Warto przeczytać

Moment pędu bryły sztywnej definiujemy jako ${\displaystyle \overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega }}$, gdzie I to moment bezwładności tej bryły, a $\omega$ to prędkość obrotowa tego ciała. Co ta definicja ma wspólnego z tańcem na lodzie?

Zwróćmy uwagę, że w trakcie wykonywania wielu figur tanecznych ciało tancerzy porusza się ruchem obrotowym. Przyjmijmy na wstępie dla uproszczenia, że mówimy o tańcu solo, a nie w parze. Pomyślmy teraz o tej osobie jako o… bryle sztywnej. Oczywiście może nasunąć się tu refleksja, że definiując bryłę sztywną mówiliśmy, że to „ciało, którego elementy nie mogą się względem siebie przemieszczać”. Elementy ciała człowieka ewidentnie mogą się względem siebie przemieszczać – możemy trzymać ręce wzdłuż tułowia albo unieść je do góry i tak dalej. To prawda, dlatego będziemy patrzeć na człowieka jak na układ składający się z kilku brył sztywnych. Taki układ będzie miał całkowity moment bezwładności będący sumą momentów bezwładności wszystkich jego elementów. W danym momencie (przy danym ustawieniu ciała) będzie on miał określoną, stałą wartość.

Na jakie mniejsze bryły sztywne podzielimy ciało człowieka?

To zależy od tego, jak dokładnego opisu potrzebujemy – Rys. 1. przedstawia przykładowe „modele” ciała człowieka jako układu brył sztywnych. Modele te różnią się od siebie stopniem złożoności – liczbą brył oraz liczbą miejsc, w których bryły te się łączą. Gdybyśmy chcieli zbudować bardzo dokładny model, musielibyśmy opisać każdy staw – jednakże tak złożony model stałby się bezużyteczny w praktyce. Czy jednak małe stawy w palcach u dłoni mają znaczący wpływ na całkowity moment bezwładności ciała? Nie! Dlatego możemy uprościć nasz model tylko do najistotniejszych elementów. Do wyjaśnienia jakościowo, dlaczego rozłożenie ramion przez tancerza zmniejsza jego prędkość kątową wystarczy nam najprostszy model, z lewej górnej części Rys. 1.

RCEnCRROK8Q3b

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek niebieskiej postaci składającej się z głowy narysowanej w postaci niebieskiego koła, tułowia narysowanego w dwóch przypadkach w postaci niebieskiej pionowej linii a w dwóch jako prostokątny niebieski kształt, nóg oraz rąk narysowanych niebieskimi liniami. Na rysunkach w kolejnych pozycjach zaznaczono czarnymi strzałkami i podpisami głowę, szyję, obręcz barkową, ramię, przedramię, staw łokciowy, tułów, miednicę, uda, staw kolanowy i podudzie. Na rysunku u góry i po lewej stronie widoczna jest postać, której tułów narysowano w postaci pionowej, niebieskiej linii. Ręce postaci są wyprostowane w kierunku poziomym a nogi proste i lekko rozchylone. Na rysunku u góry po prawej stronie widoczna jest postać, której tułów również narysowano w postaci pionowej, niebieskiej linii. Ramiona postaci skierowane są pozioma a przedramiona lekko zgięte w dół. Uda postaci są lekko rozchylone a podudzia skierowane pionowo w dół. Na rysunku u dołu po lewej stronie widoczna jest postać, której tułów narysowano w postaci prostokątnego, pionowego kształtu. Ręce postaci są wyprostowane iw kierunku poziomym a nogi lekko rozchylone. Na rysunku u dołu po prawej stronie tułów postaci narysowano w postaci prostokątnego, pionowego kształtu. Ramiona postaci skierowane są pozioma a przedramiona lekko zgięte w dół. Uda postaci są lekko rozchylone a podudzia skierowane są pionowo w dół.

Co się dzieje z całkowitym momentem bezwładności naszego ciała, jeśli rozkładamy ręce i nogi na boki? Przyjmijmy, że chcemy obrócić się dookoła osi pionowej, jak na Rys. 2. Zbliżenie rąk i nóg do osi obrotu powoduje zmniejszenie momentu bezwładności naszego ciała.

R1MXwqGn37ETm

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek niebieskiej postaci składającej się z głowy narysowanej w postaci niebieskiego koła, tułowia narysowanego w postaci niebieskiej pionowej linii i nóg oraz rąk narysowanych niebieskimi liniami. Postać widoczna jest w trzech pozycjach, w których moment bezwładności postaci maleje od największego narysowanego po lewej do najmniejszego widocznego po prawej. Przez postać w poszczególnych pozycjach przechodzi oś obrotu, narysowana w postaci pionowej, czarnej i przerywanej linii przechodzącej przez środek postaci. Po lewej postać widoczna jest w pozycji pionowej z rękoma wyprostowanymi w kierunku poziomym i nogami również wyprostowanymi w pozycji poziomej w figurze szpagatu. W środku widoczna jest postać w pozycji pionowej z rękoma wyprostowanymi rozchylonymi w dół i na boki orz rozchylonymi nogami. Po prawej widoczna jest postać, której moment bezwładności jej najmniejszy. Postać widoczna jest w pozycji pionowej z wyprostowanymi i lekko rozchylonymi w dół od pozycji pionowej rękoma i lekko rozchylonymi nogami. Im mniejsze są odstępstwa postaci od pozycji wyprostowanej z rękoma i nogami skierowanymi pionowo tym mniejszy jest moment bezwładności bryły sztywnej za jaką możemy uznać postać.

