Przećwicz

Pokaż ćwiczenia:

Wspólny tekst do wszystkich zadań: Ciało pchnięto po poziomej powierzchni, nadając mu początkową prędkość o wartości $v_{0}$ . Ciało poruszało się ruchem jednostajnie opóźnionym, z przyspieszeniem o wartości $a$ . Po przebyciu drogi $s$ i po czasie $t_{z}$ ciało zatrzymało się. Te dwie ostatnie wielkości zmierzono bezpośrednio, uzyskując wartości $s$ = 0,516 m oraz $t_{z}$ = 0,74 s. Celem doświadczenia było dokonanie pomiaru pośredniego $a$ oraz $v_{0}$ .

Ćwiczenie 1

Ry2aYQfEITbzi

Z lewej strony rysunku znajduje się fragment podziałki na linijce. Podziałka składa się z poziomej linii, którą przecinają pionowe kreski umieszczone w równych odstępach. Widoczne są trzy długie pionowe kreski. Przy długiej kresce z lewej strony jest wartość 50 cm, a przy długiej kresce z prawej strony jest wartość 60 cm. Pośrodku między nimi jest długa kreska odpowiadająca wartości 55 cm. Każdy poziomy odcinek, zawarty między długimi, pionowymi kreskami, o długości 5 cm jest podzielony na dziesięć równych części za pomocą dziewięciu krótkich pionowych kresek. Odległość między krótkimi kreskami wynosi 0,5 centymetra. Z prawej strony rysunku znajduje się ekran cyfrowego czasomierza. Wynik pomiaru czasu widoczny na ekranie to 0,74 sekundy. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RnXbsOZKZM6ju

R1V5NcdOYdzE1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

RhojmIDA3gj3y

Gdy wielkość mierzona pośrednio, $y$ , jest dana przez wielkość mierzoną bezpośrednio, $x$ , zależnością funkcyjną $y = f(x)$ , to niepewność $u(y)$ dana jest wyrażeniem:

$u(y)=\frac{1}{2}\left|f(x+u(x))-f(x-u(x))\right|$

Powyższe wyrażenie może też służyć do obliczenia udziału niepewności zmiennej $x\,.$

Opóźnienie $a$ jest funkcją dwóch zmiennych, $s$ oraz $t_{z}$ , zgodnie z zależnością:

$\displaystyle a=\frac{2s}{t_z^2}\ .$

Z każdą z nich wiążemy oddzielny udział niepewności.

Ze zmienną $s$ wiążemy udział

$u_{s}(a)=\frac{1}{2}\left|\frac{2\left(s+u(s)\right)}{t_{z}^{2}}-\frac{2\left(s-u(s)\right)}{t_{z}^{2}}\right|=\frac{4u(s)}{2t_{z}^{2}}=\frac{u(s)}{t_{z}^{2}}\approx0,01054\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}^{2}$

Ze zmienną $t_{z}$ natomiast

$u_{t}(a)=\frac{1}{2}\left|\frac{2s}{\left(t_{z}+u\left(t_{z}\right)\right)^{2}}-\frac{2s}{\left(t_{z}-u\left(t_{z}\right)\right)^{2}}\right|=s\cdot\left|\frac{1}{\left(t_{z}+u\left(t_{z}\right)\right)^{2}}-\frac{1}{\left(t_{z}-u\left(t_{z}\right)\right)^{2}}\right|\approx0,02941\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}^{2}$

Zauważ, że drugi udział jest niemal trzykrotnie większy niż pierwszy. Jeden z powodów związany jest z tym, że w zależności, z której korzystamy, czas $t_{z}$ występuje w kwadracie, zaś droga $s$ w potędze pierwszej.

Ćwiczenie 4

RnYqKv69jA1op

Niepewność wielkości mierzonej pośrednio wnika z wartości udziałów niepewności wielkości mierzonych bezpośrednio. Wyraża się następująco:

$u(a)=\sqrt{u_{s}^{2}(a)+u_{t}^{2}(a)}=\sqrt{\left(0,01054\right)^{2}+\left(0,02941\right)^{2}}\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}^{2}\approx0,031\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}^{2}$

Ćwiczenie 5

Zapisz, korzystając z przygotowanego pola, zmierzoną wartość $a$ wraz z jej niepewnością standardową, obliczoną w poprzednim zadaniu.

Wykorzystaj związek $a=\frac{2s}{t_{z}^{2}}$ i wstaw do niego zmierzone wartości $s$ oraz $t_{z}$ .

$a$ = 1,885(31) m/sIndeks górny 2

RcVVhq0g0G4yE

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Przeprowadź obliczenia zaproponowane w ćwiczeniach 3., 4. i 5. w odniesieniu do $v_{0}$ oraz niepewności standardowej $u (v_{0})$ . Zapisz, krok po kroku, swoje obliczenia w przygotowanym polu i porównaj ich wyniki z zawartymi w rozwiązaniu wzorcowym.

Skorzystaj z treści, wskazówek i wyników w tych trzech zadaniach. Zmodyfikuj odpowiednio postępowanie – związek $v_{0}$ (wielkości mierzonej pośrednio) z $s$ oraz $t_{z}$ ma nieco inną postać matematyczną, niż w przypadku opóźnienia $a$ .

Dla ćw. 3.

Obliczamy udziały niepewności $u_{s}(v_{0})$ oraz $u_{t}(v_{0})$ w niepewności standardowej prędkości $u(v_{0})$ stosując wyrażenia:

$u_{s}(v_{0})=\frac{1}{2}\left|\frac{2\left(s+u(s)\right)}{t_{z}}-\frac{2\left(s-u(s)\right)}{t_{z}}\right|=\frac{4u(s)}{2t_{z}}=\frac{u(s)}{t_{z}^{2}}\approx0,007802\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}$

$u_{t}(v_{0})=\frac{1}{2}\left|\frac{2s}{\left(t_{z}+u\left(t_{z}\right)\right)}-\frac{2s}{\left(t_{z}-u\left(t_{z}\right)\right)}\right|=s\cdot\left|\frac{1}{\left(t_{z}+u\left(t_{z}\right)\right)}-\frac{1}{\left(t_{z}-u\left(t_{z}\right)\right)}\right|=\frac{2\cdot s\cdot u(t_{z})}{t_{z}^{2}+u^{2}(t_{z})}\approx0,01088\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}$

Dla ćw. 4.

Niepewność standardową $u(v_{0})$ obliczamy jako pierwiastek z sumy kwadratów udziałów niepewności $u_{s}(v_{0})$ oraz $u_{t}(v_{0})$ :

$u(v_{0})=\sqrt{u_{s}^{2}(v_{0})+u_{t}^{2}(v_{0})}=\sqrt{\left(0,007802\right)^{2}+\left(0,01088\right)^{2}}\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}\approx0,013\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}$

Dla ćw. 5.

Ostateczny wynik pośredniego pomiaru początkowej prędkości to

$v_{0}=1,394(0,013)\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}$

Ćwiczenie 8

Dokonaj oceny zgodności wyniku pomiaru $v_{0}$ z jej wzorcową wartością $v_{w}$ = 1,39 m/s. Zapisz swoją wypowiedź w przygotowanym polu i porównaj ją z rozwiązaniem wzorcowym.

Różnica pomiędzy wartością zmierzoną $v_{0}$ a wartością wzorcową $v_{w}$ jest równa 0,004 m/s. Jest to mniej niż niepewność $u(v_{0})$ . Nie ma więc wątpliwości, że zmierzona wartość jest zgodna z wartością wzorcową.

Przemyśł