Porównywanie: liczb, ułamków zwykłych i dziesiętnych

W życiu codziennym ważną umiejętnością jest porównywanie wielkości. Porównujemy na przykład ceny w sklepach, wzrost ludzi, odległości między miastami. Porównywanie sprowadza się do odpowiedzi na pytanie: Która z liczb, wyrażających daną wielkość, jest mniejsza, a która większa?

Przykład 1

R14mSRyzwDO6C1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

W tabeli zapisano w kolejności malejącej liczby mieszkańców wybranych stolic europejskich. Z zestawienia wynika, że najwięcej ludzi mieszka w Moskwie.

Tabela. Dane
Lp.	Nazwa stolicy	Liczba ludności
	Moskwa	$10470,318 tys .$
	Londyn	$7556,9 tys .$
	Madryt	$3573,729 tys .$
	Berlin	$3405,483 tys .$
	Kijów	$2744,384 tys .$
	Rzym	$2724,347 tys .$
	Paryż	$2153,6 tys .$
	Bukareszt	$1930,39 tys .$
	Mińsk	$1828,9 tys .$
	Warszawa	$1716,854 tys .$
	Budapeszt	$1698,106 tys .$
	Wiedeń	$1680,447 tys .$

Przykład 3

R5lJjdn3Be7Ck1

Przykład 4

Najkrótszym dystansem na zawodach lekkoatletycznych na otwartym stadionie jest bieg na $100$ metrów, nazywany klasycznym biegiem sprinterskim. Rekordzistów świata na tym dystansie nazywa się często najszybszymi mężczyznami lub najszybszymi kobietami świata.
Według danych na dzień $31.08.2013$ roku najszybciej ten dystans pokonali:

Usain Bolt – $9,58 s$ (Jamajka)
Tyson Gay – $9,69 s$ (USA)
Yohan Blake – $9,69 s$ (Jamajka)
Asafa Powell – $9,72 s$ (Jamajka)
Nesta Carter – $9,78 s$ (Jamajka).

Z powyższego zestawienia wynika, że rekordzistą świata w biegu na $100$ metrów w $2013 r .$ był Usain Bolt.

Już wiesz

Rq7mwSDa4cHVW1

Już wiesz

R3UkGnoMP0NRy1

Już wiesz

Porównywanie ułamków dziesiętnych zaczynamy od porównania cyfr występujących w ich najwyższych rzędach. Jeżeli cyfry występujące w rzędach całkowitych są równe, należy porównywać cyfry w rzędach części dziesiątych, setnych, tysięcznych itd., aż do rzędu, w którym w jednym z ułamków pojawi się cyfra większa niż w drugim.

Przykład 5

Który z podanych ułamków zwykłych jest większy: $\frac{2}{7}$ czy $\frac{3}{7}$ ?

R19OENqYL6SFo1

Rysunek dwóch osi liczbowych z zaznaczonymi punktami 0 i 1. Odcinek jednostkowy podzielony na 7 równych części. Na pierwszej osi zaznaczony punkt dwie siódme. Na drugiej osi zaznaczony punkt trzy siódme. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $3 > 2,$ to $\frac{3}{7} > \frac{2}{7}$ .

Zapamiętaj!

Jeżeli dwa ułamki zwykłe mają ten sam mianownik, to większy jest ten ułamek, który ma większy licznik.

Już wiesz

R14OArVq3GIcV1

iBVOXljA5L_d5e813

Przykład 6

Który z podanych ułamków zwykłych jest większy: $\frac{1}{5}$ czy $\frac{1}{8}$ ?

R12tXmnkWFSyt1

Rysunek dwóch osi liczbowych z zaznaczonymi punktami 0 i 1. Na pierwszej osi odcinek jednostkowy podzielony na 5 równych części. Zaznaczony punkt jedna piąta. Na drugiej osi odcinek jednostkowy podzielony na 8 równych części. Zaznaczony punkt jedna ósma. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $5 < 8$ , to $\frac{1}{5} > \frac{1}{8}$ .

Zapamiętaj!

Jeżeli dwa ułamki zwykłe mają ten sam licznik, to większy jest ten ułamek, który ma mniejszy mianownik.

Przykład 7

Z okazji rozpoczynających się wakacji Ania i Basia wybrały się do nowo otwartej pizzerii. Dziewczynki zamówiły dwie małe pizze z pieczarkami, po jednej dla każdej z nich. Ania zjadła $\frac{4}{7}$ swojej pizzy, natomiast Basia $\frac{2}{3}$ . Która z nich zjadła większą część pizzy?
Po sprowadzeniu odpowiednich ułamków do wspólnego mianownika, otrzymujemy

\frac{4}{7} = \frac{12}{21}, \frac{2}{3} = \frac{14}{21} .