Zastanów się, w jakiej odległości od osi obrotu znajduje się środek masy ręki. Oczywiście, gdy jest ona opuszczona wzdłuż ciała, jest on bliżej tej osi obrotu, niż gdy rozkładamy ręce na bok! Aby wykazać to ilościowo spójrzmy na nieco dokładniejszy model, widoczny na Rys. 3. Uznajemy, że średnica ręki jest pomijalnie mała w porównaniu do rozmiaru całego ciała – i traktujemy ręce jako pręty (a nie walce). Jaki będzie moment bezwładności każdej z rąk względem osi pionowej OO', przechodzącej przez środek człowieka przedstawionego modelowo na Rys. 3.?

R1Q9lwLccLkef

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek niebieskiej postaci składającej się z głowy narysowanej w postaci niebieskiego koła, tułowia narysowanego w postaci niebieskiego, prostokątnego i pionowego kształtu, i nóg oraz rąk narysowanych niebieskimi liniami. Przez środek postaci przechodzi niebieska, pionowa, czarna i przerywana linia opisana nad postacią wielką literą O a pod postacią wielką literą O prim. Linia ta stanowi oś obrotu postaci traktowanej jako przykład bryły sztywnej. Postać widoczna jest w pozycji pionowej z prostymi nogami skierowanymi w dół i lewą ręką wyprostowaną wzdłuż tułowia a prawą wyprostowaną w kierunku poziomym. Odległość pomiędzy osią obrotu i lewą krawędzią tułowia oznaczono wielką literą R. Długość wyprostowanej prawej ręki opisano małą literą l. Odległość pomiędzy osią obrotu a połową długości wyprostowanej, prawej ręki opisano jako wielka litera R dodać połowa długości ręki mała litera l dzielona przez dwa.

Moment bezwładności każdej z rąk zgodnie z twierdzeniem Steinera wynosi:

gdzie, zgodnie z Rys. 3., l oznacza długość ręki, a R promień tułowia.

Jakie ma to znaczenie dla prędkości obracania się? Wystarczy, że wrócimy do zasady zachowania momentu pędu bryły sztywnej:

Znaczy to, że:

Przy innym ułożeniu – np. rozłożeniu rąk – całkowity moment bezwładności tego układu się zmieni – ale moment pędu musi pozostać stały. Skoro moment bezwładności się zwiększył – prędkość kątowa musi się zmniejszyć. Jeśli moment bezwładności się zmniejszy, prędkość kątowa wzrośnie. Czy teraz rozumiesz, dlaczego łyżwiarze przygotowując się do wykonania piruetupiruetpiruetu wykonują obszerny najazd, a po rozpoczęciu obracania się unoszą gwałtownie ręce ponad głowę?

Warto jeszcze dodać, że omawialiśmy obrót wokół osi pionowej. Jednakże w różnych sportach, w szczególności w akrobatyce, wiele figur polega na obrocie wokół innych osi. Rys. 4. przedstawia poglądowo te osie – jak nazywamy obroty wokół każdej z nich?

RWlv7PgLo9Gtr

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek niebieskiej postaci składającej się z głowy narysowanej w postaci niebieskiego koła, tułowia narysowanego w postaci niebieskiej pionowej linii i nóg oraz rąk narysowanych niebieskimi liniami. Postać widoczna jest w pozycji pionowej, z wyprostowanymi rękoma w kierunku poziomym, wyprostowanymi, rozchylonymi nogami. W dolnej części brzucha widoczny jest punkt stanowiący początek prostokątnego układu współrzędnych czarnymi, przerywanymi liniami. Os pionowa opisana jest jako wielka litera Z, oś pozioma skierowana opisana jest jako wielka litera Y a oś skierowana w prawo i w górę opisano jako wielka litera X.

Wprowadzenie ciała w ruch obrotowy dookoła poszczególnych osi nazywamy kolejno:

• Wokół osi X – gwiazda,

• Wokół osi Y – przewrót (potocznie: fikołek), przerzut (potocznie: fiflak), bez dotykania podłoża – salto,

• Wokół osi Z – obrót, piruetpiruetpiruet.

Figury te podsumowano na Rys. 5.

R8WYIrqrFpXmB

Rys. 5. Ilustracja przedstawia rysunek niebieskiej postaci składającej się z głowy narysowanej w postaci niebieskiego koła, tułowia narysowanego w postaci niebieskiej pionowej linii i nóg oraz rąk narysowanych niebieskimi liniami. Postać widoczna jest w pozycji pionowej, z wyprostowanymi rękoma w kierunku poziomym, wyprostowanymi, rozchylonymi nogami. W dolnej części brzucha widoczny jest punkt stanowiący początek prostokątnego układu współrzędnych czarnymi, przerywanymi liniami. Os pionowa opisana jest jako wielka litera Z, oś pozioma skierowana opisana jest jako wielka litera Y a oś skierowana w prawo i w górę opisano jako wielka litera X. Wokół wszystkich osi zaznaczono kierunek możliwego obrotu w kierunku przeciwnym go ruchu wskazówek zegara, wokół konkretnej osi. Obrót wokół osi wielka litera Z nazywany jest obrotem albo piruetem. Obrót wokół osi wielka litera Z nazywany jest przerzutem, przewrotem lub saltem. Obrót wokół osie wielka litera X nazywamy gwiazdą.

Słowniczek