Podobieństwo figur w zadaniach

1. Cele lekcji

Wiadomości

Uczniowie utrwalają sobie pojęcie przystawania figur i podobieństwa figur, cechy takich figur.

b. Umiejętności

Po zajęciach uczeń:

• potrafi wskazać figury przystające,

• potrafi wymienić cechy figur przystających,

• potrafi wskazać figury podobne,

• potrafi wymienić cechy figur podobnych,

• potrafi wykonać symetrie i jednokładności figur,

• potrafi wykonać przesunięcie równoległe i obrót figury,

• rozwiązuje zadania tekstowe na podobieństwo figur,

• potrafi formułować wnioski i zapisywać je w języku matematyki.

1. • ćwiczenia praktyczne – zadania konstrukcyjne,

   • praca w grupach – tworzenie plansz i rozwiązywanie zadań.

1. papier A4 (blok rysunkowy lub techniczny) i blok milimetrowy A4;

2. mazaki kolorowe, przybory geometryczne;

3. plansze dydaktyczne: Figury przystające i figury podobne, Symetrie, Jednokładność figur, Przesunięcie równoległe i obrót figury, Przekształcenia figur na płaszczyźnie;

4. Schemat oceny zajęć.

Uczniowie zajmują miejsca przy stolikach. Nauczyciel wyjaśnia przebieg zajęć i kolejno wykonywane przez uczniów czynności. Uczniowie łączą się w grupy czteroosobowe. Każda grupa otrzymuje zestaw figur:

• kwadraty o boku: 8 cm, 2 cm, 5 cm, 5 cm

• trójkąty równoboczne o boku: 8 cm, 5 cm, 4 cm, 5 cm

• trójkąty prostokątne o przyprostokątnych: 9 cm i 6 cm, 6 cm i 8 cm, 4 cm i 3 cm

• prostokąty o bokach: 8 cm i 4 cm, 4 cm i 2 cm, 6 cm i 8 cm

Uczniowie wybierają z tych zestawów:

Grupa 1, 2, 3 – pary (lub kilka) figur przystających.

Grupa 4, 5, 6 – pary (lub więcej figur podobnych (ale nieprzystających).

Przyklejają pary takich figur na plansze A3 lub A2 z podpisem: „Figury przystające” lub „Figury podobne”. Nauczyciel wyjaśnia uczniom, że figury podobne to takie, które są wykonane w pewnej skali. Wybierając zatem pary figur podobnych uczniowie sprawdzają rachunkowo, czy jedna figura jest powiększeniem lub pomniejszeniem drugiej.

Ustnie przypominają cechy figur przystających i cechy figur podobnych. Podsumowaniem są plansze, które pokazuje nauczyciel. Z plansz tych uczniowie mogą korzystać przy samodzielnym wykonywaniu zadań konstrukcyjnych.

Faza realizacyjna

1. Uczniowie wykonują na kartkach A4 zadania (mogą sobie wzajemnie pomagać),a w razie problemu z danym zadaniem – pracę ich wspomaga nauczyciel. Ponieważ zajęcia odbywają się w klasie drugiej, nauczyciel wyjaśnia uczniom pojęcie jednokładności, jako sposobu otrzymywania obrazu figury w powiększeniu lub zmniejszeniu. Uczniowie analizują planszę ilustrującą to przekształcenie. Nauczyciel wyjaśnia na tablicy sposób konstrukcji figur. W trakcie ćwiczeń wyjaśnia uczniom indywidualnie, jak otrzymać konstrukcyjnie obraz figury. Podobnie nauczyciel wyjaśnia uczniom istotę pozostałych przekształceń, którymi nie zajmowali się w czasie lekcji szkolnych – przesunięcie równoległe i obrót o dany kąt.

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii względem prostej a (prosta leży poza trójkątem).

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii względem prostej a (prosta przecina trójkąt ).

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii względem punktu S (S – leży poza trójkątem).

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii względem punktu S (S – leży wewnątrz trójkąta).

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w przesunięciu równoległym o dany wektor w.