Ponieważ

\frac{12}{21} < \frac{14}{21},

\frac{4}{7} < \frac{2}{3} .

Większą część pizzy zjadła Basia.

Przykład 8

Który z podanych ułamków jest większy: $\frac{3}{5}$ czy $\frac{2}{3}$ ?

RMtVhE8EiRRAr1

\frac{2}{3} > \frac{3}{5}

Zapamiętaj!

Jeżeli dwa ułamki zwykłe mają różne liczniki i mianowniki, to należy sprowadzić je do wspólnego licznika lub mianownika, i dopiero wtedy porównać.

iBVOXljA5L_d5e901

Ćwiczenie 1

Tabela przedstawia dane dotyczące rekordów świata w pływaniu na $50$ metrów kobiet i mężczyzn. ( źródło Wikipedia)

Tabela. Dane
	Kobiety	Mężczyźni
Styl grzbietowy	$27, 06 s (2009 r .)$	$24, 04 s$ $(2009 r .)$
Styl klasyczny	$29,48 s (2013 r .)$	$26,62 s (2014 r .)$
Styl motylkowy	$24,43 s (2014 r .)$	$22,43 s (2009 r .)$
Styl dowolny	$23,73 s (2009 r .)$	$20,91 s (2009 r .)$

Na podstawie tabeli uzupełnij zdania.

Najlepszy wynik uzyskany przez mężczyzn to … s, natomiast najsłabszy to … s.
Najlepszy wynik uzyskany przez kobiety to … s, natomiast najsłabszy to … s.
O ile sekund szybciej dopłynął do mety rekordzista świata mężczyzn niż rekordzistka świata kobiet w stylu dowolnym?

$20,91 s$ , najsłabszy $26,62$ s
$23,73 s$ , najsłabszy $29,48$ s
o $2,82$ s

classicmobile

Ćwiczenie 2

RzcTvrcBDQE8d1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

static

Ćwiczenie 2

Uzupełnij __, wstawiając odpowiedni znak: $<, =, >$ . $$$ W każdym przykładzie możliwość wyboru znaku $<, =, >$ poprzez rozwinięcie z listy.

$\frac{2}{5} \frac{4}{5}$
$1 \frac{5}{8} 1 \frac{3}{8}$
$\frac{2}{6} \frac{2}{5}$
$3 \frac{11}{23} 3 \frac{11}{32}$
$\frac{7}{17} \frac{1}{2}$
$\frac{6}{7} \frac{7}{8}$
$6 \frac{5}{16} 6 \frac{1}{4}$
$2 \frac{2}{9} 2 \frac{1}{4}$
$\frac{2}{5} 0,4$
$\frac{3}{7} 0,3$
$6,89 6,9$
$9,023 9,022$

Ćwiczenie 3

Wstaw w miejsce kropek taką liczbę naturalną, aby otrzymać nierówność prawdziwą.

$\frac{2}{7} < \frac{2}{\dots}$
$\frac{\dots}{6} > \frac{5}{6}$
$\frac{6}{\dots} < \frac{1}{2}$
$\frac{2}{5} > \frac{\dots}{8}$
$0 < \frac{\dots}{12} < \frac{1}{3}$
$2 < \frac{\dots}{28} < 2 \frac{1}{4}$
$5, \dots 1 > 5,21$
$21,23 < 21,2$ $\dots$
$3,5 < 3,5 \dots$
$2 \dots, 78 > 23,78$
$2 \dots, 78 > 23,78$

classicmobile

Ćwiczenie 4

R1ecU3ITU46ly1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

static

Ćwiczenie 4

Wstaw w miejsce kropek taki ułamek, aby otrzymać nierówność prawdziwą.

$\frac{2}{7} < \dots < \frac{2}{5}$
$\frac{3}{6} < \dots < \frac{5}{6}$
$\frac{3}{\dots} < \frac{3}{7} < \frac{\dots}{7}$
$\frac{\dots}{9} < \frac{4}{9} < \frac{4}{\dots}$
$\frac{2}{3} < \dots < \frac{5}{6}$
$\frac{2}{5} < \dots < \frac{5}{6}$

np. $\frac{2}{6}$
np. $\frac{4}{6}$
np. $8, 4$ $(\frac{3}{8} < \frac{3}{7} < \frac{4}{7})$
np. $2, 7$ $(\frac{2}{9} < \frac{4}{9} < \frac{4}{7})$
np. $\frac{13}{18}$
np. $\frac{17}{30}$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Na sprawdzianie, w jednym z zadań, należało porównać wartości wyrażeń i wpisać między nimi znak $>, <, =$ . W którym z przykładów uczeń klasy pierwszej popełnił błąd?

