Prawdopodobieństwem zdarzenia losowego ( $p$ ) nazywamy stosunek liczby wyników sprzyjających temu zdarzeniu ( $n$ ) do liczby wszystkich możliwych wyników ( $N$ ) tego zdarzenia losowego.

p = \frac{n}{N}

W tym materiale omówimy sposoby obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń podczas dwukrotnego rzutu kostką lub monetą oraz w innych sytuacjach z życia codziennego, a także zasady stosowania reguły mnożenia oraz reguły dodawania, również w sytuacjach wymagających rozważenia kilku przypadków.

Przykład 1

Rg0IeMgONyCQl1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZ29n0O3mEm8h

Przykład 2

RXHxczROhHyrh1

Ćwiczenie 1

Wykonaj $100$ rzutów monetą. Porównaj swoje wyniki z wynikami przedstawionymi w Przykładzie $2$ .
Czy stwierdzenia sformułowane w filmie są prawdziwe dla Twoich wyników?

R31OlZi4VBEbS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prawdopodobieństwo wypadnięcia „Orła” lub „Reszki” w pojedynczym rzucie wynosi $50$ $%$ dla każdego wyniku. Jednak podczas rzucania wielokrotnie możesz uzyskać różne sekwencje wyników.

Przykład 3

R8jXF43Qe6AON

Przykład 4

RcuTrTcBwwe2H1

Przykład 5

RjCkmcufP0rag1

R6JfSCvbrlOct1

R1FsEGWtJqY491

RY6mVoEjzcqLU1

RfZYbeEJL5Fqu1

Reguła mnożenia
Liczba par elementów, w których pierwszy element pary można wybrać na $x$ sposobów, a drugi element pary na $y$ sposobów jest równa $x \cdot y$ .

Regułę mnożenia można uogólnić dla trzech, czterech $\dots$ elementów.

Przykład 6

Kuba postanowił zjeść obiad w stołówce szkolnej. Na ile sposobów Kuba może wybrać posiłek, jeżeli dziś ma ochotę na zupę, drugie danie i deser?

RyEF5eZxdS45D

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, dostępny w internecie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Menu stołówki:

Do wyboru są trzy zupy: barszcz czerwony, pomidorowa i rosół.

Do wyboru są cztery dania główne: makaron, pierogi, kotlet schabowy i pieczeń.

Do wyboru są dwa desery: szarlotka i ciasto czekoladowe.

Ile jest sposobów wyboru obiadu?

Trzy razy cztery razy dwa równa się dwadzieścia cztery możliwości, gdzie kolejne składniki mnożenia odpowiadają ilości rodzajów zup, dań głównych i deserów.

Z reguły mnożenia wynika,że Kuba może wybrać posiłek na $24$ sposoby.

Reguła dodawania
Jeżeli mamy dwa zbiory, jeden składający się z $x$ elementów, drugi składający się z $y$ elementów i żaden element nie powtarza się w obu zbiorach, to wybierając element z tych zbiorów, możemy to zrobić na $x + y$ sposobów.

Regułę dodawania można uogólnić na trzy, cztery $\dots$ zbiory.
Regułę dodawania stosujemy przy wyborze typu albo‑albo.

Przykład 7

Kuba postanowił zjeść obiad w stołówce szkolnej. Na ile sposobów Kuba może wybrać posiłek, jeżeli dziś ma ochotę na zupę i drugie danie, albo drugie danie i deser?

RnfyShYMLW7XN

Ilustracja interaktywna 1. Dzisiaj zjem zupę i drugie danie, albo może drugie danie i deser., 2. Do wyboru są trzy zupy: barszcz czerwony, pomidorowa i rosół., 3. Do wyboru są cztery dania główne: makaron, pierogi, kotlet schabowy i pieczeń., 4. Do wyboru są dwa desery: szarlotka i ciasto czekoladowe., 5. Ile jest sposobów wyboru obiadu?

