Prawo Ohma i opór elektryczny

RXvsQsW7EdFMh

Zdjęcie czarno białe przedstawia słup wysokiego napięcia uwieczniony z żabiej perspektywy. Kilkudziesięciometrowej wysokości metalowa konstrukcja widoczna jest na tle pochmurnego nieba. Słup z obu stron dźwiga po sześć podwójnych przewodów energetycznych rozpiętych na specjalnych konstrukcjach z długimi układami izolatorów.

Prawo Ohma

Jeżeli na pewnym elemencie lub między końcami przewodnika wystąpi napięcie elektryczne, to elektrony obecne w tym elemencie lub przewodniku zaczną się poruszać: zacznie płynąć prąd elektryczny. Zarówno napięcie jak i natężenie płynącego prądu da się zmierzyć odpowiednimi przyrządami, kolejno: woltomierzem i amperomierzem.

Czy między napięciem a natężeniem prądu płynącego przez odbiornik istnieje jakaś zależność? Okazuje się, że tak – gdy napięcie wzrośnie ileś razy, natężenie prądu rośnie dokładnie tyle samo razy; w fizyce takie wielkości nazywamy wielkościami wprost proporcjonalnymi. Taka zależność przedstawiona na wykresie będzie linią prostą, tak jak na wykresie poniżej.

R1OQbIORvvrRz

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na poziomej osi odłożone napięcie w woltach, co pół wolta. Na pionowej osi odłożone natężenie w miliamperach, co sto miliamperów. Prosta wychodzi ze środka układu współrzędnych pod kątem czterdziestu pięciu stopni. Dla napięcia pół wolta natężenie wynosi sto miliamperów; dla jednego wolta - dwieście miliamperów; linia wykresu kończy się w punkcie półtora wolta i trzysta miliamperów.

Sprawdźmy: dla napięcia wynoszącego $0,5\,\mathrm{V}$ natężenie wyniosło $100\,\mathrm{mA}$, dla $1\,\mathrm{V}$ wyniosło $200\,\mathrm{mA}$, co oznacza, że przy dwukrotnym wzroście napięcia nastąpił dwukrotny wzrost natężenia prądu.

Ciekawostka

Georg Ohm ($\text{1789}$ – $\text{1854}$) był niemieckim nauczycielem fizyki i profesorem matematyki na politechnice w Norymberdze, a potem na uniwersytecie w Monachium. W $\text{1826}$ r. przeprowadził doświadczenie, na podstawie którego sformułował następujące prawo: natężenie prądu elektrycznego przepływającego przez przewodnik jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego między jego końcami.

RwHpGgj4suvd9

Na ilustracji starszy mężczyzna ubrany w koszulę, kołnierz rozpięty. Oczy, osadzone blisko nosa. Mężczyzna patrzy na wprost. Włosy gęste, kręcone, przysłaniające pół ucha.

Prawo Ohma nie jest jednak spełnione dla wszystkich przewodników. Jeżeli chcesz się o tym przekonać, wykonaj doświadczenie opisane w jednym z zadań do tego materiału (zamiast opornika jest żarówka).

Zastanów się, czy wymiana elementu obwodu elektrycznego spowoduje jakieś zmiany. Załóżmy, że wykonamy pomiary dla dwóch różnych oporników i wyznaczymy natężenie prądu płynącego przez każdy z nich. Wynik jest przedstawiony na poniższym wykresie.

RlGDl4C2j1edz

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na poziomej osi odłożone napięcie w woltach, co jeden wolt. Na pionowej osi odłożone natężenie w amperach, co dwie dziesiąte ampera. Ze środka układu współrzędnych wychodzą dwie proste. Jedna, niebieska, pod kątem czterdziestu pięciu stopni; przechodzi przez punkty: dwie dziesiąte ampera dla jednego wolta, cztery dziesiąte ampera dla dwóch woltów, sześć dziesiątych ampera dla trzech woltów i osiem dziesiątych ampera dla czterech woltów. Druga, czerwona prosta, przechodzi przez punkty: jedna dziesiąta ampera dla jednego wolta, dwie dziesiąte ampera dla dwóch woltów, trzy dziesiąte ampera dla trzech woltów, cztery dziesiąte ampera dla czterech woltów.

Zmiana elementu obwodu elektrycznego spowodowała zmianę widoczną na wykresie. Od czego zależy nachylenie linii oznaczających opór? Skorzystajmy z prawa Ohma:

Z tego wynika, że

Aby obliczyć wartości $R_1$ i $R_2$, wartość napięcia musimy podzielić przez odpowiadające mu natężenie prądu. Po odczytaniu z wykresu odpowiednich wielkości, otrzymamy:

Jak widać, wartości współczynników są różne. Jeżeli taką samą wartość napięcia przyłożymy do końców opornika o małym oporze, to będzie tamtędy płynął prąd o większym natężeniu. Symbolizująca taki opornik na wykresie linia będzie bardziej stroma.

