Podsumowanie wiadomości o przekształceniach izometrycznych na płaszczyźnie

1. Cele lekcji

a) Wiadomości

1. Utrwalenie wiadomości o przekształceniach izometrycznych.

b) Umiejętności

1. Uczeń potrafi zastąpić każde z przekształceń izometrycznych odpowiednią liczbą symetrii osiowych o odpowiednich osiach.

2. Uczeń potrafi rozpoznawać wynik złożenia dwóch przekształceń izometrycznych, posługując się sporządzoną charakterystyką oraz doświadczeniem empirycznym przeprowadzonym za pomocą komputera.

3. Ćwiczenie umiejętności pracy z tekstem matematycznym.

4. Ćwiczenie umiejętności pracy w grupie.

2. Metoda i forma pracy

Praca indywidualna, praca w grupach.

3. Środki dydaktyczne

1. Komputer z rzutnikiem multimedialnym.

2. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego.

4. Przebieg lekcji

Na początku uczniowie zbierają wcześniej zdobyte wiadomości na temat przekształceń izometrycznych w formie następującej tabelki:

Uczniowie wypełniają tabelkę, prócz ostatniej kolumny Uwagi.

Nauczyciel stawia przed uczniami problem: Zbadajmy, jakim przekształceniem będzie złożenie dwóch symetrii osiowych.

Korzystamy z programu CABRI 1. Rozważamy następujące przypadki:

• osie równoległe pokrywające się,

• osie równoległe rozłączne,

• osie przecinające się pod kątem prostym,

• osie przecinające się pod dowolnym kątem.

Praca nad każdym z przypadków wygląda następująco: obieramy odpowiednio dwie proste, wykonujemy złożenie, chowamy (na komputerze) wszystkie elementy pozostawiając jedynie punkt X i jego ostateczny obraz w złożeniu X’; tworzymy odcinek XX’; zmieniając położenie punktu X obserwujemy wygląd i własności odcinków XX’; staramy się dopasować „rysopis” odcinków XX’ do wcześniej przygotowanych (przy realizacji przekształceń izometrycznych). W wyniku takiej pracy otrzymujemy następujące hipotezy:

• Złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach pokrywających się jest przekształcenie tożsamościowe.

  ResIUT3vNqTYS

  

• Złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach równoległych rozłącznych jest translacja (wektor przesunięcia jest prostopadły do prostych, dwa razy dłuższy niż odległość między równoległymi prostymi).

  RoxlNDjFb0fT7

  

  R1Ged3olVoP3I

  

• Złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się pod kątem prostym jest symetria środkowa (środek symetrii to wspólny punkt obu prostych).

  R1WcDsrxTXDVa

  

  RgTr3mYiu7Mq9

  

  RtuyjVdV1N00J

  

• Złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się jest obrót wokół wspólnego punktu obu prostych o kąt o mierze dwukrotnie większej niż kąt pomiędzy przecinającymi się prostymi.

  R1XsMZ1LFdYCg

  

  RnF0Gd1uN7Nwa

  

  R7bsoOJg3y4Ta

  

Po tym eksperymencie (wykonanym na komputerze) uczący nadaje postawionym hipotezom sens matematyczny oznajmiając, że są to w matematyce twierdzenia. Ponadto wskazuje (poprzez prezentację komputerową w CABRI 1), że sens twierdzeń można wzmocnić, np. Złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach prostopadłych to symetria środkowa i na odwrót: każdą symetrię środkową można zastąpić złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach prostopadłych przechodzących przez środek symetrii środkowej.

Analogiczne twierdzenia zostają sformułowane (dotyczą translacji, obrotu, przekształcenia tożsamościowego). Po tym fragmencie lekcji uczniowie uzupełniają tabelkę w kolumnie Uwagi o informacje dotyczącą rozkładu przekształcenia na złożenie symetrii osiowych – ten wynik jest traktowany jedynie jako rezultat pracy z komputerem, a więc doświadczenia empirycznego.

Ćwiczenie:

Uczniowie wybierają dwa dowolne przekształcenia, przy pomocy komputera (CABRI 1) wykonujemy wskazane złożenie i na podstawie własności odcinków XX’ wskazujemy wynik złożenia. Celem tego ćwiczenia empirycznego jest próba ukazania, że na płaszczyźnie jest dokładnie sześć przekształceń izometrycznych (zgodnych z przyjętym nazewnictwem) oraz wskazania, co to oznacza (każde złożenie jest jednym z tych sześciu przekształceń).

1. Złożenie obrotu i translacji (wynik: symetria z poślizgiem):

   Rbyo3uDRiPByq

   

   RzNLCHC1CiWXh

   

   R4MLQZHEsrQHs

   

2. Złożenie symetrii z poślizgiem oraz symetrii osiowej (wynik: obrót):

   R1WYtVRtce8OV

   

   REjl1owj9pLoJ

   

   R1XjsoTQ4r744

   

5. Bibliografia

1. Konior J., Repetytorium z CABRI, część II, [w:] „Matematyka i Komputery” nr 11, 2002, s. 5‑8.

2. Pająk W., Badanie przekształceń geometrycznych, [w:] „Nauczyciele i Matematyka” nr 8, 1993, s. 22‑23.

3. Pająk W., CABRI i przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, VULCAN, Wrocław 1994.

4. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A., Żylak K., Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

5. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A, Żylak K., Matematyka krok po kroku. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

6. Załączniki

a) Zadanie domowe

1. Wykonanie kilku złożeń i zbadanie ich wyniku.

2. Kilka zadań ze zbioru zadań: strona 181.

7. Czas trwania lekcji

1 godzina lekcyjna

8. Uwagi do scenariusza

brak