Proporcje, symetrie i złota liczba

1. Cele lekcji

Wiadomości

Utrwalenie wiadomości na temat proporcji i jej własności, symetrii względem prostej i względem punktu oraz ich własności, a także poznanie złotego podziału odcinka i złotej liczby.

b. Umiejętności

Po zajęciach uczeń:

• potrafi określić, co to jest proporcja i podać jej własności,

• potrafi określić, na czym polega symetria względem prostej i co to jest oś symetrii figury,

• potrafi rozpoznać osie symetrii różnych figur i narysować figury mające oś symetrii,

• potrafi określić, na czym polega symetria względem punktu i co to jest środek symetrii figury,

• potrafi wskazać środek symetrii figury i narysować figurę mającą środek symetrii,

• potrafi poda, co to jest złota liczba, jak powstaje,

• potrafi skonstruować odcinek równy złotej liczbie,

• potrafi wskazać gdzie w różnych dziedzinach występuje złoty podział odcinka.

1. • praca w grupach – wykonywanie wycinanek,

   • praca indywidualna – konstrukcje, dyskusja, czytanie i analiza tekstu.

1. plansza – symetrie,

2. papier kolorowy, nożyczki,

3. rysunki do mierzenia.

Uczniowie zajmują miejsca przy stolikach w grupach trzyosobowych. Po wyjaśnieniu (najlepiej przez uczniów) czym jest symetria osiowa i środkowa, co to jest środek i oś symetrii (nauczyciel pokazuje odpowiednią planszę), będą oni wykonywali z kolorowego papieru wycinanki z papieru, takie, by posiadały:

• jedną oś symetrii,

• dwie osie symetrii,

• trzy lub więcej osi symetrii.

Każdy zespół wykonuje co najmniej 3 takie wycinanki. Czas wykonania 20 minut. Następnie wycinanki te uczniowie szpilkami lub magnesami przypinają do tablicy (korkowa lub zwykła).

Każdy uczeń oddaje 3 głosy (3 pkt., 2 pkt. i 1 pkt.) na wycinanki, które jego zdaniem są najlepsze.

Wycinanki te są podpisane numerami, a każdy oddaje głosy anonimowo – pisząc na kartce numer wycinanki i punkty. Zespoły – autorzy najwyżej ocenionych prac – otrzymują upominki lub oceny (jeśli to nauczyciel uczący prowadzi koło matematyczne). Po zakończeniu oceniania tych prac nauczyciel prosi, by uczniowie wskazali na nich: osie symetrii i środki symetrii, jeśli figura je ma.

Faza realizacyjna

1. Uczniowie otrzymują kilka rysunków: postaci człowieka, rysunek kwiatu. Na tych rysunkach zaznaczono pewne odcinki. Uczniowie mają je zmierzyć i wykonać dzielenie (obliczyć stosunki odcinków) wskazanych przez nauczyciela. Dodatkowo biorą standardowy zeszyt i mierzą jego wymiary, dokonują także odpowiednich obliczeń.

RtLQR7NnZ5cbV

2. Nauczyciel rozdaje uczniom tekst do przeczytania i analizy. Dotyczy on złotego podziału odcinka i złotej liczby oraz zastosowań złotego podziału w różnych dziedzinach. (na końcu scenariusza). Po przeczytaniu tekstu uczniowie starają się odpowiedzieć na pytania dotyczące tekstu:

   • Co to jest złoty podział odcinka?

   • Co to jest złota proporcja?

   • Co to jest złota liczba?

   • Gdzie występuje złoty podział?

3. Uczniowie wykonują zadania konstrukcyjne:

   1. Wyznaczają liczbę złotą z proporcji i konstruują ją przy pomocy cyrkla i linijki. Następnie obliczają jej wartość z dokładnością do 0,01 (przy pomocy kalkulatora).

   2. Konstruują okrąg wpisany w trójkąt równoramienny o podstawie i wysokości równej danemu odcinkowi a. Wykreślają następnie prostokąt, którego jednym z boków jest podstawa trójkąta, a drugi bok równoległy leży w stycznej do okręgu. Zmierz bok prostopadły do boku a (b = 0,618a).