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w obrocie o kąt 60Indeks górny 0⁰ względem punktu S.

2. Uczniowie wykonują na kartkach A4 (papier milimetrowy) zadania powtórzeniowe: Masz trójkąt w układzie współrzędnych A = (-2; -1) B = (0; 4) C = (4; -3)

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii Sx (względem osi OX)

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii Sy (względem osi OY)

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii So (względem punktu (0;0)

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w jednokładności o środku S = (0;0) i skali k = 1,5

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w jednokładności o środku S = (0;0) i skali k = -2,5

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w jednokładności o środku S = (0;0) i skali k = $\frac{1}{3}$

   • Znajdź obraz trójkąta ABC w przesunięciu o wektor w = [ 2; -3]

3. Wykonane zadania nauczyciel sprawdza – uczniowie otrzymują za nie punkty 0‑8 pkt. (po 2 pkt. za każdy rysunek). Najlepsze zostają jako plansze w klasie.

4. Również w grupach – tym razem czteroosobowych – uczniowie rozwiązują zadania związane z podobieństwem figur. Są to zadania o nieco podwyższonym stopniu trudności.

Zad. 1

Skonstruuj trójkąt podobny do trójkąta o bokach 2 cm, 3 cm, 4 cm, jeżeli wiesz, że obwód tego trójkąta wynosi 22 cm. Oblicz boki tego trójkąta.

Zad. 2

Skonstruuj odcinek x, mając dane dwa odcinki: a, b

a) $\frac{a}{x}=\frac{a+b}{b}$ b) $x=\frac{b^2}{a}$ c) $x=\frac{\mathrm{\text{ab}}}{a-b}$ d) $x=\frac{{(a-b)}^2}{b}$

Zad. 3

Oblicz wysokość drzewa, jeżeli cień tego drzewa wynosi 10,8 m, a cień jego korony wynosi 7,8 m. Najniższe gałęzie zaczynają się na wysokości 1,5 m od ziemi.

Zad. 4

W trapezie ABCD, w którym AB i CD są równoległe, przedłużono boki BC i AD do przecięcia się w punkcie S. Oblicz DS, gdy AD = 3 cm, BC = 2 cm, BS = 2 cm.

Zad. 5

Skala podobieństwa dwóch trójkątów k = 1,5. Długość odpowiadających sobie boków różni się o 5 cm. Oblicz długości tych boków.

Zad. 6

Pole pewnego trójkąta wynosi 12 cmIndeks górny 2². Oblicz pole trójkąta podobnego do niego w skali k = 3.

Zad. 7

Prostokątna działka na planie w skali 1:2500 ma pole 15,36 cmIndeks górny 2². Ile arów ma ta działka w rzeczywistości?

Zad. 8

Mieszkanie o powierzchni 64 mIndeks górny 2² ma na planie powierzchnię 64 cmIndeks górny 2². W jakiej skali sporządzono plan?

Zad. 9

Długości boków prostokąta są równe 3 cm i 5 cm. Oblicz pole prostokąta podobnego do niego o obwodzie 80 cm.

Zad. 10

Stosunek obwodów dwóch kwadratów jest równy $\frac{1}{3}$.Oblicz długość boków każdego z nich, jeżeli wiesz, że suma pól tych kwadratów wynosi 160 cmIndeks górny 2².

Faza podsumowująca

Uczniowie jeszcze raz analizują plansze pokazane przez nauczyciela i te wykonywane samodzielnie przez nich. Na ich podstawie wypełniają prawidłowo schemat „Przekształcenia figur na płaszczyźnie”. Na koniec lekcji wypełniają schemat oceny zajęć.

4. 5. A. Drążek, B. Grabowska. Matematyka wokół nas. III klasa gimnazjum, WsiP, Warszawa, 2004;

   6. N. Dróbka, K. Szymański, Matematyka w szkole podstawowej. Powtórzenie i zbiór zadań, WNT, Warszawa, 1996;

   7. A. Zalewska, E. Stachowski, I ty zostaniesz Euklidesem, Oficyna Wydawnicza Adam, Warszawa.