3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 12 + 8 = 20

możliwości

zupa

II danie

II danie

deser

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, dostępny w internecie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Menu stołówki:

Do wyboru są trzy zupy: barszcz czerwony, pomidorowa i rosół.

Do wyboru są cztery dania główne: makaron, pierogi, kotlet schabowy i pieczeń.

Do wyboru są dwa desery: szarlotka i ciasto czekoladowe.

Ile jest sposobów wyboru obiadu?

Trzy razy cztery razy plus cztery razy dwa równa się dwanaście plus osiem równa się dwadzieścia możliwości. Pierwszy iloczyn odpowiada ilości możliwości wyboru zupy i dania głównego, drugi iloczyn odpowiada ilości możliwości wybory dania głównego i deseru.

Z reguły mnożenia i reguły dodawania wynika, że Kuba może wybrać posiłek na $20$ sposobów.

R1R1aH8NNpz7f11

Ćwiczenie 2

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{2}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJ3am2nSdl1FB21

Ćwiczenie 3

Rzucamy jednokrotnie sześcienną kostką do gry. Połącz w pary nazwy zdarzeń z ich prawdopodobieństwami. Wyrzucimy nie mniej niż trzy oczka. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{6}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

1

Wyrzucimy liczbę oczek podzielną przez trzy. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{6}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

1

Wyrzucimy liczbę oczek będącą liczbą pierwszą. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{6}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

1

Wyrzucimy liczbę oczek nie większą niż sześć. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{6}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

1

Wyrzucimy liczbę oczek nie większą niż

1

. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{6}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

1

Rzucamy jednokrotnie sześcienną kostką do gry. Połącz w pary nazwy zdarzeń z ich prawdopodobieństwami.

A:Wyrzucimy nie mniej niż trzy oczka
B:Wyrzucimy liczbę oczek podzielną przez trzy
C:Wyrzucimy liczbę oczek będącą liczbą pierwszą
D:Wyrzucimy liczbę oczek nie większą niż sześć
E:Wyrzucimy liczbę oczek nie większą niż 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R85JVPMyurWG621

Ćwiczenie 4

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek na obu kostkach będzie liczbą większą od $8$ , wynosi $\frac{5}{18}$ .
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn oczek na obu kostkach będzie liczbą podzielną przez $3$ , wynosi $\frac{7}{12}$ .
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba oczek na pierwszej kostce jest większa niż na drugiej kostce, wynosi $\frac{1}{2}$ .
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba oczek na pierwszej kostce będzie parzysta, a liczba oczek na drugiej kostce będzie podzielna przez trzy, wynosi $\frac{1}{6}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NARCVyGefuA11

Ćwiczenie 5

$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aTIvuUgd6gD21

Ćwiczenie 6

Kamila
Bartek
Kinga
Maciek

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2zSXkWaABDVC2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IMyQ2Q4jfku21

Ćwiczenie 8

Rzucamy dwa razy kostką. Przeciągnij zdarzenia

A_{n}

n = 1 \dots 6

z dolnej sekcji do górnej, określając ich prawdopodobieństwa.

P (A_{n}) \geq \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

A_{1}

– wyrzucona suma oczek jest większa od

6

., 2.

A_{2}

– iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest podzielny przez

10

., 3.

A_{4}

– wyrzucono dwie takie same liczby oczek., 4.

A_{5}

– suma wyrzuconych oczek jest parzysta., 5.

A_{3}

– wyrzucono parzystą oraz nieparzystą liczbę oczek., 6.

A_{6}

– wyrzucono dwie nieparzyste liczby oczek.

P (A_{n}) < \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

A_{1}

– wyrzucona suma oczek jest większa od

6

., 2.

A_{2}

– iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest podzielny przez

10

., 3.

A_{4}

– wyrzucono dwie takie same liczby oczek., 4.

A_{5}

– suma wyrzuconych oczek jest parzysta., 5.

A_{3}

– wyrzucono parzystą oraz nieparzystą liczbę oczek., 6.