   3. Skonstruuj pięciokąt foremny i następnie dziesięciokąt foremny. W pięciokącie wykreśl przekątne. Zwróć uwagę i sprawdź, że punkt przecięcia przekątnych wyznacza ich złoty podział. W przypadku dziesięciokąta foremnego jego bok ma długość równą długości dłuższego z odcinków ,wyznaczonych przez złoty podział promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.

Uczniowie oceniają zajęcia:

4. 5. W. Rossielewicz, Złoty podział, Warszawa (www.wszpwn.com.pl)

Tekst do analizy

plansza – Symetrie

Zadanie domowe

Referat lub prezentacja komputerowa o złotym podziale i złotej liczbie (rozszerzenie wiadomości z zajęć) – praca dla chętnych.

Tekst do analizy:

Złoty podział odcinka był już znany w starożytności. Złotą proporcję spotykamy np.

• W budowie ludzkiego ciała – znany słynny szkic Leonarda da Vinci przedstawia budowę ciała ludzkiego według zasady złotego cięcia. (rysunek 1)

Proporcjonalna budowa człowieka:

1. Obwód głowy każdego człowieka pozostaje w określonym stosunku do wysokości tego człowieka. Wzrost jest trzy razy większy od obwodu głowy.

2. Każdy człowiek mierzy około sześciu stóp. Mierząc ile stóp tej osoby mieści się w jej wzroście otrzymujemy taki rezultat. Wynika z tego, że długość stopy jest mniej więcej równa jednej szóstej wzrostu człowieka.

3. Następny stosunek jest nazywany „pępkiem Pitagorasa” i jest to stosunek odległości pępka człowieka od ziemi - do jego wzrostu. Zazwyczaj wynosi 1:1,6 (czyli jest to złoty podział ).

   • W budowie roślin. W roku 1202 słynny matematyk Leonardo Fibonacci, na podstawie obserwacji wzrostu roślin, odkrył ciąg liczbowy, zwany też ciągiem Fibonacciego. Rządzi nim zasada, która mówi, że każda liczba całkowita w ciągu jest sumą dwóch poprzednich liczb. Iloraz każdej liczby przez jej poprzedniczkę – to złota liczba.

   • W architekturze np. Wielka Piramida Cheopsa jest zbudowana według złotego podziału: dzieląc całkowitą powierzchnię piramidy przez powierzchnię jej boków, łączną powierzchnię boków przez powierzchnię podstawy lub wysokość boku budowli przez połowę długości boku jej podstawy, za każdym razem uzyskujemy wartość 1,618.

   • W fotografii, budowie ekranu telewizora.

   • Budowie kartek papieru A4, A3, A2 – stosunek ich nierównoległych boków jest w przybliżeniu równy 0,7.

Złoty podział był znany i stosowany przez pitagorejczyków. Dokładny matematyczny opis tej proporcji zawdzięczamy greckiemu matematykowi Euklidesowi (twórcy tzw. geometrii euklidesowej). W latach współczesnych podział ten stosował wybitny architekt XX wieku Le Corbusier. Złoty podział stanowi o swoistym pięknie różnych przedmiotów oraz elementów sztuki czy architektury.

Złoty podział odcinak AB na dwie nierówne części, aby stosunek długości całego odcinka AB do długości większej jego części AC był równy stosunkowi długości tej większej części AC do długości części mniejszej BC, co przedstawiamy w postaci proporcji:

AB : AC = AC : BC

A x C a – x B

$\frac{a}{x}=\frac{x}{a-x}$

Złotą liczbą nazywamy taką liczbę $\varphi$, która wyraża stosunek dwóch części odcinka podzielonego złotym podziałem: $\varphi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1,61803398...$$\frac{1}{\varphi }=\varphi -1\approx 0,61803398...$.

Jest to jedyna taka liczba rzeczywista, której odwrotność jest równa różnicy tej liczby i liczby 1.