}

, 16.

2^{3}

, 17.

2^{1,5}

, 18.

3^{4,5}

\sqrt{27} : 3^{- \frac{5}{2}}

=

3^{- 3}

, 2.

2^{5,5}

, 3.

2^{\frac{121}{6}}

, 4.

3^{- 5}

, 5.

5^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{149}{6}}

, 7.

5^{\frac{1}{3}}, 8.

6^{\frac{1}{3}}, 9.

3^{6}

, 10.

3^{4}

, 11.

3^{\frac{1}{20}}

, 12.

3^{\frac{1}{10}}

, 13.

4^{2,5}

, 14.

5^{\frac{1}{2}}

, 15.

2^{4}

, 16.

2^{3}

, 17.

2^{1,5}

, 18.

3^{4,5}

\frac{1}{4} \sqrt{8} \cdot {(\frac{1}{64})}^{- 2} \cdot 16^{- 2,5}

=

3^{- 3}

, 2.

2^{5,5}

, 3.

2^{\frac{121}{6}}

, 4.

3^{- 5}

, 5.

5^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{149}{6}}

, 7.

5^{\frac{1}{3}}, 8.

6^{\frac{1}{3}}, 9.

3^{6}

, 10.

3^{4}

, 11.

3^{\frac{1}{20}}

, 12.

3^{\frac{1}{10}}

, 13.

4^{2,5}

, 14.

5^{\frac{1}{2}}

, 15.

2^{4}

, 16.

2^{3}

, 17.

2^{1,5}

, 18.

3^{4,5}

\frac{5^{- 3} \cdot {(0,2)}^{1,5} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{{0,04}^{3}} \cdot 5^{- 0,5}}

=

3^{- 3}

, 2.

2^{5,5}

, 3.

2^{\frac{121}{6}}

, 4.

3^{- 5}

, 5.

5^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{149}{6}}

, 7.

5^{\frac{1}{3}}, 8.

6^{\frac{1}{3}}, 9.

3^{6}

, 10.

3^{4}

, 11.

3^{\frac{1}{20}}

, 12.

3^{\frac{1}{10}}

, 13.

4^{2,5}

, 14.

5^{\frac{1}{2}}

, 15.

2^{4}

, 16.

2^{3}

, 17.

2^{1,5}

, 18.

3^{4,5}

\frac{{(0,125)}^{- 3,5} \cdot \sqrt[3]{64} \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{{(32 \sqrt{2})}^{- 2}}

=

3^{- 3}

, 2.

2^{5,5}

, 3.

2^{\frac{121}{6}}

, 4.

3^{- 5}

, 5.

5^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{149}{6}}

, 7.

5^{\frac{1}{3}}, 8.

6^{\frac{1}{3}}, 9.

3^{6}

, 10.

3^{4}

, 11.

3^{\frac{1}{20}}

, 12.

3^{\frac{1}{10}}

, 13.

4^{2,5}

, 14.

5^{\frac{1}{2}}

, 15.

2^{4}

, 16.

2^{3}

, 17.

2^{1,5}

, 18.

3^{4,5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RuBNGu8fQHYMu

Ćwiczenie 14

Niech

x

będzie liczbą dodatnią. Oblicz i zapisz wynik w postaci jednej potęgi o podstawie

x

x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{x}

=

Możliwe odpowiedzi: 1.

x^{- \frac{1}{3}}

, 2.

x^{\frac{1}{4}}

, 3.

x^{\frac{1}{4}}

, 4.

x^{- \frac{1}{12}}

, 5.

x^{- 3}

, 6.

x^{- 2,5}

, 7.

x^{\frac{23}{12}}

\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}

=

Możliwe odpowiedzi: 1.

x^{- \frac{1}{3}}

, 2.

x^{\frac{1}{4}}

, 3.

x^{\frac{1}{4}}

, 4.

x^{- \frac{1}{12}}

, 5.

x^{- 3}

, 6.

x^{- 2,5}

, 7.

x^{\frac{23}{12}}

\frac{x^{- 1,5} \cdot x^{2,5} \cdot x^{3}}{{(x^{3,5})}^{2}}

=

Możliwe odpowiedzi: 1.

x^{- \frac{1}{3}}

, 2.

x^{\frac{1}{4}}

, 3.

x^{\frac{1}{4}}

, 4.

x^{- \frac{1}{12}}

, 5.

x^{- 3}

, 6.

x^{- 2,5}

, 7.

x^{\frac{23}{12}}

\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{6}} \cdot {(x^{3,5})}^{- 1}}{x^{- 1} \cdot \sqrt{x^{6}}}

=

Możliwe odpowiedzi: 1.

x^{- \frac{1}{3}}

, 2.

x^{\frac{1}{4}}

, 3.

x^{\frac{1}{4}}

, 4.

x^{- \frac{1}{12}}

, 5.

x^{- 3}

, 6.

x^{- 2,5}

, 7.

x^{\frac{23}{12}}

\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{3}}}

=

Możliwe odpowiedzi: 1.

x^{- \frac{1}{3}}

, 2.

