Porównywanie liczb naturalnych z wykorzystaniem ilorazu

Badanie zależności między dwoma liczbami za pomocą mnożenia lub dzielenia nazywamy porównywaniem ilorazowym tych liczb.

Marek i Jarek zbierali grzyby. Marek zebrał $56$ grzybów, a Jarek $14$ grzybów. Obliczymy, ile razy mniej Jarek zebrał grzybów niż Marek.

Rozwiązanie:

Do wyznaczenia zależności pomiędzy liczbą grzybów zebranych przez Marka, a liczbą grzybów zebranych przez Jarka, wystarczy wykonać następujące dzielenie:

$56:14=4$

Zauważmy, że $56:14=4>1$.

Odpowiedź: Jarek zebrał $4$ razy mniej grzybów niż Marek.

Na parkingu jest $18$ samochodów osobowych, $6$ dostawczych oraz $2$ ciężarówki. Wyznaczymy:

1. ile razy mniej jest samochodów dostawczych niż osobowych,

2. ile razy więcej jest samochodów osobowych niż ciężarówek,

3. ile razy więcej jest samochodów dostawczych niż ciężarówek.

Rozwiązanie:

1. Wykonujemy dzielenie:

   $18:6=3$, zatem liczba $6$ jest $3$ razy mniejsza od liczby $18$

   Odpowiedź: Samochodów dostawczych jest $3$ razy mniej niż samochodów osobowych.

2. Wykonujemy dzielenie:

   $18:2=9$, zatem liczba $18$ jest $9$ razy większa od liczby $2$

   Odpowiedź: Samochodów osobowych jest $9$ razy więcej niż ciężarówek.

3. $6:2=3$, zatem liczba $6$ jest $3$ razy większa od liczby $2$

   Odpowiedź: Samochodów dostawczych jest $3$ razy więcej niż ciężarówek.

W restauracji jest $12$ większych stolików, a przy każdym stoliku jest $6$ krzeseł oraz $6$ mniejszych stolików, a przy każdym stoliku są $3$ krzesła. Obliczymy, ile razy więcej jest krzeseł niż stolików w tej restauracji.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy liczbę wszystkich krzeseł w restauracji: $12·6+6·3=72+18=90$

Wyznaczamy liczbę wszystkich stolików w restauracji: $12+6=18$

Obliczamy, ile razy więcej jest krzeseł niż stolików w tej restauracji: $90:18=5$

Odpowiedź: W restauracji jest $5$ razy więcej krzeseł niż stolików.

Mateusz zebrał w skarbonce $3$ banknoty $20 \mathrm{zł}$, $2$ banknoty po $10 \mathrm{zł}$, jedną monetę $5 \mathrm{zł}$, jedną monetę $2 \mathrm{zł}$ oraz jedną monetę $1 \mathrm{zł}$. Łukasz ma w swojej skarbonce $3$ monety $5 \mathrm{zł}$, $3$ monety $2 \mathrm{zł}$ oraz jedną monetę $1 \mathrm{zł}$. Obliczymy, ile razy mniej pieniędzy zebrał Łukasz niż Mateusz.

Rozwiązanie:

Obliczamy kwotę pieniędzy zebranych przez Mateusza:

$3·20 \mathrm{zł}+2·10 \mathrm{zł}+5 \mathrm{zł}+2 \mathrm{zł}+1 \mathrm{zł}=88 \mathrm{zł}$

Obliczamy kwotę pieniędzy zebranych przez Łukasza:

$3·5 \mathrm{zł}+3·2 \mathrm{zł}+1 \mathrm{zł}=22 \mathrm{zł}$

Obliczamy, ile razy mniej pieniędzy zebrał Łukasz niż Mateusz:

$88 \mathrm{zł}:22 \mathrm{zł}=4$

Odpowiedź: Łukasz zebrał $4$ razy mniej pieniędzy niż Mateusz.

Klasa $\text{IVa}$ zebrała $\mathrm{120 }\mathrm{kg}$ makulatury, klasa $\text{IVb}$ zebrała o $60 \mathrm{kg}$ makulatury mniej, a klasa $\text{IVc}$ o $240 \mathrm{kg}$ makulatury więcej niż klasa $\text{IVa}$. Obliczymy:

1. ile razy mniej kilogramów makulatury zebrała klasa $\text{IVb}$ niż klasa $\text{IVa}$,

2. ile razy więcej kilogramów makulatury zebrała klasa $\text{IVc}$ niż klasa $\text{IVb}$

Rozwiązanie:

Wyznaczmy liczbę kilogramów zebranej makulatury w poszczególnych klasach:

Klasa $\text{IVa}$: $120 \mathrm{kg}$

Klasa $\text{IVb}$: $120 \mathrm{kg}-60 \mathrm{kg}=60 \mathrm{kg}$

Klasa $\text{IVc}$: $120 \mathrm{kg}+240 \mathrm{kg}=360 \mathrm{kg}$

1. Obliczamy ile razy mniej kilogramów makulatury zebrała klasa $\text{IVb}$ niż klasa $\text{IVa}$:

   $120 \mathrm{kg}:60 \mathrm{kg}=2$

   Odpowiedź: Klasa $\text{IVb}$ zebrała $2$ razy mniej kilogramów makulatury niż klasa $\text{IVa}$.

2. Obliczamy ile razy więcej kilogramów makulatury zebrała klasa $\text{IVc}$ niż klasa $\text{IVb}$

   $360 \mathrm{kg}:60 \mathrm{kg}=6$

   Odpowiedź: Klasa $\text{IVc}$ zebrała $6$ razy więcej kilogramów makulatury niż klasa $\text{IVb}$.

Dane są liczby naturalne dodatnie $a$, $b$, $c$, $d$. Wykażemy, że jeśli liczba $a$ jest $c$ razy większa od liczby $b$ oraz liczba $b$ jest $c$ razy większa od liczby $d$, to $a·d=b^2$.

Rozwiązanie:

Jeśli liczba $a$ jest $c$ razy większa od liczby $b$, to: $a:b=c$.

Jeśli liczba $b$ jest $c$ razy większa od liczby $d$, to $b:d=c$.

Wobec tego otrzymujemy:

$\frac{a}{b}=\frac{b}{d}$.

Zatem:

$a·d=b·b$.

Wynika z tego, że $a·d=b^2$.

wynik dzielenia liczb, jedno z podstawowych działań arytmetycznych