ReJMjfmxOMeQF

$\frac{1}{2} ∙ \frac{3}{5} > 0,2$
$\frac{6}{7} : \frac{1}{7} < 7 \frac{1}{3}$
$2,3 + 0,81 > 3,011$
$\frac{4}{5} + 1 > 1 + 0,8$

static

Ćwiczenie 5

Na sprawdzianie, w jednym z zadań, należało porównać wartości wyrażeń i wpisać między nimi znak $>, <, =$ . W którym z przykładów uczeń klasy pierwszej popełnił błąd?

R1FRkvtYgystw

$\frac{1}{2} ∙ \frac{3}{5} > 0,2$
$\frac{6}{7} : \frac{1}{7} < 7 \frac{1}{3}$
$2,3 + 0,81 > 3,011$
$\frac{4}{5} + 1 > 1 + 0,8$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Spośród poniższych ułamków wybierz największy.

R1doJy7luCfp1

$\frac{4}{9}$
$\frac{9}{18}$
$\frac{18}{38}$
$\frac{38}{75}$

static

Ćwiczenie 6

Spośród poniższych ułamków wybierz największy.

RWgB3BZFHyGDv

$\frac{4}{9}$
$\frac{9}{18}$
$\frac{18}{38}$
$\frac{38}{75}$

classicmobile

Ćwiczenie 7

W kolejności malejącej uporządkowane są następujące liczby

R1RvkmctagKlg

$\frac{1}{16}; \frac{1}{8}; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}$
$\frac{4}{5}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{4}{15}$
$\frac{8}{9}; \frac{3}{9}; \frac{5}{9}; \frac{7}{9}$
$3,232; 3,231; 2,313; 2,211$

static

Ćwiczenie 7

W kolejności malejącej uporządkowane są następujące liczby

ROnSJh2jLGz0D

$\frac{1}{16}; \frac{1}{8}; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}$
$\frac{4}{5}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{4}{15}$
$\frac{8}{9}; \frac{3}{9}; \frac{5}{9}; \frac{7}{9}$
$3,232; 3,231; 2,313; 2,211$

Ćwiczenie 8

Uporządkuj podane liczby rosnąco.
$\frac{3}{5}; 0,88; \frac{2}{3}; 0,8; \frac{23}{25}$

$\frac{3}{5}; \frac{2}{3}; 0, 8; 0, 88; \frac{23}{25}$

Ćwiczenie 9

Uporządkuj podane liczby malejąco.
$3,23; \frac{323}{11}; 3,223; 32,3; 29 \frac{1}{3}$

$32, 3; \frac{323}{11}; 29 \frac{1}{3}; 3, 23; 3, 223$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RyMvL2LSnIZao

Ułamek $\frac{16}{23}$ jest większy od $\frac{1}{2}$ i mniejszy od $\frac{3}{4}$ .
Liczba $2,755$ jest mniejsza od liczby $2 \frac{3}{4}$ .
Różnica liczb $2$ i $\frac{83}{42}$ jest mniejsza od $\frac{1}{42}$ .
Iloczyn liczb $1 \frac{1}{6} ∙ 2,4$ jest większy od ułamka $2,81$ .

static

Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1B0Meq0ukmsm

Ułamek $\frac{16}{23}$ jest większy od $\frac{1}{2}$ i mniejszy od $\frac{3}{4}$ .
Liczba $2,755$ jest mniejsza od liczby $2 \frac{3}{4}$ .
Różnica liczb $2$ i $\frac{83}{42}$ jest mniejsza od $\frac{1}{42}$ .
Iloczyn liczb $1 \frac{1}{6} ∙ 2,4$ jest większy od ułamka $2,81$ .

iBVOXljA5L_d5e1337

Ćwiczenie 11

Dopasuj litery do odpowiednich ułamków: $\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{5}$ .