A_{6}

– wyrzucono dwie nieparzyste liczby oczek.

Rzucamy trzy razy monetą. Przeciągnij zdarzenia $A_{n}, n = 1 . . . 6$ z dolnej sekcji do górnej, określając ich prawdopodobieństwa.

<math><msub><mi>A</mi><mo>1</mo></msub><mo>-</mo></math> wyrzucono co najmniej dwa orły., <math><msub><mi>A</mi><mo>3</mo></msub><mo>-</mo></math> wyrzucono co najmniej jedną reszkę., <math><msub><mi>A</mi><mo>6</mo></msub><mo>-</mo></math> wyrzucono dwie reszki i jednego orła., <math><msub><mi>A</mi><mo>5</mo></msub><mo>-</mo></math> wyrzucono nie więcej niż dwie reszki., <math><msub><mi>A</mi><mo>4</mo></msub><mo>-</mo></math> wyrzucono same orły lub same reszki., <math><msub><mi>A</mi><mo>2</mo></msub><mo>-</mo></math> wyrzucono dokładnie jedną reszkę.

$P (A_{n}) \geq \frac{1}{2}$
$P (A_{n}) < \frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

W loterii jest $100$ losów, w tym $25$ wygrywających. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że druga osoba wylosuje los wygrywający, jeżeli:

osoba przed nią kupiła los przegrywający,
osoba przed nią kupiła los wygrywający,

Które z tych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne?

RqiUU9wjKSw33

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{25}{99}$ ,
$\frac{24}{99}$ ,

Ćwiczenie 10

R8WClsOACO6Ga

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $x$ oznacza liczbę krówek dołożonych do pudełka. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania z pudełka krówki jest równe $\frac{x}{30 + x}$ .

R1C4Y14Cj2q0F31

Ćwiczenie 11

Łączenie par. Podsumowując wyniki ankiety na temat ulubionego koloru, przeprowadzonej wśród

120

uczniów, uzyskano następujące wyniki:

20 %

ankietowanych lubi najbardziej kolor żółty,

30 %

– kolor czerwony,

40 %

– kolor niebieski. Ulubionym kolorem pozostałych ankietowanych jest kolor zielony.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.. Prawdopodobieństwo, że ulubionym kolorem losowo wybranej osoby spośród ankietowanych jest kolor niebieski, wynosi

\frac{2}{5}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Prawdopodobieństwo, że ulubionym kolorem losowo wybranej osoby jest niebieski lub zielony, jest większe niż to, że ulubionym kolorem jest czerwony lub żółty.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Prawdopodobieństwo, że ulubionym kolorem dowolnie wybranej osoby jest żółty, jest dwukrotnie mniejsze od tego, że tym kolorem jest niebieski.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Prawdopodobieństwo, że ulubionym kolorem losowo wybranej osoby jest zielony, wynosi

\frac{1}{10}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R12zu0o5seRFW21

Ćwiczenie 12

$\frac{2}{3}$
$\frac{2}{5}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{3}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RWgRtZPyhIXci2

Ćwiczenie 13

Wśród biletów do teatru zakupionych dla wycieczki znajduje się

30

biletów z miejscami na parterze i

20

z miejscami na balkonie. Zakładając, że pierwszy z uczestników wycieczki otrzymał bilet z miejscem na balkonie, wyznacz prawdopodobieństwo, że drugi uczestnik też otrzyma bilet z miejscem na balkonie, a następnie przeciągnij i upuść rozwiązanie. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo otrzymania biletu z miejscem na balkonie przez drugiego uczestnika wynosi 1.

\frac{18}{48}

, 2.

\frac{30}{50}

, 3.

\frac{19}{49}

, 4.

\frac{19}{20}

, 5.