x^{\frac{1}{4}}

, 3.

x^{\frac{1}{4}}

, 4.

x^{- \frac{1}{12}}

, 5.

x^{- 3}

, 6.

x^{- 2,5}

, 7.

x^{\frac{23}{12}}

{(\sqrt{x^{3}} : \sqrt[4]{x^{5}})}^{- \frac{1}{3}}

=

Możliwe odpowiedzi: 1.

x^{- \frac{1}{3}}

, 2.

x^{\frac{1}{4}}

, 3.

x^{\frac{1}{4}}

, 4.

x^{- \frac{1}{12}}

, 5.

x^{- 3}

, 6.

x^{- 2,5}

, 7.

x^{\frac{23}{12}}

\sqrt[3]{{(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}}

=

Możliwe odpowiedzi: 1.

x^{- \frac{1}{3}}

, 2.

x^{\frac{1}{4}}

, 3.

x^{\frac{1}{4}}

, 4.

x^{- \frac{1}{12}}

, 5.

x^{- 3}

, 6.

x^{- 2,5}

, 7.

x^{\frac{23}{12}}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rvfhlgc0zfcUP2

Ćwiczenie 15

Przeciągnij liczby do odpowiednich grup. liczby mniejsze od

2^{\frac{3}{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(\sqrt[4]{0,125})}^{2}

, 2.

\sqrt{\sqrt{2}}

, 3.

\sqrt{\sqrt{4} \sqrt[4]{16} \sqrt[8]{256}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

{(\sqrt{0,25})}^{5}

, 6.

\sqrt[5]{4^{4}}

, 7.

\sqrt[4]{2}

, 8.

\sqrt[4]{4^{3}}

, 9.

{(\sqrt{16^{\frac{1}{4}}})}^{3}

, 10.

{(16^{- \frac{1}{2}} \sqrt{8})}^{- 4}

, 11.

{(\sqrt{0,25})}^{- 3}

, 12.

{(\sqrt[8]{8})}^{3}

, 13.

{(\sqrt[3]{0,25})}^{- 2}

, 14.

2 \sqrt[3]{32}

liczby większe od

2^{\frac{3}{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(\sqrt[4]{0,125})}^{2}

, 2.

\sqrt{\sqrt{2}}

, 3.

\sqrt{\sqrt{4} \sqrt[4]{16} \sqrt[8]{256}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

{(\sqrt{0,25})}^{5}

, 6.

\sqrt[5]{4^{4}}

, 7.

\sqrt[4]{2}

, 8.

\sqrt[4]{4^{3}}

, 9.

{(\sqrt{16^{\frac{1}{4}}})}^{3}

, 10.

{(16^{- \frac{1}{2}} \sqrt{8})}^{- 4}

, 11.

{(\sqrt{0,25})}^{- 3}

, 12.

{(\sqrt[8]{8})}^{3}

, 13.

{(\sqrt[3]{0,25})}^{- 2}

, 14.

2 \sqrt[3]{32}

liczby równe liczbie

2^{\frac{3}{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(\sqrt[4]{0,125})}^{2}

, 2.

\sqrt{\sqrt{2}}

, 3.

\sqrt{\sqrt{4} \sqrt[4]{16} \sqrt[8]{256}}

, 4.

\sqrt[3]{16}

, 5.

{(\sqrt{0,25})}^{5}

, 6.

\sqrt[5]{4^{4}}

, 7.

\sqrt[4]{2}

, 8.

\sqrt[4]{4^{3}}

, 9.

{(\sqrt{16^{\frac{1}{4}}})}^{3}

, 10.

{(16^{- \frac{1}{2}} \sqrt{8})}^{- 4}

, 11.

{(\sqrt{0,25})}^{- 3}

, 12.

{(\sqrt[8]{8})}^{3}

, 13.

{(\sqrt[3]{0,25})}^{- 2}

, 14.

2 \sqrt[3]{32}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RMIesnd0rn2n7

Ćwiczenie 16

Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

{(2 + 5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 - 5^{\frac{1}{2}})}^{2} =

4

, 2.

16

, 3.

8 + 2 \sqrt{13}

, 4.

6

, 5.

18

, 6.

6 - 2 \sqrt{13}

, 7.

22

, 8.

24

, 9.

20

, 10.

2

, 11.

- 70

, 12.

- 74

, 13.

- 72

, 14.

8 - 4 \sqrt{13}

, 15.

14

(3 - 7^{0, 5}) (3 + 7^{0, 5}) =

4

, 2.

16

, 3.

8 + 2 \sqrt{13}

, 4.

6

, 5.

18

, 6.

6 - 2 \sqrt{13}

, 7.

22

, 8.

24

, 9.

20

, 10.

2

, 11.

- 70

, 12.

- 74

, 13.

- 72

, 14.

8 - 4 \sqrt{13}

, 15.

14

{(12^{\frac{1}{2}} - 27^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(12^{\frac{1}{2}} + 27^{\frac{1}{2}})}^{2} =

4

, 2.

16

, 3.

