Scenariusz lekcji - Pojęcie obrotu

Temat z podstawy programowej: przykłady przekształceń geometrycznych

Cele lekcji

a) Wiadomości

1. Kształtowanie pojęcia obrotu figury o dany kąt wokół środka obrotu.

2. Kształtowanie pojęcia kąta skierowanego.

3. Wdrażanie do kojarzenia faktów i wnioskowania

4. Rozwijanie umiejętności opisywania w języku matematyki prostych sytuacji

b) Umiejętności

Sprawne posługiwanie się cyrklem i kątomierzem.

Kreślenie kątów o danej mierze

Uczeń potrafi obrócić figurę o dany kąt wokół danego punktu

c) Matematyczne treści lekcji, czynności ucznia

1. Uczniowie poznają pojęcie obrotu, eksperymentalnie obracając przygotowane wcześniej modele figur.

2. W wyniku dyskusji uczniowie formułują wnioski dotyczące obrotu.

3. Nauczyciel podaje uczniom definicję obrotu

Obrazem dowolnego punktu A różnego od punktu O w obrocie dookoła punktu O nazywamy taki punktu A`, że kąt A`OA=αalfa,$\left|\mathrm{\text{OA}}\right|=\left|\mathrm{\text{OA}}\right|$, przy czym kąt A`OA został odłożony przy półprostej OA w ustalonym kierunku.

Obrazem punktu O jest punkt O. Punkt O nazywamy środkiem obrotu, a kąt αalfa – kątem obrotu.

5. Krótki wykład dotyczący kreślenia kątów przystających (Foliogram nr 1 i nr 2)

6. Uczniowie utrwalają pojęcie obrotu wykonując zadania na kartach pracy.

7. Uczniowie wykonują zadania podsumowujące.

Metoda i forma pracy

Praca indywidualna, sterowane eksperymenty uczniów, wykład nauczyciela

Środki dydaktyczne

Karton z wyciętym otworem w kształcie trójkąta, modele figur wycięte z kartonu np.: prostokąt, czworokąt, pinezki, karty pracy dla ucznia, foliogramy.

Przebieg lekcji

a) Faza przygotowawcza

1. Przywitanie klasy.

2. Sprawdzenie ilościowe zadania domowego.

3. Sprawdzenie przygotowania ucznia do lekcji: uczniowie przygotowali wycięte z kartonu modele trójkąta i czworokąta, oraz karton z wyciętym otworem w kształcie trójkąta (5 min).

4. Zapisanie tematu lekcji.

b) Faza realizacyjna

1. Uczniowie przygotowują z karton wyciętym trójkątem.

2. Nauczyciel podaje polecenie: połóż karton na kartce w zeszycie, po za wyciętym trójkątem wbij pinezkę, obrysuj kształt trójkąta napisz w środku f` i zaznacz kolorami kąty przy odpowiednich wierzchołkach.

• Spójrz na kartę, co otrzymałeś?

• O jaki kąt trzeba obrócić trójkąt, aby powrócił do swojego położenia wyjściowego?

• Czy zależy to od wyboru punktu, wokół którego obracamy trójkąt (środka obrotu)?

3. Połącz wybrany wierzchołek trójkąta (f) z środkiem obrotu, następnie odszukaj odpowiadający mu wierzchołek w trójkącie f` i połącz z środkiem obrotu, zaznacz kąt αalfa o jaki obrócił się dany wierzchołek. Tę samą czynność wykonaj z pozostałymi wierzchołkami trójkąta. (5 min)

4. Nauczyciel podaje polecenie: Posłużmy się teraz modelem trójkąta wyciętym z kartonu.

• Ćw.1. W trójkąt ABC wbij pinezkę, zaznacz na kartce z zeszytu wierzchołki A i B obróć model trójkąta o dowolny kąt i znowu zaznacz wierzchołki A` i B` połącz punkty ze środkiem obrotu (ślad po pinezce) i zaznacz kąt o jaki obrócił się punkt A i punkt B.