RevsES89r7lr91

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami 0 i 1. Odcinek jednostkowy podzielony na 5 równych części. Między punktami 0 i 1 zaznaczone punkty A, B, C, D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$A = \frac{1}{8}$
$B = \frac{2}{5}$
$C = \frac{1}{2}$
$D = \frac{3}{4}$

Ćwiczenie 12

Dopasuj litery do odpowiednich liczb: $3,3; 3,25; 3,6; 3,5; 3,255$ .

RFHAYf0F1qILu1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami 3 i 4. Odcinek jednostkowy podzielony na 9 równych części. Między punktami 3 i 4 zaznaczone punkty A, B, C, D, E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$A = 3,25$
$B = 3,255$
$C = 3,3$
$D = 3,5$
$E = 3,6$

Ćwiczenie 13

Korzystając z mapy, oszacuj, jaką powierzchnię zajmuje województwo łódzkie. Pamiętaj, że powierzchnia Polski wynosi około $312000 k m^{2}$ .
Znajdź województwa o podobnej powierzchni.
R1YkCJ5LHK2IX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
W poniższej tabeli podano, jaką część powierzchni Polski stanowi pięć województw. Uporządkuj nazwy województw według powierzchni, zaczynając od najmniejszej do największej.
Podaj przybliżoną wartość powierzchni tych województw, jeżeli powierzchnia Polski wynosi około $312 000 km ² .$

małopolskie, łódzkie, dolnośląskie, wielkopolskie, mazowieckie

małopolskie – $15 000 km ²$
łódzkie – $18 000 km ²$
dolnośląskie – $20 000 km ²$
wielkopolskie – $30 000 km ²$
mazowieckie – $36 000 km ²$

Ćwiczenie 14

Wstaw w miejsce kropek taką liczbę naturalną, aby spełniona była podana nierówność, a wstawienie liczby o $1$ mniejszej spowoduje zmianę znaku nierówności.

$\frac{4}{11} < \frac{\dots}{7}$
$\frac{3}{4} < \frac{\dots}{9}$

Ćwiczenie 15

Wstaw w miejsce kropek taką liczbę naturalną, aby spełniona była podana nierówność, a wstawienie liczby o $1$ większej spowoduje zmianę znaku nierówności.

$\frac{5}{11} > \frac{\dots}{10}$
$\frac{6}{17} < \frac{5}{\dots}$

$4$
$14$

Ćwiczenie 16

Znajdź siedem liczb, które są większe od $\frac{3}{4}$ i mniejsze od $\frac{7}{9}$ .

$\frac{217}{288}, \dots, \frac{223}{288}$

Ćwiczenie 17

W pewnej klasie $\frac{6}{7}$ wszystkich uczniów stanowią chłopcy. Połowa chłopców tej klasy ma ciemne włosy. Czy chłopcy z ciemnymi włosami stanowią więcej, czy mniej niż połowę uczniów tej klasy?

Ćwiczenie 18

Grupa gimnazjalistów wybrała się na pieszy jesienny rajd do pobliskiego parku. Podczas pierwszej części rajdu uczniowie przebyli $\frac{7}{17}$ całej trasy. Podczas drugiej części rajdu przebyli $\frac{65}{136}$ całej trasy. Podczas której części rajdu uczniowie pokonali więcej kilometrów?

Ćwiczenie 19

Podczas zawodów tanecznych $\frac{4}{15}$ wszystkich widzów uznało, że najbardziej widowiskowy był pokaz rumby. Natomiast $0,32$ wszystkich widzów za najciekawszy występ uznało pokaz samby. Który pokaz, zdaniem widzów był atrakcyjniejszy?

Ćwiczenie 20

Państwo Nowakowie wybrali się na zakupy do supermarketu.

Czy cena $1$ kilograma proszku w każdym przypadku jest taka sama? Odpowiedź uzasadnij.
RfcQyeNcUhtZn1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Państwo Nowakowie chcą kupić $10,5$ litra soku w opakowaniach jednego rodzaju. Jakie opakowania soku powinni wybrać, aby zapłacić jak najmniej? Odpowiedź uzasadnij.
R180KOaDHjCkf1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nie. W opakowaniu $5 kg$ cena za $1$ kilogram wynosi $8,7 zł$ , a w opakowaniu $3 kg$ cena za $1$ kilogram wynosi $9,2 zł$ .
Powinni wybrać opakowanie $3,5$ litrowe. Za $10,5$ litra soku w opakowaniu $3,5$ litrowym zapłacą $25,35 zł$ , natomiast w opakowaniu $1,5$ litrowym zapłacą $36,33 zł$ .

Działania na ułamkach dziesiętnych

Rozwinięcia dziesiętne ułamka zwykłego