Podsumowanie wiadomości z kinematyki

RFWxGOJPlgel4

Zdjęcie przedstawia nowoczesny elektryczny pociąg pasażerski, który rusza ze stacji.

Ruch jest względny

R1U4ZunoZsjU2

Zdjęcie przedstawia wnętrze przedziału w pociągu. Po lewej i po prawej krzesła obite wielokolorowym materiałem. Na wprost okno. Za oknem widać rozmazane kontury zielonych drzew.

1. Ruch i spoczynek są pojęciami względnymi. Można jednocześnie być w ruchu względem jednego ciała i w spoczynku względem innego. Pasażerowie jadącego pociągu są w spoczynku względem siebie i jednocześnie poruszają się względem drzew za oknem.

2. Ruch polega na zmianie położenia ciała względem wybranego układu odniesienia, np. samochodu względem słupa latarni, Księżyca względem Ziemi itp. Zmiana ta zachodzi w czasie.

Układ odniesienia

RtMUmubW3mCJr

Zdjęcie przedstawia drogę szybkiego ruchu. Droga dwupasmowa, oddzielona pasem zieleni. Wzdłuż drogi, po obu stronach rosną drzewa. Dominują drzewa iglaste. W tle jasne niebo. Na drodze znajduje się kilkanaście samochodów. Na jednym z samochodów narysowano układ współrzędnych. Początek układu znajduje się na środku maski.

1. Układ odniesienia to dowolnie wybrane ciało lub ciała, względem których określamy zmiany położenia badanego ciała. Dla ruchów w pobliżu powierzchni Ziemi najczęściej wybieranym układem odniesienia jest Ziemia lub jakiś punkt na jej powierzchni trwale z nią związany.

2. Szczegółowy opis ruchu za pomocą zależności matematycznych wymaga powiązania go z układem odniesienia i układem współrzędnych.

Wielkości opisujące ruch

R1055odfNV85v

Zdjęcie przedstawia krętą drogę w górach. Droga staje się tym bardziej kręta, im większa wysokość góry.

Podstawowe wielkości fizyczne opisujące ruch to:

1. tor ruchu, czyli ślad zakreślony przez poruszające się ciało;

2. droga – długość toru, jednostką drogi $s$ w układzie SI jest metr.;

3. prędkość – szybkość zmiany położenia ciała względem układu odniesienia;

4. przyspieszenie – szybkość zmiany prędkości ciała.

Prędkość

RA7anGfJBuMFT

Zdjęcie przedstawia tarczę prędkościomierza w samochodzie. Tło i tarcza czarne. Tarcza okrągła. Liczby i litery podświetlane. Skala od 0 do 220, co 20, podpisywana co 40, również podświetlana. Na środku tarczy widać litery „km/h”. Czerwona wskazówka znajduje się pomiędzy 40, a podziałką odpowiadającą 50. Na dole cyfrowy wyświetlacz. Na nim liczby 308,9 oraz 200000.

1. Prędkość to wielkość fizyczna, która informuje nas, jaką drogę przebywa ciało w danej jednostce czasu.

2. Jednostką prędkości w układzie SI jest metr na sekundę $\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]$. W życiu codziennym częściej posługujemy się jednostką taką jak kilometr na godzinę $\left[\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right]$ Jednostki te możemy przeliczać – korzystamy wtedy z zależności:

3. $1 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=\frac{1000 \mathrm{m}}{3600 \mathrm{s}}=\frac{10 \mathrm{m}}{36 \mathrm{s}}\approx 0,28 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
   $1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\frac{0,001}{\frac{1}{3600}}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=3,6 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

4. W fizyce wyróżniamy prędkość średnią i chwilową.

5. Prędkość średnią obliczamy za pomocą wzoru:
   $v_{\mathrm{śr}}=\frac{s}{t}$
   gdzie:
   $v_{\mathrm{śr}} \left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]$ – prędkość średnia;
   $s \left[\mathrm{m}\right]$ – droga przebyta przez ciało;
   $t \left[\mathrm{s}\right]$ – czas trwania ruchu.

6. Prędkość chwilowa to prędkość ciała w danym momencie ruchu. Prędkość chwilową wskazują prędkościomierze, np. samochodowe.

Wyznaczanie prędkości

RSVUbcbJgfIED

Schemat przedstawiający ludzika ze stoperem w ręku, maszerującego po taśmie mierniczej.