Miarą oporu elektrycznego obwodu jest stosunek (iloraz) napięcia elektrycznego między końcami opornika do natężenia płynącego w nim prądu.

Jednostką oporu elektrycznego w układzie SI jest omomom, oznaczany symbolem $\text{Ω}$ (grecka litera omega). Wynika z tego, że na powyższym wykresie opór $R_1$ będzie równy $5 \mathrm{\Omega }$, a $R_2$ – $10 \mathrm{\Omega }$.

Ciekawostka

Od czego zależy opór?
Zastanówmy się najpierw, skąd bierze się opór elektryczny. Ładunki elektryczne poruszają się pod wpływem przyłożonego napięcia, zderzają się z atomami i oddają im swoją energię. Dlatego napięcie elektryczne musi być przyłożone cały czas. Opór elektryczny wynika właśnie z przeciwdziałania przepływowi prądu przez element obwodu elektrycznego. Jest dość oczywiste, że im przewodnik będzie dłuższy, tym liczba zderzeń będzie większa. Innym parametrem przewodnika jest jego grubość, a dokładnie – pole jego przekroju poprzecznego. Jeżeli napięcie będzie cały czas takie samo, to w tym samym czasie przez przewodnik o większym polu przekroju popłynie większy ładunek, a zatem natężenie prądu będzie większe, a opór przewodnika – mniejszy. Opór elektryczny zależy także od rodzaju materiału, z którego wykonano dany element. Każdy materiał ma określony opór właściwyopór właściwyopór właściwy.

RU7hIFBYkkDpQ

Białe tło. Na nim dwanaście jonów dodatnich, ułożonych równomiernie w czterech kolumnach i trzech wierszach. Wokół jonów chaotycznie poruszające się elektrony. Pod rysunkiem napis oznaczający: brak przyłożonego napięcia.

RI3peeYEUmuIg

Białe tło. Na nim dwanaście jonów dodatnich, ułożonych równomiernie w czterech kolumnach i trzech wierszach. Wokół jonów elektrony poruszające się w prawo. Pod rysunkiem napis oznaczający: przyłożone napięcie różne od zera woltów.

Opór elektryczny przewodnika zależy od: oporu właściwego $\rho$, długości przewodnika $l$ i pola jego przekroju poprzecznego $S$:

$$R=\rho \frac{l}{S}$$

Prawo Ohma i opór elektryczny – rozwiązywanie zadań

Przykład 3

Na podstawie poniższego wykresu oblicz opór elektryczny odbiornika.

R1OQbIORvvrRz

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na poziomej osi odłożone napięcie w woltach, co pół wolta. Na pionowej osi odłożone natężenie w miliamperach, co sto miliamperów. Prosta wychodzi ze środka układu współrzędnych pod kątem czterdziestu pięciu stopni. Dla napięcia pół wolta natężenie wynosi sto miliamperów; dla jednego wolta - dwieście miliamperów; linia wykresu kończy się w punkcie półtora wolta i trzysta miliamperów.

Wskazówka: Wybierz dowolny punkt leżący na niebieskiej linii.

R1MgUBqI7KJDI

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na poziomej osi odłożone napięcie w woltach, co pół wolta. Na pionowej osi odłożone natężenie w miliamperach, co sto miliamperów. Prosta wychodzi ze środka układu współrzędnych pod kątem czterdziestu pięciu stopni. Dla napięcia pół wolta natężenie wynosi sto miliamperów; dla jednego wolta - dwieście miliamperów; linia wykresu kończy się w punkcie półtora wolta i trzysta miliamperów. Wartości dwieście miliamperów i jeden amper obwiedzione czerwoną przerywaną linią. Od każdej z tych wartości poprowadzone przerywane czerwone linie w kierunku wspólnego punktu na niebieskiej prostej.

Rozwiązanie:
Aby wyznaczyć wartość oporu elektrycznego, należy znać natężenie prądu płynącego przez odbiornik oraz wartość napięcia elektrycznego.

Wzór:
Korzystając z prawa Ohma
$I={\large\frac{U}{R}}$ 
otrzymujemy
$R={\large\frac{U}{I}}$

Dane (odczytane z wykresu):
$U=1,0 \mathrm{V}=1 \mathrm{V}$ 
$I=200 \mathrm{mA}=0,2 \mathrm{A}$

Szukane:
$R=?$

Obliczenia:
$R={\large\frac{1\,\mathrm{V}}{0,2\,\mathrm{A}}}=5\,\mathrm{\Omega}$

Odpowiedź:
Opór elektryczny odbiornika wynosi $5 \text{Ω}$.

Uwaga: sprawdź, czy wybór innego punktu wykresu zmieni wyznaczoną wartość oporu.

Ćwiczenie 3

Korzystając z wykresu zależności natężenia od napięcia dla pewnego odbiornika, oblicz jego opór elektryczny.