• Ćw.2. Wykonaj ćwiczenie analogicznie do ćw. 1, rysując bok AB trójkąta.

• Ćw.3. Wykonaj ćwiczenie analogicznie do ćw. 1, obrysowując cały trójkąt.

• Ćw.4. Wykonaj ćwiczenie analogicznie do ćw. 1, obrysowując model czworokąta. (10 min)

Co zauważyłeś?

Jakie dane powinniśmy mieć aby dokładnie określić obrót figury?

5. Następnie nauczyciel matematyzuje przeprowadzone doświadczenia i wprowadza pojęcie obrazu punktu A w obrocie dookoła punktu O o kąt αalfa.

6. Po wykonaniu ćwiczeń nauczyciel inicjuje dyskusję w wyniku której uczniowie formułują wnioski:

• aby określić obrót figury na płaszczyźnie musimy podać: środek obrotu, kąt obrotu, kierunek obrotu.

• każdy punkt figury obracamy o taki sam kąt αalfa wokół wybranego punktu O.

• - odległość obrazu A` od środka obrotu O jest taka sama, jak odległość punktu A od środka obrotu. *(*5 min) (wnioski zapisujemy na tablicy i w zeszytach)

7. Nauczyciel podaje definicję obrotu, którą uczniowie zapisują w zeszytach.

8. Nauczyciel prowadzi krótki wykład na temat kreślenia kątów przystających oraz określania kierunku obrotu.

9. Nauczyciel może posłużyć się przygotowanymi wcześniej foliogramami (5 min).

10. Ćw. Obróć dany odcinek $\overline{\mathrm{\text{AB}}}$ dokoła punktu O o dany kąt αalfa w kierunku ujemnym. Uczniowie wykonują zadanie w zeszytach, jeden z uczniów wykonuje zadanie przy tablicy (5 min).

11. Uczniowie otrzymują karty pracy, które wypełniają samodzielnie. (5 min) (nauczyciel może ocenić wykonane prace)

c) Faza podsumowująca

Podsumowanie lekcji.

Każdy uczeń otrzymuje dwie karteczki z zadaniami

Nauczyciel podaje polecenie:

Na katedrze stoją dwa koszyczki, jeden z napisem „tak” drugi z napisem „nie”. Jeżeli uważasz, że istnieje obrót przekształcający punkt A na A` i jednocześnie punkt B na B` to wrzuć kartkę do koszyczka z napisem „tak”, w przeciwnym przypadku do koszyczka z napisem „nie”.

Zadanie pracy domowej (Nauczyciel rozdaje kartki z zadaniem domowym) (5 min)

Uwagi metodyczne

Uczniowie mogą mieć kłopoty z przyswojeniem konstrukcji kątów przystających, należy wówczas konstrukcję powtórzyć kilkakrotnie. Uczniowie mogą też mierzyć kąty kątomierzem.

Jeżeli nie starczy nam czasu na zadania podsumowujące, to karty pracy mogą być podsumowaniem lekcji.

Karty pracy nauczyciel ocenia według swojego uznania.

Zadania podsumowujące i pracę domowa należy omówić na następnej lekcji.

Możliwe rozszerzenia tematu

Temat można rozszerzyć o różne ciekawe zadania np.:

R1V0gx3hp2iNx

Pięć szczegółów na rysunkach należałoby zmienić, aby jeden z tych rysunków był obrazem drugiego w pewłnym obrocie. Znajdź te szczegóły.

O jaki kąt można obrócić daną figurę, aby ta figura i figura otrzymana pokryły się?

RuE4YhEixu0xl

R1L3K8usxbO2I

RJTyva9Chg0xK

(Wykorzystano zadania z podręcznika “Matematyka z plusem”)

Warto także wykorzystać spostrzeżenie, że symetria środkowa jest obrotem o kąt 180Indeks górny o^o, chociaż sposób jej rysowania jest prostszy i nie ma w nim mowy o rysowaniu kąta .