Aby wyznaczyć prędkość jakiegoś ciała, należy zmierzyć dwie wielkości:

• drogę przebytą przez to ciało (za pomocą przyrządu do pomiaru odległości);

• przedział czasu, w którym ta droga została przebyta (mierzymy go stoperem).

Prędkość średnią obliczamy ze wzoru:

Piechur maszerujący po płaskim terenie porusza się z prędkością około $1,4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Ruch jednostajny prostoliniowy

R1AclNPhk0tbM

Zdjęcie przedstawia lecący samolot. Tłem jest niebieskie niebo. Samolot biały. Za samolotem ciągną się białe linie, przypominające chmury.

1. Ruch prostoliniowy to ruch, którego torem jest linia prosta.

2. Ruch jednostajny to ruch, w którym ciało porusza się ze stałą prędkością.

3. W ruchu jednostajnym prostoliniowym ciało przebywa jednakowe odcinki drogi w równych odstępach czasu.

4. W ruchu jednostajnym prostoliniowym prędkość średnia i chwilowa są sobie równe.

5. Droga przebyta przez ciało w ruchu jednostajnym jest wprost proporcjonalna do czasu trwania ruchu. Obliczamy ją ze wzoru:
   $s=v·t$
   gdzie:
   $v$ $\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]$ – wartość prędkości ciała;
   $s$ $\left[\mathrm{m}\right]$ – droga przebyta przez ciało;
   $t$ $\left[\mathrm{s}\right]$ – czas ruchu ciała.

Wykresy zależności drogi i prędkości od czasu w ruchu jednostajnym

Wykres to graficzny sposób przedstawienia zależności między wielkościami fizycznymi.
Wykres zależności drogi od czasu opisujemy symbolem $s\left(t\right)$.
W ruchu jednostajnym wykresem $s\left(t\right)$ jest prosta nachylona do osi czasu.

R1VUjawkADcF7

Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, oś pozioma oznaczona jako t, oś pionowa jako s. W początku układu współrzędnych zaczepiona jest niebieska półprosta nachylona pod kątem około czterdziestu pięciu stopni do dodatniej półosi OT będąca wykresem s od t. Również w początku układu współrzędnych zaczepiona jest różowa półprosta nachylona pod kątem około trzydziestu stopni do dodatniej półosi OT, będąca wykresem s od t dla innego ciała. Półproste pokrywają się z prostymi będącymi wykresami różnych wariantów funkcji s od t.

Im większy kąt pomiędzy prostą będącą wykresem $s\left(t\right)$, a osią poziomą tym większa jest prędkość ($v$) danego ciała.

Wykresem zależności prędkości od czasu, opisywanym symbolem $v\left(t\right)$, w tym ruchu jest prosta równoległa do osi czasu.

RHqN49upxqYLP

Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, oś pozioma oznaczona jako t, oś pionowa jako v. Na pewnej wysokości zaznaczono niebieską poziomą półprostą równoległą do osi t, mająca swój początek na osi pionowej. Półprosta pokrywa się z prostą będącą wykresem funkcji v od t.

Pole prostokąta pod wykresem $v\left(t\right)$ jest liczbowo równe przebytej drodze.

RqV3hgKu0vvAw

Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, oś pozioma oznaczona jako t, oś pionowa jako v. Na pewnej wysokości od osi poziomej znajduje się niebieski odcinek o pewnej długości równoległy do tej osi mający swój początek na osi pionowej. Jest to wykres prędkości od czasu pokrywający się z wykresem funkcji v od t, który jest prostą. Z prawego końca tego odcinka opuszczony jest pionowy odcinek narysowany przerywaną linią, o dolnym końcu na poziomej osi t. Odcinek ten jest prostopadły do osi poziomej. Obszar wyznaczony przez te dwa odcinki oraz osie: pionową i poziomą zamalowany jest na kolor niebieski i tworzy prostokąt, na środku którego zapisano wzór s równa się v razy t.

Ruch zmienny

R8DvK43FiuvnT

Ilustracja przedstawia hamującego ptaka. Tło białe. Pióra niebieskie, dziób i nogi żółte. Duże oczy, dziób rozwarty. Szpony uniesione, pod stopami ziemia, którą ptak przesunął podczas hamowania.

1. Ruch zmienny to taki, w którym zmienia się wartość prędkości.

2. Może on być:

   1. przyspieszony – jeśli w jego trakcie prędkość ciała rośnie (rozpędzanie się, przyspieszanie);

   2. opóźniony – jeśli prędkość ciała maleje (hamowanie, zwalnianie).