8 + 2 \sqrt{13}

, 4.

6

, 5.

18

, 6.

6 - 2 \sqrt{13}

, 7.

22

, 8.

24

, 9.

20

, 10.

2

, 11.

- 70

, 12.

- 74

, 13.

- 72

, 14.

8 - 4 \sqrt{13}

, 15.

14

{({(6 + 11^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} + {(6 - 11^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} =

4

, 2.

16

, 3.

8 + 2 \sqrt{13}

, 4.

6

, 5.

18

, 6.

6 - 2 \sqrt{13}

, 7.

22

, 8.

24

, 9.

20

, 10.

2

, 11.

- 70

, 12.

- 74

, 13.

- 72

, 14.

8 - 4 \sqrt{13}

, 15.

14

{({(4 - 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} + {(4 + 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} =

4

, 2.

16

, 3.

8 + 2 \sqrt{13}

, 4.

6

, 5.

18

, 6.

6 - 2 \sqrt{13}

, 7.

22

, 8.

24

, 9.

20

, 10.

2

, 11.

- 70

, 12.

- 74

, 13.

- 72

, 14.

8 - 4 \sqrt{13}

, 15.

14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Wykaż, że:

$12^{\frac{1}{2}} + 27^{\frac{1}{2}} = 75^{\frac{1}{2}}$
$12^{\frac{1}{2}} + 48^{\frac{1}{2}} = 108^{\frac{1}{2}}$
$32^{\frac{1}{3}} + 108^{\frac{1}{3}} = 500^{\frac{1}{3}}$
$3^{\frac{5}{3}} + 3^{\frac{8}{3}} = 4 \cdot 3^{\frac{5}{3}}$

RF2FUnnYNhCjD

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$12^{\frac{1}{2}} + 27^{\frac{1}{2}} = \sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 3} = 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} =$ $= 5 \sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75} = 75^{\frac{1}{2}}$
$12^{\frac{1}{2}} + 48^{\frac{1}{2}} = \sqrt{12} + \sqrt{48} = \sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 3} = 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} =$ $= 6 \sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108} = 108^{\frac{1}{2}}$
$32^{\frac{1}{3}} + 108^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{32} + \sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{8 \cdot 4} + \sqrt[3]{27 \cdot 4} = 2 \sqrt[3]{4} + 3 \sqrt[3]{4} = 5 \sqrt[3]{4} =$ $\sqrt[3]{125 \cdot 4} = \sqrt[3]{500} = 500^{\frac{1}{3}}$
$3^{\frac{5}{3}} + 3^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{3^{5}} + \sqrt[3]{3^{8}} = \sqrt[3]{3^{5}} + \sqrt[3]{3^{5} \cdot 3^{3}} = \sqrt[3]{3^{5}} + 3 \sqrt[3]{3^{5}} = 4 \sqrt[3]{3^{5}} = 4 \cdot 3^{\frac{5}{3}}$

Ćwiczenie 18

Wykaż, że podana równość jest prawdziwa.

${(4 + 12^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} - {(4 - 12^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 2$
${(14 + {6 \cdot 5}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} + {(14 - {6 \cdot 5}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 6$

RLhQrKahE67IF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

${(4 + 12^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} - {(4 - 12^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 2$

$(4 + 12^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot {(4 + 12^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(4 - 12^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} + (4 - 12^{\frac{1}{2}}) = 4$

$4 + 12^{\frac{1}{2}} - 2 {(16 - 12)}^{\frac{1}{2}} + 4 - 12^{\frac{1}{2}} = 4$

$8 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} = 4$

$8 - 4 = 4$

$4 = 4$

${(14 + 6 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} + {(14 - 6 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 6$

$(14 + 6 \cdot 5^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot {(14 + 6 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(14 - 6 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} + (14 - 6 \cdot 5^{\frac{1}{2}}) = 36$

$14 + 6 \cdot 5^{\frac{1}{2}} + 2 {(196 - 36 \cdot 5)}^{\frac{1}{2}} + 14 - 6 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 36$

$28 + 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} = 36$

$28 + 8 = 36$

$36 = 36$

Ćwiczenie 19

Wykaż, że ${(6 + 20^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} - {(6 - 20^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ jest liczbą całkowitą.

RzttHrlNfHKz0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $x = {(6 + 20^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} - {(6 - 20^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6 + \sqrt{20}} - \sqrt{6 - \sqrt{20}}$ .

Zatem kwadrat tej liczby, to

$x^{2} = {(\sqrt{6 + \sqrt{20}} - \sqrt{6 - \sqrt{20}})}^{2} =$

$= 6 + \sqrt{20} - 2 \cdot \sqrt{6 + \sqrt{20}} \cdot \sqrt{6 - \sqrt{20}} + 6 - \sqrt{20} =$

$= 6 - 2 \cdot \sqrt{36 - 20} + 6 = 12 - 2 \cdot 4 = 12 - 8 = 4$ .

Oznacza to, że liczba ${(6 + 20^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} - {(6 - 20^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ jest równa $2$ lub $-2$ .