Uczniowie mogą doświadczalnie sprawdzać, że złożenie dwóch symetrii osiowych względem prostych przecinających się jest obrotem o kąt, którego miara równa się podwojonemu kątowi skierowanemu między osiami symetrii.

Bibliografia

Matematyka z plusem do liceum i technikum kl. II , GWO

Załączniki

Karta pracy ucznia

Zad. 1. Podane figury obróć wokół zaznaczonego środka obrotu S. 0. o kąt 90°

RMCv8JmtqPBdY

Zad. 2. O jaki kąt a obrócono każdą figurę wokół zaznaczonego środka obrotu?

PRZED OBROTEM PO OBROCIE KĄT OBROT

trójkąt równoboczny

R1CLNJl0zsmeV

Zad. 3. Znajdź obraz punktu A w obrocie wokół punktu O o podany kąt a.

R2T0ojudsNEVh

Foliogram nr 1

R1SfCZEA4SU3I

Dowolnym promieniem, np. równym O A, zakreślamy łuk o środku w wierzchołku S danego kąta a. Łuk ten przecina ramiona kąta w punktach T, U. Powstał w ten sposób trójkąt STU, w którym ST = SU, a miedzy tymi bokami jest kąt a. Skonstruujemy teraz taki trójkąt przystający do trójkąta STU, którego podstawą jest odcinek O A. Zakreślmy więc ze środka O łuk promieniem O A, a z punktu A zakreślmy łuk promieniem równym TU. Dwa wykreślone łuki przecinają się w dwóch punktach B i C. Powstały w ten sposób dwa trójkąty OAB i OAC. Każdy z nich jest przystający do trójkąta STU

Zadanie ma więc dwa rozwiązania.

Kierunek odkładania kąta przy danej półprostej można porównywać z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Przyjęto uważać za dodatni kierunek odkładania kąta kierunek przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara, zaś za ujemny — kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara.

R6MOwYdOfAnN6

Foliogram nr 2

Obróć dany odcinek AB dokoła punktu O o dany kąt a w kierunku ujemnym. Przy półprostej OA odkładamy kąt a w kierunku ujemnym i na drugim jego ramieniu znajdujemy punkt A' taki, że OA' = OA. Przy półprostej OB odkładamy w kierunku ujemnym kąt a i na drugim jego ramieniu znajdujemy punkt B' taki, że *OB' = OB.*Wykreślamy odcinek A'B'. Jest to odcinek otrzymany z odcinka AB w wyniku obrotu. Ponieważ O A`= O A, OB' = OB i <BOA = <B'OA`, więc trójkąty BOA i B'OA' są przystające. Stąd BA = B'A, czyli obraz odcinka w obrocie jest równy obracanemu odcinkowi.

RdUWhZNyRMS28

Karteczki z zadaniem podsumowującym

Czy istnieje obrót przekształcający punkt A na A` i jednocześnie punkt B na -B'?

R10OSuvY1TMan

Czy istnieje obrót przekształcający punkt A na A` i jednocześnie punkt B na -B'?

Rz4bOFB9gu0G5

Zadanie domowe

Zad. 1. Narysuj trójkąt równoboczny i obróć go dokoła jego środka ciężkości o kąt 60°. Jaka figura jest częścią wspólną trójkąta i jego obrazu w tym obrocie?

Zad. 2. Zbadaj, dla której z następujących figur istnieje taki punkt O i taki kąt*,* różny od kąta pełnego, że obrazem tej figury w obrocie dokoła punktu O o kąt a jest ta sama figura:

a) prosta;

b) półprosta;

c) odcinek;

d) kwadrat;

e) trójkąt równoboczny;

f) prostokąt nie będący kwadratem;

g) romb nie będący kwadratem;

h) sześciokąt foremny.

Wskaż środek obrotu i kąt obrotu.