3. W ruchu zmiennym prędkość chwilowa różni się od prędkości średniej.

Symbol $\Delta$ (delta) i jego znaczenie w fizyce

R1XmyTEPTFfg6

Ilustracja przedstawia symbol greckiej litery delta. Jest to trójkąt równoramienny ostrokątny.

1. Grecką literę $\Delta$ (delta) stosuje się we wzorach fizycznych do oznaczania zmian (przyrostów, ubytków, różnic) wielkości fizycznych. Ta litera oznacza zmianę, ale tylko w towarzystwie symbolu wielkości fizycznej. Przez zmianę rozumie się na ogół różnicę między wartością danej wielkości na końcu obserwacji i na początku obserwacji.

2. Ta różnica może mieć wartość dodatnią, ujemną lub równą zero. Na określenie zmian różnych wielkości używa takich określeń jak np. odstęp lub przedział czasu, zmiana wysokości, różnica temperatur.

3. Przykładowo:
   $\Delta v$ oznacza zmianę (przyrost lub spadek) wartości prędkości,
   $∆t$ – przedział czasu,$∆T$ – różnicę temperatur,
   $∆h$ – zmianę wysokości itd.

4. Zmiana prędkości: $∆v=v_k-v_p$$$ to różnica między wartością prędkości końcowej i początkowej. Zmiana ta jest dodatnia w ruchu przyspieszonym, a ujemna – w ruchu opóźnionym.

Przyspieszenie

RijrnhFJQj3QB

Zdjęcie przedstawia dziesięć sportowych samochodów pokonujących zakręt na asfaltowym torze. Samochody obklejone są różnymi kolorowymi reklamami.

1. Przyspieszenie to wielkość fizyczna, która mówi nam, ile wynosi zmiana prędkości ciała w jednostce czasu.

2. Przyspieszenie obliczamy ze wzoru:
   $\mathrm{przyspieszenie}=\frac{\mathrm{zmiana\; prędkości}}{\mathrm{przedział czasu}}$
   $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$,
   gdzie:
   $\Delta v$ – zmiana (przyrost lub spadek) wartości prędkości;
   $\Delta t$ – przedział czasu, w którym nastąpiła ta zmiana.

3. Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest $\left[\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\right]$.

4. Przyspieszenie o wartości np. $2 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$ informuje nas, że prędkość ciała zmienia się co sekundę o $2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Ruch przyspieszony w sposób jednostajny

R1YzKSnn8P5Ni

Ilustracja przedstawia wykres kolumnowy. Na dole czarna, pozioma linia. Wzdłuż linii umieszczono sześć kolumn o tej samej szerokości. Wysokość kolumn stopniowo rośnie od lewej do prawej. Tuż nad kolumnami znajduje się strzałka która łukowato skręca ku górze pokazując wzrost słupków.

1. Ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym (przyspieszonym w sposób jednostajny) nazywamy taki ruch, w którym przyspieszenie jest stałe, co oznacza, że prędkość rośnie o jednakową wartość w równych odstępach czasu (np. co $1$ sekundę), a torem ruchu jest linia prosta.

2. Prędkość końcową, jaką osiągnęło ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym z prędkością początkową $v_0=0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, możemy obliczyć za pomocą wzoru:
   $v_k=a·\Delta t$,
   gdzie:
   $v_k \left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]$ – prędkość końcowa ciała.

3. Gdy przed rozpoczęciem ruchu ciało znajdowało się w spoczynku $\left(v_0=0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)$, drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym obliczamy za pomocą wzoru:
   $s=\frac{1}{2}·a·t^2$,
   gdzie:
   $s \left[\mathrm{m}\right]$ – droga;
   $a \left[\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\right]$ – przyspieszenie;
   $t \left[\mathrm{s}\right]$ – czas ruchu ciała.

Wykresy w ruchu jednostajnie przyspieszonym

1. Wykresem zależności przyspieszenia od czasu $a\left(t\right)$ jest prosta równoległa do osi czasu. Zaznaczone pole jest równe zmianie wartości prędkości.

