Potęga o wykładniku wymiernym - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Analizując treści zawarte w tym materiale przypomnisz sobie definicję potęgi o wykładniku wymiernym i prawa działań na potęgach. Przykłady pokazują zastosowania tych praw.

Potęga o wykładniku

\frac{1}{n}

Definicja: Potęga o wykładniku

\frac{1}{n}

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczby naturalnej $n$ większej od $1$ przyjmujemy

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Dla liczby naturalnej $n$ większej od $1$ , liczby całkowitej $m$ i liczby dodatniej $a$ przyjmujemy

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

W szczególności, gdy $m = 1$ otrzymujemy $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ . Równość tę przyjmujemy też dla $a = 0$ . Poznane wcześniej twierdzenia o działaniach na potęgach o całkowitych wykładnikach są prawdziwe również wtedy, gdy wykładnik jest liczbą wymierną. Mamy zatem:

Działania na potęgach

Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej $a$ i dowolnych liczb wymiernych $x$ i $y$ prawdziwe są równości

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)
$\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)
${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ (wzór na potęgę potęgi)

Dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby wymiernej $x$ prawdziwe są równości

$a^{x} \cdot b^{x} = {(a \cdot b)}^{x}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych wykładnikach)
$\frac{a^{x}}{b^{x}} = {(\frac{a}{b})}^{x}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych wykładnikach)

RXn005NBru1WD11

Ćwiczenie 1

Połącz w pary.

\sqrt[3]{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4^{\frac{1}{5}}

, 2.

4^{\frac{1}{3}}

, 3.

4^{\frac{1}{4}}

, 4.

2^{\frac{1}{2}}

, 5.

\sqrt{0.5}

, 6.

2^{\frac{1}{3}}

, 7.

\sqrt[4]{8}

, 8.

\sqrt[3]{0.5}

, 9.

\sqrt[5]{8}

\sqrt[3]{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4^{\frac{1}{5}}

, 2.

4^{\frac{1}{3}}

, 3.

4^{\frac{1}{4}}

, 4.

2^{\frac{1}{2}}

, 5.

\sqrt{0.5}

, 6.

2^{\frac{1}{3}}

, 7.

\sqrt[4]{8}

, 8.

\sqrt[3]{0.5}

, 9.

\sqrt[5]{8}

{(0.5)}^{\frac{1}{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4^{\frac{1}{5}}

, 2.

4^{\frac{1}{3}}

, 3.

4^{\frac{1}{4}}

, 4.

2^{\frac{1}{2}}

, 5.

\sqrt{0.5}

, 6.

2^{\frac{1}{3}}

, 7.

\sqrt[4]{8}

, 8.

\sqrt[3]{0.5}

, 9.

\sqrt[5]{8}

8^{\frac{1}{4}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4^{\frac{1}{5}}

, 2.

4^{\frac{1}{3}}

, 3.

4^{\frac{1}{4}}

, 4.

2^{\frac{1}{2}}

, 5.

\sqrt{0.5}

, 6.

2^{\frac{1}{3}}

, 7.

\sqrt[4]{8}

, 8.

\sqrt[3]{0.5}

, 9.

\sqrt[5]{8}

\sqrt[5]{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4^{\frac{1}{5}}

, 2.

4^{\frac{1}{3}}

, 3.

4^{\frac{1}{4}}

, 4.

2^{\frac{1}{2}}

, 5.

\sqrt{0.5}

, 6.

2^{\frac{1}{3}}

, 7.

\sqrt[4]{8}

, 8.

\sqrt[3]{0.5}

, 9.

\sqrt[5]{8}

\sqrt{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4^{\frac{1}{5}}

, 2.

4^{\frac{1}{3}}

, 3.

4^{\frac{1}{4}}

, 4.

2^{\frac{1}{2}}

, 5.

\sqrt{0.5}

, 6.

2^{\frac{1}{3}}

, 7.

\sqrt[4]{8}

, 8.

\sqrt[3]{0.5}

, 9.

\sqrt[5]{8}

\sqrt[4]{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4^{\frac{1}{5}}

, 2.

4^{\frac{1}{3}}

, 3.

4^{\frac{1}{4}}

, 4.

2^{\frac{1}{2}}

, 5.

\sqrt{0.5}

, 6.

2^{\frac{1}{3}}

, 7.

\sqrt[4]{8}

, 8.

\sqrt[3]{0.5}

, 9.

\sqrt[5]{8}

{(0.5)}^{\frac{1}{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4^{\frac{1}{5}}

, 2.

4^{\frac{1}{3}}

, 3.

4^{\frac{1}{4}}

, 4.

2^{\frac{1}{2}}

, 5.

\sqrt{0.5}

, 6.

2^{\frac{1}{3}}

, 7.

\sqrt[4]{8}

, 8.

\sqrt[3]{0.5}

, 9.

\sqrt[5]{8}

8^{\frac{1}{5}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4^{\frac{1}{5}}

, 2.

4^{\frac{1}{3}}

, 3.

4^{\frac{1}{4}}

, 4.

2^{\frac{1}{2}}

, 5.

\sqrt{0.5}

, 6.

2^{\frac{1}{3}}

, 7.

\sqrt[4]{8}

, 8.

\sqrt[3]{0.5}

, 9.

\sqrt[5]{8}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Wykażemy, że:

32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = 98^{\frac{1}{2}}

Po lewej stronie równości zamieniamy potęgi na pierwiastki.

32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = \sqrt{32} + \sqrt{18} = 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 7 \sqrt{2}

Po prawej stronie równości postąpimy podobnie

98^{\frac{1}{2}} = \sqrt{98} = 7 \sqrt{2}

Z tego wynika, że obie strony równości są równe.

32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = 98^{\frac{1}{2}}

Przykład 2

Sprawdzimy, czy liczby $x = 3^{\frac{1}{2}} + 2$ oraz $y = {(7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ są równe. Podnosimy obie strony pierwszej równości do kwadratu

x^{2} = {(3^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}

Stosujemy wzór na kwadrat sumy.

{(3^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 4 = 3 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 4 = 7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}

Podobnie podnosimy obie strony drugiej równości do kwadratu.

y^{2} = {({(7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{1} = 7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}

Zatem

x^{2} = y^{2}

Liczby $x$ oraz $y$ są dodatnie. Stąd, że ich kwadraty są równe, wynika, że liczby również są równe.

x = y