Pole trapezu

Wielokąty na rysunku są przystające.

Zauważmy, że przedstawione wielokąty są przystające, ponieważ kolejne kąty jednego wielokąta są równe kolejnym kątom drugiego i trzeciego, a boki położone między takimi samymi kątami w jednym, drugim i trzecim wielokącie są równe.

Skoro podane wielokąty są przystające, to ich pola są równe.

Skorzystaj ze wzoru na pole trapezu $P=\frac{\left(a+b\right)·h}{2}$, gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw trapezu, a $h$ to jego wysokość.

1. $P=\frac{7\cdot 1}{2} {\mathrm{dm}}^2=3,5 {\mathrm{dm}}^2$, bo $10 \mathrm{cm}=1 \mathrm{dm}$;

2. $P=\frac{\left(9+3\cdot 9\right)\cdot 10}{2} {\mathrm{cm}}^2=180 {\mathrm{cm}}^2$;

3. trapez jest kwadratem o boku długości $10 \mathrm{cm}$, $P=100 {\mathrm{cm}}^2$;

4. $25 \mathrm{mm}=\mathrm{2,5} \mathrm{cm}$, dłuższa podstawa ma długość $\left(\mathrm{2,5}+10\right) \mathrm{cm}=\mathrm{12,5} \mathrm{cm}$, $P=\frac{\left(2,5+12,5\right)}{2}·10=75 {\mathrm{cm}}^2$.

Trapez jest równoramienny, jego wysokość ma $6 \mathrm{cm}$.

Niech $h$ oznacza wysokość trapezu. Z równania $200=\frac{\left(h+3h\right)·h}{2}$ otrzymujemy $h=10$. Podstawy mają długości $10$ oraz $30$. Ramię trapezu ma długość $\sqrt{{10}^2+{10}^2} =10\sqrt{2 }$, obwód wynosi $10+30+2·10\sqrt{2}=40+20\sqrt{2}$.

Zwróć uwagę, że dłuższa podstawa trapezu ma długość $\left(80+50+50\sqrt{3}\right) \mathrm{m}$.

Działka ma kształt trapezu o wysokości $50 \mathrm{m}$ oraz podstawach długości $80 \mathrm{m}$ i $\left(80+50+50\sqrt{3}\right) \mathrm{m}$, jej pole wynosi $\left(210+50\sqrt{3}\right)·50·\frac{1}{2} {\mathrm{m}}^2=\left(210+50\sqrt{3}\right)·\mathrm{0,25} \mathrm{a}$.

Podziel trapez w połowie jego wysokości na dwa mniejsze trapezy, a następnie przebuduj je w taki sposób, aby otrzymać prostokąt.

Zacznijmy od podzielenia trapezu wzdłuż prostej równoległej do obu podstaw, która przecina jego wysokość w połowie.

R11kaRZoQc5zE

Po podziale powstały dwa trapezy. Dolny trapez obracamy o $180°$ i przysuwamy go do górnego trapezu w taki sposób, aby powstał równoległobok. Zauważmy, że otrzymany równoległobok ma podstawę o długości $\left(a+b\right)$ i wysokość równą $\frac{h}{2}$.

RkHI2FoiGEw7U

Odcinamy od otrzymanego równoległoboku wzdłuż jego wysokości trójkąt, który znajduje się z jego prawej strony i przesuwamy go do lewego boku równoległoboku.

RdFkSkkqCbCd6

W ten sposób otrzymaliśmy prostokąt o wymiarach $\left(a+b\right)$ na $\frac{h}{2}$.

Pole trapezu jest sumą pola prostokąta o wymiarach $2 \mathrm{cm}\times 6 \mathrm{cm}$ oraz pola trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości $2 \mathrm{cm}$.

Trójkąty $BFE$ oraz $DEC$ są przystające.

Zauważmy, że $\left|CE\right|=\left|EB\right|=2\mathrm{cm}$, $\left|BF\right|=\left|DC\right|$, a tym samym $\left|DE\right|=\left|EF\right|$.

Stąd otrzymujemy, że trójkąty $BFE$ oraz $DEC$ są przystające.

Zatem pole trapezu $ABCD$ jest takie samo jak pole trójkąta $ADF$.

Przekątna prostokąta, w kształcie którego są drzwi, ma długość $\sqrt{5}\mathrm{m}>2,2\mathrm{m}$.

Zauważmy, że przekątna prostokąta, w kształcie którego są drzwi, ma długość: $2^2+1^2=d^2\Rightarrow d=\sqrt{5} \mathrm{m}$.

Ponieważ $\sqrt{5} \mathrm{m}\approx 2,24 \mathrm{m}>2,2 \mathrm{m}$, zatem obraz można przenieść przez drzwi.

Dłuższa podstawa ma długość: $2\sqrt{{10}^2- 8^2}+8= 20$. Pole trapezu jest równe $\frac{\left(8+20\right)\cdot 8}{2}=112$.

Niech trapez $ABCD$ będzie rozpatrywanym trapezem o dłuższej podstawie $AB$ oraz krótszej $CD$. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny o kątach $60°$ i $30°$, stąd ramię $BC$ ma długość $6$. Trójkąt $ADC$ jest równoramienny, więc krótsza podstawa $CD$ trapezu ma długość $6$. Wysokość trapezu jest równa $\sqrt{6^2-3^2} = 3\sqrt{3}$, pole trapezu wynosi $27\sqrt{3}$.