Potęga o wykładniku wymiernym

Analizując treści zawarte w tym materiale przypomnisz sobie definicję potęgi o wykładniku wymiernym i prawa działań na potęgach. Przykłady pokazują zastosowania tych praw.

Potęga o wykładniku

\frac{1}{n}

Definicja: Potęga o wykładniku

\frac{1}{n}

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczby naturalnej $n$ większej od $1$ przyjmujemy

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Dla liczby naturalnej $n$ większej od $1$ , liczby całkowitej $m$ i liczby dodatniej $a$ przyjmujemy

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

W szczególności, gdy $m = 1$ otrzymujemy $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ . Równość tę przyjmujemy też dla $a = 0$ . Poznane wcześniej twierdzenia o działaniach na potęgach o całkowitych wykładnikach są prawdziwe również wtedy, gdy wykładnik jest liczbą wymierną. Mamy zatem:

Działania na potęgach

Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej $a$ i dowolnych liczb wymiernych $x$ i $y$ prawdziwe są równości

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)
$\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)
${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ (wzór na potęgę potęgi)

Dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby wymiernej $x$ prawdziwe są równości

$a^{x} \cdot b^{x} = {(a \cdot b)}^{x}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych wykładnikach)
$\frac{a^{x}}{b^{x}} = {(\frac{a}{b})}^{x}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych wykładnikach)

RXn005NBru1WD11

Ćwiczenie 1

Połącz w pary. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka nawias, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka osiem indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka pierwiastek stopnia pięć z cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka pierwiastek stopnia cztery z cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka nawias, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka osiem indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Wykażemy, że:

32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = 98^{\frac{1}{2}}

Po lewej stronie równości zamieniamy potęgi na pierwiastki.

32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = \sqrt{32} + \sqrt{18} = 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 7 \sqrt{2}

Po prawej stronie równości postąpimy podobnie

98^{\frac{1}{2}} = \sqrt{98} = 7 \sqrt{2}

Z tego wynika, że obie strony równości są równe.

32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = 98^{\frac{1}{2}}

Przykład 2

Sprawdzimy, czy liczby $x = 3^{\frac{1}{2}} + 2$ oraz $y = {(7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ są równe. Podnosimy obie strony pierwszej równości do kwadratu

x^{2} = {(3^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}

Stosujemy wzór na kwadrat sumy.

{(3^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 4 = 3 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 4 = 7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}

Podobnie podnosimy obie strony drugiej równości do kwadratu.

y^{2} = {({(7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{1} = 7 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}

Zatem

x^{2} = y^{2}

Liczby $x$ oraz $y$ są dodatnie. Stąd, że ich kwadraty są równe, wynika, że liczby również są równe.

x = y