Proporcjonalność odwrotna - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Analizując przykłady zawarte w tym materiale dowiesz się, jak wykorzystać własności wielkości odwrotnie proporcjonalnych w sytuacjach praktycznych. Poznasz też funkcję proporcjonalność odwrotna.

Przykład 1

Szkoła przeznaczyła kwotę $270 zł$ na wydruk ulotek promocyjnych. Ceny proponowane za usługę wydruku tej samej ulotki w różnych drukarniach zebrano w tabeli.

Cena wydruku $1$ ulotki $(p) [zł]$	Liczba ulotek $(r) [szt]$
$0, 10$	$2700$
$0, 15$	$1800$
$0, 20$	$1350$
$0, 25$	$1080$
$0, 30$	$900$
$0, 40$	$675$
$0, 45$	$600$
$0, 50$	$540$

Za każdym razem koszt wydruku wszystkich ulotek jest taki sam: $p \cdot r = 270$ .
Zauważmy, że im wyższa cena jednostkowa wydruku, tym mniej ulotek możemy wydrukować za podaną kwotę.

Przykład 2

Długość autostrady wynosi $300 km$ . Czas potrzebny na przejazd tego odcinka jest uzależniony od średniej prędkości, z jaką porusza się pojazd. Zależności między tymi wielkościami przedstawia tabela.

Średnia prędkość $(v) [\frac{km}{h}]$	Czas przejazdu $(t) [h]$
$80$	$3, 75$
$85$	ok. $3, 5$
$90$	ok. $3, 3$
$95$	ok. $3, 2$
$100$	$3$
$110$	ok. $2, 7$
$120$	$2, 5$
$130$	ok. $2, 3$

Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu $(v)$ , to czas przejazdu $(t)$ jest coraz krótszy.

RZax7aAYHcEKt1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o bokach $x$ , $y$ których pole jest równe $12$ .

R1O3ZljicEKC01

Wykres proporcjonalności odwrotnej.
Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o polu równym $12$ . Ustalmy, że boki prostokąta to $x$ oraz $y$ .
Przykłady takich prostokątów to prostokąty o bokach:

$x = \frac{1}{2}$ i $y = 24$ ,

$x = 1$ i $y = 12$ ,

$x = 2$ i $y = 6$ ,

$x = 3$ i $y = 4$ ,

$x = 4$ i $y = 3$ ,

$x = 6$ i $y = 2$ ,

$x = 12$ i $y = 1$ ,

$x = 24$ i $y = \frac{1}{2}$ i tak dalej.

Jeśli weźmiemy wszystkie te prostokąty i osadzimy je w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych tak, że lewy dolny wierzchołek wszystkich figur umieścimy w początku układu współrzędnych, to prawe górne wierzchołki wszystkich figur wyznaczą wykres funkcji przedstawiający proporcjonalność odwrotną. Wykres ten jest ramieniem hiperboli wypłaszczającym się do dodatnich półosi i wybrzuszonym do początku układu.
Weźmy teraz kilka przykładowych współrzędnych prawych górnych wierzchołków kolejnych prostokątów. Otrzymamy następujące punkty:

$A = (\frac{1}{2}; 24)$ ,

$B = (1; 12)$ ,

$C = (2; 6)$ ,

$D = (3; 4)$ ,

$E = (4; 3)$ ,

$F = (6; 2)$ ,

$G = (12; 1)$ ,

$H = (24; \frac{1}{2})$ i tak dalej.

Pola prostokątów są równe $x \cdot y = 12$ . Iloczyn jest stały, a zwiększenie długości jednego z boków powoduje proporcjonalne zmniejszenie długości drugiego boku.

Wielkości przedstawione w powyższych przykładach charakteryzują się tym, że wzrost jednej z nich powoduje takie zmniejszenie drugiej, że iloczyn tych wielkości pozostaje stały. O takich wielkościach będziemy mówić, że są odwrotnie proporcjonalne.

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Definicja: Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Mówimy, że dwie dodatnie wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera.

Proporcjonalność odwrotna

Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Funkcja $f$ opisująca zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ nazywana jest proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn $x \cdot y = a$ nazywany jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Z faktu, że liczby $x$ i $y$ są dodatnie, wynika, że współczynnik $a$ także jest dodatni.
Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ możemy zapisać również w postaci $y = \frac{a}{x}$ .