\frac{20}{50}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfYgS5eoZ4gu82

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Zic736TJMtC2

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Q8nMefFI2JL21

Ćwiczenie 16

Dwie koleżanki, Magda i Kinga, poszły do kwiaciarni kupić kwiaty dla swoich mam. W sklepie do wyboru były róże -

R

, tulipany -

T

i goździki -

G

. Połącz w pary zbiory możliwych elementów z odpowiednimi zdarzeniami sprzyjającymi. Obydwie koleżanki kupiły takie same kwiaty. Możliwe odpowiedzi: 1.

\{(R, T), (T, R), (G, R), (R, G), (T, G), (G, T)\}

, 2.

\{(R, T), (R, R), (R, G)\}

, 3.

\{(R, R), (G, G), (T, T)\}

, 4.

\{(T, R), (T, G), (R, G), (R, R)\}

Każda z nich kupiła inne kwiaty dla swojej mamy. Możliwe odpowiedzi: 1.

\{(R, T), (T, R), (G, R), (R, G), (T, G), (G, T)\}

, 2.

\{(R, T), (R, R), (R, G)\}

, 3.

\{(R, R), (G, G), (T, T)\}

, 4.

\{(T, R), (T, G), (R, G), (R, R)\}

Magda musi kupić róże, a Kinga może kupić dowolne kwiaty. Możliwe odpowiedzi: 1.

\{(R, T), (T, R), (G, R), (R, G), (T, G), (G, T)\}

, 2.

\{(R, T), (R, R), (R, G)\}

, 3.

\{(R, R), (G, G), (T, T)\}

, 4.

\{(T, R), (T, G), (R, G), (R, R)\}

Magda nie może kupić goździków, a Kinga tulipanów. Możliwe odpowiedzi: 1.

\{(R, T), (T, R), (G, R), (R, G), (T, G), (G, T)\}

, 2.

\{(R, T), (R, R), (R, G)\}

, 3.

\{(R, R), (G, G), (T, T)\}

, 4.

\{(T, R), (T, G), (R, G), (R, R)\}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFbpOmGmpJ6Dw2

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rao6x3YySsoC52

Ćwiczenie 18

Skorzystaj z reguły mnożenia i odpowiedz na zadane pytanie. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz prawidłową odpowiedź. Rzucono kostką i monetą. Ile jest możliwych par

(x, y)

, gdzie

x

jest liczbą parzystych oczek na kostce a

y

jest orłem lub reszką?
Odp.1.

6

, 2.

32

, 3.

42

, 4.

36

, 5.

504

, 6.

8

, 7.

40

, 8.

720

Niech

A

będzie zbiorem wszystkich dodatnich liczb parzystych mniejszych od

10

B

- zbiorem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od

20

. Ile jest par

(x, y)

, takich że

x \in A

y \in B

?
Odp.1.

6

, 2.

32

, 3.

42

, 4.

36

, 5.

504

, 6.

8

, 7.

40

, 8.

720

Niech

A

będzie zbiorem dzielników liczby

18

B

- zbiorem wszystkich dodatnich liczb nieparzystych mniejszych od

14

. Ile jest par

(x, y)

, takich że

x \in A

y \in B

?
Odp.1.

6

, 2.

32

, 3.

42

, 4.

36

, 5.

504

, 6.

8

, 7.

40

, 8.

720

Ile jest kodów trzycyfrowych, gdzie żadna liczba nie może się powtarzać?
Odp. 1.

6

, 2.

32

, 3.

42

, 4.

36

, 5.

504

, 6.

8

, 7.

40

, 8.

720

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKsP6aNg8YIF92

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na zakończenie rozwiąż test podsumowujący, który sprawdza wiedzę z tego materiału.

Rachunek prawdopodobieństwa z kombinatoryką121950Brawo! Udało Ci się zaliczyć test.Niestety nie udało Ci się zaliczyć testu.

Test

Rachunek prawdopodobieństwa z kombinatoryką

Liczba pytań:

Limit czasu:

19 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Rachunek prawdopodobieństwa z kombinatoryką

Pytanie 1/12

Twój ostatni wynik -

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego

Rachunek prawdopodobieństwa z kombinatoryką