R1VfQPOH1l6W1

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na poziomej osi odłożone napięcie w woltach, co jeden wolt. Na pionowej osi odłożone natężenie w miliamperach, co pięćdziesiąt miliamperów. Prosta wychodzi ze środka układu współrzędnych pod kątem czterdziestu pięciu stopni. Dla napięcia jednego wolta natężenie wynosi pięćdziesiąt miliamperów; dla dwóch woltów - sto miliamperów; dla trzech woltów - sto pięćdziesiąt miliamperów.

RGQbQFvrsk68p

Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \mathrm{\Omega }$, 2. $0,2 \mathrm{\Omega }$, 3. $0,45 \mathrm{\Omega }$, 4. $50 \mathrm{\Omega }$

Podsumowanie

• Natężenie prądu $I$ płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia $U$ przyłożonego do końców tego przewodnika. Zależność tę nazywamy prawem Ohma i zapisujemy w postaci wzoru:

  $$I=\frac{U}{R}$$

  gdzie $R$ – opór elektryczny, $U$ – napięcie elektryczne.

• Jednostką oporu elektrycznego w układzie SI jest om $\left(\mathrm{\Omega }\right)$:

  $$1 \mathrm{\Omega }=\frac{1 \mathrm{V}}{1 \mathrm{A}}$$

Polecenie 3

Razem z innymi uczniami zbadajcie, czy natężenie prądu elektrycznego płynącego przez żarówkę zależy od napięcia między jej wyprowadzeniami. Warto użyć starej żarówki choinkowej, która jest przeznaczona do pracy przy napięciu $14 \mathrm{V}$ (koniecznie sprawdźcie oznaczenia na oprawce). Dla każdej pary napięcia $U$ i natężenia $I$ obliczcie stosunek $U$ do $I$. Pamiętajcie, aby pomiary wykonać dla napięć w zakresie od $1 \mathrm{V}$ do $14 \mathrm{V}$ (lub do maksymalnej wartości napięcia znamionowego żarówki). Sporządźcie także wykres zależności natężenia od napięcia między końcami żarówki. Przeanalizujcie wyniki i odpowiedzcie na pytanie: czy żarówka spełnia prawo Ohma? Jaki wniosek wynika z analizy stosunku napięcia do natężęnia?

R12ZPGusDfhMy

(Uzupełnij) .

Pokaż przykładową odpowiedź

$U\,\left[\mathrm{V}\right]$	$I\,\left[\mathrm{A}\right]$	${\large\frac{U}{I}}\,\left[\mathrm{\Omega}\right]$
$0,6$	$0,063$	$9,5$
$1,4$	$0,087$	$16,1$
$2,0$	$0,106$	$18,9$
$2,4$	$0,117$	$20,5$
$3,0$	$0,132$	$22,7$
$3,4$	$0,145$	$23,4$
$4,4$	$0,166$	$26,5$
$4,8$	$0,175$	$27,4$
$5,4$	$0,185$	$29,2$
$6,0$	$0,194$	$30,9$

RCj7NZ5e7u6ah

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na poziomej osi odłożone napięcie w woltach, co jeden wolt. Na pionowej osi odłożone natężenie w amperach, co dwie setne ampera. Naniesiono na wykres odpowiednio punkty pomiarowe z tabeli i przerywaną linią narysowano linię trendu, wyznaczoną przez odpowiedni program.

Nie, żarówka nie spełnia prawa Ohma – natężenie prądu nie jest proporcjonalne do napięcia. Ponieważ żarówka nagrzewa się podczas pracy, jej opór rośnie.

Słownik

Zadania podsumowujące lekcję

Ćwiczenie 7

Wybierz poprawne stwierdzenia dotyczące analizy danych na wykresie przedstawiającym zależność natężenia prądu płynącego przez cztery różne oporniki od napięcia.

RsqkFoT7aED5S

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na poziomej osi odłożone napięcie w woltach, na pionowej osi odłożone natężenie w amperach. Podziałki na obu osiach co dwie kratki, nie podpisane. Ze środka układu współrzędnych poprowadzono cztery linie. Linia niebieska, oznaczona literą duże wu, jest narysowana pod największym kątem do osi poziomej. Linia czerwona, oznaczona literą duże iks, pod trochę mniejszym kątem. Linia zielona, oznaczona literą duże igrek, pod jeszcze mniejszym kątem. Linia żółta, oznaczona literą duże zet, pod kątem najmniejszym.

R1SPVyX56wADw

Możliwe odpowiedzi: 1. Opornik $\text{W}$ ma mniejszy opór niż opornik $\text{X}$., 2. Największy opór elektryczny ma opornik $\text{Z}$., 3. Opornik $\text{X}$ ma większy opór elektryczny niż opornik $\text{Y}$ i $\text{Z}$., 4. Opornik $\text{Y}$ ma mniejszy opór elektryczny niż opornik $\text{W}$.