   Rdx3mTZrNyctm

   Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, oś pozioma oznaczona jako t, oś pionowa jako a. Na pewnej wysokości zaznaczono różowy poziomy odcinek o pewnej długości. Lewy koniec odcinka znajduje się na pionowej osi a. Jest to wykres przyspieszenia od czasu i odcinek ten pokrywa się z prostą będącą wykresem funkcji a od t. Z prawego końca tego odcinka opuszczony jest pionowy odcinek narysowany przerywaną linią. Dolny koniec tego odcinka znajduje się na poziomej osi poziomej. Obszar wyznaczony przez te dwa odcinki oraz osie pionową i poziomą zamalowany jest na kolor różowy i tworzy prostokąt na środku którego zapisano wzór delta v równa się a razy t.

   

2. Wykresem zależności prędkości od czasu $v\left(t\right)$ w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest prosta nachylona do osi czasu.

   R1HanikxjjqUT

   Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Pozioma oś oznaczona jest jako t, pionowa jako v. Na płaszczyźnie narysowano wykres prędkości od czasu, który jest ukośnym odcinkiem o pewnej długości nachylonym pod kątem ostrym do osi t, który zaczepiony jest w punkcie v z indeksem dolnym zero znajdującym się na dodatniej półosi o v. Z końca tego odcinka poprowadzono przerywany odcinek prostopadły do osi poziomej. W punkcie przecięcia się ukośnego odcinka z osią pionową ma swój lewy koniec poziomy odcinek, którego prawy koniec wyznacza pionowy przerywany odcinek. W ten sposób otrzymaliśmy wyznaczony przez ukośny odcinek, pionowy przerywany odcinek i osie trapez prostokątny, który poziomy odcinek podzielił na trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej będącej poziomym odcinkiem, pionowej przyprostokątnej złożonej z narysowanego przerywaną linią odcinka od jego przecięcia z poziomym odcinkiem do przecięcia z ukośnym odcinkiem. Wewnątrz trójkąta zapisano wzór s z indeksem dolnym dwa równa się ułamek, w liczniku a razy t kwadrat, w mianowniku dwa. Pod trójkątem znajduje się prostokąt mający wspólny bok z trójkątem. Bok ten to poziomy odcinek. Pionowy bok prostokąta ma długość v z indeksem dolnym 0. Wewnątrz prostokąta umieszczono wzór: s z indeksem dolnym jeden równa się v z indeksem dolnym zero razy t.

   

3. Pole figury pod wykresem zależności prędkości od czasu odpowiada wartości drogi przebytej przez ciało.

Zadania

2

Ćwiczenie 2

Poniższa tabelka zawiera dane dotyczące podróży rowerzysty, w której $t\left[\mbox{s}\right]$ oznacza czas podróży mierzony w sekundach, a $s\left[\mbox{m}\right]$ drogę przebytą w danym czasie, wyrażoną w metrach.

Tabela zależności drogi od czasu

$t \left[\mathrm{s}\right]$	$s \left[\mathrm{m}\right]$
0	0
5	20
10	40
15	60
20	80
25	100
30	120

Na podstawie tabeli sporządź wykres zależności drogi od czasu. Na podstawie narysowanego wykresu określ, jakim ruchem poruszał się rowerzysta oraz jego średnią prędkość.

R1Bbpvfoie7Rf

Na podstawie tabeli opisz, jak wyglądałby wykres zależności drogi od czasu oraz określ, jakim ruchem poruszał się rowerzysta oraz jego średnią prędkość.

RgM4hrmbaXeoM

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Oś poziomą wyskaluj co $5$ jednostek, a oś pionową co $20$ jednostek.

Pokaż odpowiedź

R1GJqxDvxjyTa

Na rysunku układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jako t nawias kwadratowy s zamknąć nawias kwadratowy. Oś pionowa jako s nawias kwadratowy m zamknąć nawias kwadratowy. Oś pozioma wyskalowana co pięć od zera do trzydziestu. Oś pionowa wyskalowana co dziesięć od zera do stu dwudziestu. Z początku układu współrzędnych wychodzi odcinek nachylony pod kątem około czterdziestu pięciu stopni do dodatniej półosi OT. Na odcinku zaznaczone są kropkami punkty o współrzędnych podanych w tabeli.

Na wykresie drogi od czasu widzimy prostą nachyloną pod pewnym kątem do osi czasu, więc jest to ruch jednostajny.

$v=\frac{s}{t}=\frac{120\mbox{m}}{30\mbox{s}}=4\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}$

Rowerzysta poruszał się ze średnią prędkością $4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Test