Podział proporcjonalny - teoria i przykłady, ćwiczenia

Slajd pierwszy:

Lektor czyta: W prezentacji rozważymy kilka typowych problemów związanych z podziałem proporcjonalnym. Podział proporcjonalny to pewien rodzaj sprawiedliwego podziału. W zastosowaniach praktycznych można odnieść go do sytuacji, w której pewien zasób ma być podzielony pomiędzy kilka osób na równe części lub podzielony według ustalonych kryteriów. Jednym z najbardziej znanych zagadnień dotyczących podziału proporcjonalnego jest problem sprawiedliwego podziału ciasta. Jeśli ciasto z wieloma dodatkami zostanie pokrojone na równe kawałki, to różne osoby otrzymają różne ilości dodatków. Niektóre z tych osób mogą więc uznać, że podział ciasta nie był sprawiedliwy. Z podziałem proporcjonalnym bezpośrednio wiążą się zagadnienia dotyczące stosunku kilku wielkości.
Na slajdzie widoczny jest tort z wieloma dodatkami takimi jak owoce, polewa i kolorowa posypka.

Slajd drugi:

Przykład pierwszy.

Lektor czyta: Drut długości siedemnaście i pół centymetra należy podzielić na dwie części tak, aby stosunek długości tych części był równy trzy do czterech.

Rozwiązanie:
Zauważmy, że $3+4=7$. Zatem, wyobraźmy sobie, że najpierw dzielimy drut na siedem równych części, czyli $17,5 \mathrm{cm}:7=2,5 \mathrm{cm}$. Każda z tych części ma długość dwa i pół centymetra. Na slajdzie przedstawiono drut podzielony na siedem równych części. Pod spodem podzielono drut na pierwszą i drugą część. Lektor czyta: Aby otrzymać pierwszy kawałek drutu, bierzemy trzy z tak uzyskanych części. Wtedy drugi kawałek drutu stanowią cztery z tak uzyskanych części.

Slajd trzeci:

Lektor czyta: Wyznaczamy długości szukanych części drutu. Pierwsza część drutu powinna mieć długość siedem i pół centymetra, a druga dziesięć centymetrów. Na slajdzie przedstawiono obliczeni: $3·2,5 \mathrm{cm}=7,5 \mathrm{cm}$ oraz $4·2,5 \mathrm{cm}=10 \mathrm{cm}$.

Slajd czwarty:

Przykład drugi.

Lektor czyta: Mateusz ma czternaście lat, a Krystian ma szesnaście lat. Od babci otrzymali dziewięćdziesiąt czekoladek i postanowili podzielić je proporcjonalnie do wieku. Obliczymy, po ile czekoladek dostanie każdy z nich. Chłopcy postanowili podzielić czekoladki proporcjonalnie do wieku, zatem w stosunku czternaście do szesnastu.

Na slajdzie przedstawiono rozwiązanie. Podział w stosunku czternaście do szesnastu, czyli czternaście plus szesnaście równa się trzydzieści. Obok rozwiązanie znajduje się zdjęcie czekoladek.

Lektor czyta: Rozwiązanie tego zadania zaczynamy od podzielenia dziewięćdziesięciu czekoladek na trzydzieści równych porcji. W jednej porcji znajdują się trzy czekoladki.

Slajd piąty:

Lektor czyta: Mateusz otrzyma czternaście porcji, czyli czterdzieści dwie czekoladki. Krystian otrzyma szesnaście porcji, czyli czterdzieści osiem czekoladek. Przeczytane zdania potwierdzają obliczenia przedstawione na slajdzie: $14·3=42$ oraz $16·3=48$.

Slajd szósty:

Przykład trzeci.

Lektor czyta: Pani Janina i pani Ewelina wynajęły wspólnie apartament nad morzem na osiemdziesiąt cztery Pani Janina wyłożyła na ten cel dziesięć tysięcy złotych, pani Ewelina czternaście tysięcy złotych. Panie pokłóciły się i postanowiły, że w apartamencie będą przebywały oddzielnie. Obliczymy, przez ile dni w apartamencie powinna przebywać pani Ewelina, a przez ile pani Janina, aby podział był sprawiedliwy.

Na slajdzie widać panoramę morskiego kurortu w Polsce.

