Pierwiastki kwadratowe i sześcienne

Potęgą liczby $a$ o wykładniku naturalnym $n$ nazywamy iloczyn $n$ czynników, z których każdy jest równy liczbie $a$.

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej $a$ nazywamy taką liczbę nieujemną $b$, której kwadrat jest równy liczbie $a$. Pierwiastek ten oznaczamy symbolem $\sqrt{a}$.

Pierwiastek kwadratowy nazywany jest również pierwiastkiem stopnia drugiego.

Mówimy, że liczba $a$ w wyrażeniu $\sqrt{a}$ to liczba podpierwiastkowa.

Obliczymy pierwiastki podanych liczb.

$\sqrt{16}=4$, bo $4^2=16$

$\sqrt{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,5}$, bo ${\mathrm{0,5}}^2=\mathrm{0,25}$

$\sqrt{1}=1$, bo $1^2=1$

$\sqrt{49}=7$, bo $7^2=49$

$\sqrt{121}=11$, bo ${11}^2=121$

$\sqrt{0}=0$, bo $0^2=0$

$\sqrt{36}=6$, bo $6^2=36$

$\sqrt{81}=9$, bo $9^2=81$

$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$, bo ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$

$\sqrt{\mathrm{1,69}}=\mathrm{1,3}$, bo ${\left(\mathrm{1,3}\right)}^2=\mathrm{1,69}$

$\sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$, bo ${\left(1\frac{1}{4}\right)}^2=1\frac{9}{16}$

Pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych nie określamy, ponieważ nie znamy takich liczb, które podniesione do kwadratu mają wartość ujemną.

• Pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$, której sześcian jest równy liczbie $a$. Pierwiastek ten oznaczamy symbolem $\sqrt[3]{a}$.

• Pierwiastek sześcienny nazywany jest również pierwiastkiem stopnia trzeciego.

• $\sqrt[3]{a}=b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b^3=a$.

• $\sqrt[3]{64}=4$, bo $4^3=64$

• $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}$, bo ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^3=-\frac{1}{27}$

• $\sqrt[3]{-1}=-1$, bo ${\left(-1\right)}^3=-1$

• $\sqrt[3]{8}=2$, bo $2^3=8$

• $\sqrt[3]{1000}=10$, bo ${10}^3=1000$

• $\sqrt[3]{-125}=-5$, bo ${\left(-5\right)}^3=-125$

• $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$, bo ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{8}$

• $\sqrt[3]{27}=3$, bo $3^3=27$

• $\sqrt[3]{\frac{64}{125}}=\frac{4}{5}$, bo ${\left(\frac{4}{5}\right)}^3=\frac{64}{125}$

• $\sqrt[3]{-\mathrm{0,008}}=-\mathrm{0,2}$, bo ${\left(-\mathrm{0,2}\right)}^3=-\mathrm{0,008}$

• $\sqrt[3]{-\frac{1000}{343}}=-\frac{10}{7}$, bo ${\left(-\frac{10}{7}\right)}^3=-\frac{1000}{343}$

Nie zawsze jest możliwe podanie takiej liczby, której druga lub trzecia potęga jest równa liczbie podpierwiastkowej. Zastanówmy się, ile jest równy $\sqrt{5}$. Zgodnie z pojęciem pierwiastka kwadratowego, jest to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy $5$.

Szukaną liczbą nie jest $2$, ponieważ $2^2=4<5$, ani $3$, ponieważ $3^2=9>5$.

Zatem $\sqrt{5}$ jest większy od $2$ i mniejszy od $3$.

Spróbujmy dokładniej przybliżyć wartość $\sqrt{5}$ poprzez wyznaczanie kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego tej liczby. Obliczmy kwadraty liczb od $\mathrm{2,1}$ do $\mathrm{2,9}$.

Ponieważ ${\left(\mathrm{2,2}\right)}^2=\mathrm{4,84}<5<\mathrm{5,29}={\left(\mathrm{2,3}\right)}^2$.

Postępując podobnie, czyli obliczając kwadraty liczb od $\mathrm{2,21}$ do $\mathrm{2,29}$, otrzymamy:

Ponieważ ${\left(\mathrm{2,23}\right)}^2=\mathrm{4,9729}<5<\mathrm{5,0176}={\left(\mathrm{2,24}\right)}^2$, to $\mathrm{2,23}<\sqrt{5}<\mathrm{2,24}$.

Obliczając kwadraty liczb od $\mathrm{2,231}$ do $\mathrm{2,232}$, otrzymamy:

Ponieważ ${\left(\mathrm{2,236}\right)}^2=\mathrm{4,999696}<5<\mathrm{5,004169}={\left(\mathrm{2,237}\right)}^2$, to:

$\mathrm{2,236}<\sqrt{5}<\mathrm{2,237}$.

Postępując w podobny sposób, wyznaczymy kolejne cyfry po przecinku, które występują w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\sqrt{5}$.

Otrzymujemy

W rozwinięciu dziesiętnym liczby $\sqrt{5}$ nie powtarza się żadna grupa cyfr i jest ich nieskończenie wiele. Nie można zapisać liczby $\sqrt{5}$ w postaci liczby wymiernej.

Zatem liczba $\sqrt{5}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Jest ona przykładem liczby niewymiernej. Jej wartość podawana jest najczęściej w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku i wynosi: $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,24}$.

• Przykładami liczb, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe, są:

$\pi =\mathrm{3,14}$

$\mathrm{2,30300300030000300000}\dots$

$\mathrm{0,123456789101112131415}\dots$

• Przykładami liczb niewymiernych są pierwiastki kwadratowe z liczb dodatnich, które nie są kwadratami liczb wymiernych i pierwiastki sześcienne z liczb, które nie są sześcianami liczb wymiernych. Na przykład:

Do obliczeń stosuje się ich przybliżenia, najczęściej z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku, które otrzymujemy na przykład za pomocą kalkulatora.