Pojęcie przekształcenia geometrycznego na płaszczyźnie, punkty stałe przekształcenia, przekształcenie izometryczne

1. Cele lekcji

a) Wiadomości

1. Uchwycenie różnic pomiędzy funkcją zadaną wzorem f(x) = ..., a przekształceniem opisanym poprzez formułę P((x, y)) = ...

2. Wskazanie uczniom różnorodnych przykładów przekształceń geometrycznych, nie występujących w dotychczasowej nauce szkolnej.

b) Umiejętności

1. Uczeń poszukuje obrazów niektórych figur (punktów, prostej, okręgu) w rozważanych przekształceniach geometrycznych – wypracowanie ostrożnego podejścia w przewidywaniu obrazów figur.

2. Ćwiczenie umiejętności wnikliwego czytania i analizowania krótkich zapisów matematycznych.

3. Poszukiwanie argumentacji matematycznej dotyczącej punktów stałych, izometryczności, obrazów figur, zbioru wartości itp. rozważanych przekształceń – wpajanie konieczności znajdowania argumentów matematycznych na poparcie swoich sądów.

4. Uczeń poszukuje argumentacji matematycznej w oparciu o poznaną definicję.

5. Ćwiczenie umiejętności pracy w grupie.

2. Metoda i forma pracy

Praca indywidualna, praca w parach.

3. Środki dydaktyczne

1. Jeden komputer z projektorem multimedialnym i odpowiednim oprogramowaniem.

2. Podręcznik i zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego.

4. Przebieg lekcji

Wprowadzenie definicji punktu stałego.

Punkt A jest punktem stałym przekształcenia P wtedy i tylko wtedy, gdy P(A) = A.

Uczniowie wskazują punkty stałe z przykładów na lekcjach wcześniejszych.

Wprowadzenie definicji przekształcenia izometrycznego*. Przekształcenie geometryczne nazywamy izometrycznym (izometrią) wtedy i tylko wtedy, gdy odległość między każdymi dwoma punktami jest taka sama jak odległość między ich obrazami.*

Uczniowie uzasadniają brak izometryczności w przykładach z lekcji wcześniejszych.

Kolejne przykłady przekształceń geometrycznych.

Przykład 1: Na płaszczyźnie dana jest prosta k i punkt A nie należący do prostej k. Obrazem punktu X należącego do półpłaszczyzny wraz z punktem A jest punkt przecięcia prostej XA z prostą k. Obrazem punktu nie należącego do półpłaszczyzny wraz z punktem A jest ten sam punkt.

Polecenia dla uczniów:

• Znaleźć obrazy kilku punktów.

• Czy tak opisane przekształcenie spełnia warunki przekształcenia geometrycznego?

• Czy są jakieś punkty, które pokrywają się ze swoimi obrazami?

• Co może być obrazem prostej? (rozważ różne przypadki)

• Co może być obrazem okręgu? (rozważ różne położenia okręgu względem prostej k).

• Jaki jest zbiór wartości tego przekształcenia?

• Czy można wskazać takie dwa punkty C i D, aby długość odcinka CD była różna od długości odcinka C’D’?

Po pewnym czasie następuje rozmowa na temat uzyskanych wyników, prezentacja ich na komputerze z wykorzystaniem programu CABRI 1 (nauczyciel ma przygotowaną konstrukcję). To nie jest przekształcenie geometryczne i uczniowie powinni to zauważyć (rozmowa na ten temat – próba poprawienia definicji i potem praca nad dalszymi poleceniami).

Przykład 2. Dane jest przekształcenie zadane wzorem: .

Polecenia dla uczniów są te same, co w przykładzie 1.

(obrazy okręgów o tym samym promieniu)

Po pewnym czasie następuje rozmowa na temat uzyskanych wyników, prezentacja ich na komputerze z wykorzystaniem programu CABRI 2 (można wykorzystać wersję DEMO). Ponadto można spróbować znaleźć punkty stałe przekształcenia: , czyli otrzymujemy: .

Zwrócenie uwagi (rozmowa z uczniami) na różnice między funkcją y = f(x), a tak zadanym przekształceniem P((x, y)) = ....(argument, wartość).

5. Bibliografia

1. Konior J., Repetytorium z CABRI, część II, [w:] „Matematyka i Komputery” nr 11, 2002, s. 5‑8.

2. Pająk W., Badanie przekształceń geometrycznych, [w:] „Nauczyciele i Matematyka” nr 8, 1993, s. 22‑23.

3. Pająk W., Przekształcenia a CABRI 2, [w:] „CABRI JEST” nr 10, lato 1997, s. 3‑4.

4. Pająk W., CABRI i przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, wydawnictwo VULCAN, Wrocław 1994.

5. Pająk W., CABRI i przekształcenia, [w:] „Matematyka” nr 6, 2006, s. 357‑361.

6. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A., Żylak K., Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

7. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A, Żylak K., Matematyka krok po kroku. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

8. Turnau S., CABRI i geometria elementarna, [w:] „Matematyka” nr 4, 1994, s. 212‑214.

6. Załączniki

a) Zadanie domowe

Zadanie 1. Dane jest przekształcenie zadane wzorem: $P((x,y))=(x-y,x+y)$.

Zadanie 2. Skonstruuj własne (nie występujące w dotychczasowej nauce w szkole) przekształcenie geometryczne zadane dwunormowo.

Do powyższych zadań 1 i 2 zastosuj polecenia z przykładu 1.

Po takim cyklu lekcji może się odbyć krótki sprawdzian związany z interpretacją przekształcenia geometrycznego.

Przykład takiego sprawdzianu:

Na płaszczyźnie dana jest prosta k i punkt A nie należący do prostej k. Obrazem punktu X należącego do półpłaszczyzny wraz z punktem A jest środek odcinka XA. Obrazem punktu Y nie należącego do półpłaszczyzny wraz z punktem A jest punkt Y’ leżący w połowie odległości między punktem Y i prostą k.

• Znaleźć obrazy kilku punktów.

• Czy tak opisane przekształcenie spełnia warunki przekształcenia geometrycznego? (odpowiedź uzasadnij)

• Czy są jakieś punkty, które pokrywają się ze swoimi obrazami? (wskaż je)

• Co może być obrazem odcinka? (rozważ różne położenia względem prostej k).

• Jaki jest zbiór wartości tego przekształcenia? (narysuj lub opisz)

• Czy można wskazać takie dwa punkty C i D, aby długość odcinka CD była różna od długości odcinka C’D’? (wskaż je lub uzasadnij, że ich nie ma)

7. Czas trwania lekcji

1,5 godziny lekcyjnej

8. Uwagi do scenariusza

brak