Slajd siódmy:

Lektor czyta: Każda z pań wyłożyła inną kwotę, podział powinien być więc proporcjonalny do wyłożonych kwot. Stosunek dwóch wielkości możemy zapisać w postaci ułamka i otrzymany ułamek skrócić.

Na slajdzie przedstawiono obliczenie dziesięć tysięcy do czternatu tysięcy równa się $\frac{10000}{14000}=\frac{5}{7}$.

Lektor czyta: Z dwunastu jednakowych części, na jakie można podzielić liczbę wszystkich dni, pani Janina powinna otrzymać do dyspozycji pięć części, a pani Ewelina siedem części.

Slajd ósmy:

Lektor czyta: Pięć dwunastych liczby osiemdziesiąt cztery to trzydzieści pięć. Zatem pani Janina powinna przebywać w apartamencie trzydzieści pięć dni. Siedem dwunastych liczby osiemdziesiąt cztery to czterdzieści dziewięć. Zatem pani Ewelina powinna przebywać w apartamencie czterdzieści dziewięć dni.

Slajd dziewiąty:

Przykład czwarty.

Lektor czyta: Julek ma dwieście szesnaście książek obcojęzycznych. Stosunek liczby książek obcojęzycznych do liczby książek polskojęzycznych jest równy trzy do pięciu. Obliczymy, ile wszystkich książek i ile książek polskojęzycznych ma Julek.

Na slajdzie znajduje się zdjęcie młodego chłopaka trzymającego w rękach kilka książek.

Slajd dziesiąty:

Lektor czyta: Tym razem zadanie rozwiążemy za pomocą równania. Oznaczmy przez iks liczbę wszystkich książek, które ma Julek. Wtedy liczba książek obcojęzycznych, które posiada Julek, jest równa trzy ósme liczby iks. Liczba książek obcojęzycznych, które posiada Julek jest równa trzy ósme liczby iks, ale zarazem wiemy, że jest równa dwieście szesnaście. Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

Zatem: $x=\frac{216·8}{3}$. Stąd, Julek ma pięćset siedemdziesiąt sześć wszystkich książek.

Slajd jedenasty:

Wiemy, że pięć ósmych wszystkich książek Julka, to książki polskojęzyczne, czyli $\frac{5}{8}·576=360$. Zatem Julek posiada trzysta sześćdziesiąt książek polskojęzycznych.

Slajd dwunasty:

Przykład piąty.

Lektor czyta: Proszek do prania Biel sprzedawany jest w trzech różnych opakowaniach. Ustalimy, która z prezentowanych ofert jest najkorzystniejsza dla klientów.

Na slajdzie przedstawiony trzy opakowanie proszków „Biel”. Pierwsze opakowanie ma pojemność sześć i pół kilograma i kosztuje pięćdziesiąt cztery złoty i sześćdziesiąt groszy. Drugie opakowanie ma pojemność osiem kilogramów i kosztuje siedemdziesiąt trzy złote i sześćdziesiąt groszy. Trzecie opakowanie ma pojemność osiemset gram i kosztuje siedem złoty i sześćdziesiąt groszy.

Slajd trzynasty:

Lektor czyta: Ustalamy w każdym przypadku stosunek ceny opakowania do masy proszku. W ten sposób obliczymy cenę kilograma proszku do prania zawartego w każdym z opakowań.
Wykonujemy najpierw obliczenia dla pierwszego opakowania, czyli $\frac{54,60}{6,5} =8,40$. I stwierdzamy, że w tym przypadku, cena kilograma proszku do prania jest równa osiem czterdzieści. Wykonujemy obliczenia dla drugiego opakowania, czyli $\frac{73,60}{8} =9,20$. I stwierdzamy, że w tym przypadku, cena kilograma proszku do prania jest równa dziewięć dwadzieścia. Wykonujemy wreszcie obliczenia dla trzeciego opakowania. Zamieniamy osiemset gramów na osiem dziesiątych kilograma, wówczas $\frac{7,60}{0,8} =9,50$. I stwierdzamy, że w tym przypadku cena kilograma proszku do prania jest równa dziewięć pięćdziesiąt.

Slajd czternasty:

Lektor czyta: Porównujemy otrzymane liczby, czyli $8,40<9,20<9,50$. Wnioskujemy, że najkorzystniejsza oferta jest w przypadku opakowania zawierającego osiemset gramów proszku.

Koniec prezentacji.