Przekrojem prostopadłościanu daną płaszczyzną nazwiemy część wspólną tego prostopadłościanu i tej płaszczyzny. Taka część wspólna może być zbiorem pustym, kiedy płaszczyzna nie dotyka prostopadłościanu. Może też być jednym punktem, gdy płaszczyzna przechodzi wyłącznie przez jeden wierzchołek prostopadłościanu. W pozostałych przypadkach jest wielokątem. W tym materiale zajmiemy się usystematyzowaniem przekrojów prostopadłościanu ze względu na ich kształt.

Warto przypomnieć, że każda płaszczyzna jest jednoznacznie wyznaczona przez trzy  niewspółliniowe punktypunkty niewspółlinioweniewspółliniowe punkty lub, równoważnie, przez prostą i punkt nie leżący na tej prostej.

Prostokąt

Jeżeli przetniemy prostopadłościan płaszczyzną prostopadłą do dowolnej ze ścian, w przekroju otrzymamy prostokątprostokątprostokąt.

R1ZPz1lo2QPrx

Ilustracja przedstawia prostopadłościan, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę przekroju I J K L w kształcie prostokąta. Boki L K i J I stanowią ukośne odcinki, łączące punkty znajdujące się na dłuższych bokach podstaw prostopadłościanu.

Dowód tego stwierdzenia jest nietrudny. Bez straty ogólności przyjmijmy, że przekrój jest prostopadły do dolnej podstawy. Z tego wynika, że dwa pionowe boki przekroju są prostopadłe do każdej prostej zawierającej się w podstawie, a, co za tym idzie, są prostopadłe do dolnego boku przekroju. Górna podstawa prostopadłościanu jest równoległa do dolnej, zatem pionowe boki przekroju będą do  niej prostopadłe, a stąd wynika, że będą prostopadłe do górnego boku przekroju. Czworokąt o czterech kątach prostych to prostokąt.

W aplecie poniżej widzisz płaszczyznę prostopadłą do dolnej i górnej podstawy prostopadłościanu. Możesz poruszać punktami $I$ i $J$ oraz obracać przestrzeń wraz z figurą, aby lepiej przyjrzeć się przekrojowi.

RPEGfzo0CoEL8

Na aplecie przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zacieniowano płaszczyznę przekroju w kształcie prostokąta. Krótszy bok prostokąta stanowi ukośny odcinek łączący punkty I i J, znajdujące się na dłuższych bokach dolnej podstawy prostopadłościanu. Można zmieniać położenie punktów, wzdłuż boków, na których leżą. Zmiana ich położenia nie powoduje zmiany kształtu przekroju jest to nadal prostokąt tylko, że o różnych wymiarach.

Na aplecie przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zacieniowano płaszczyznę przekroju w kształcie prostokąta. Krótszy bok prostokąta stanowi ukośny odcinek łączący punkty I i J, znajdujące się na dłuższych bokach dolnej podstawy prostopadłościanu. Można zmieniać położenie punktów, wzdłuż boków, na których leżą. Zmiana ich położenia nie powoduje zmiany kształtu przekroju jest to nadal prostokąt tylko, że o różnych wymiarach.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D11Vl3GWt

Najczęściej spotykane prostokątne przekroje to:

• Równoległy do dowolnej ze ścian – jest prostokątem przystającym do ściany równoległej.

• Przechodzący przez przekątne dwóch równoległych ścian.

Przykład 1

Oblicz długości boków przekroju prostopadłościanu o wymiarach $3\times 4\times 6$ zawierającego przekątne dwóch największych ścian.

Rozwiązanie

Przekrój jest prostokątem, dwa jego boki mają długość $3$, natomiast długości dwóch pozostałych obliczamy z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa.

R1HVwFFlHhorK

Ilustracja przedstawia prostopadłościan, w którego podstawie znajduje się prostokąt o bokach długości sześć i cztery, natomiast wysokość wynosi trzy. Wewnątrz prostopadłościanu zaznaczono płaszczyznę przekroju I J L K, w kształcie prostokąta. Długość dłuższych boków J I oraz K L prostokąta oznaczono literą p i stanowią przekątne podstaw prostopadłościanu. Krótsze boki K I oraz L J prostokąta stanowią przeciwległe krawędzie boczne prostopadłościanu.

$4^2+6^2=p^2$

$p=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

Odp. Długości boków przekroju to: $3$, $2\sqrt{13}$, $3$, $2\sqrt{13}$.

Równoległobok

Jeżeli przetniemy prostopadłościan płaszczyzną zawierającą dwa przeciwległe wierzchołki i punkt leżący na krawędzi niezawierającej żadnego z poprzednich wierzchołków, w przekroju otrzymamy równoległobokrównoległobokrównoległobok. Warto zauważyć, że jedną z przekątnych tego równoległoboku jest przekątna graniastosłupa.

REsP2IXXhd4Sb

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę przekroju w kształcie rombu o wierzchołkach A, I, F, J. Punkty A i F leżą na końcach przekątnej prostopadłościanu, natomiast punkty J oraz I leżą na przeciwległych krawędziach bocznych.

W aplecie poniżej widzisz płaszczyznę przechodzącą przez wierzchołki $F$ i $A$ oraz punkty $I$ i $J$. Możesz poruszać punktem $I$ oraz obracać przestrzeń wraz z figurą, aby lepiej przyjrzeć się przekrojowi. Zwróć uwagę na szczególny przypadek, kiedy punkt $I$ leży w dolnym wierzchołku prostopadłościanu. Przekrój wtedy jest prostokątem, czyli szczególnym przypadkiem równoległoboku.

R1WtLAqrmrorI

Na aplecie przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zacieniowano płaszczyznę przekroju w kształcie równoległoboku A I F J. Punkty A i F leżą na końcach przekątnej prostopadłościanu, natomiast punkty J oraz I leżą na przeciwległych krawędziach bocznych. Położenie punktu I można zmieniać wzdłuż krawędzi bocznej na której leży. Odpowiednio, w przeciwnym kierunku, zmienia się także położenie punktu J. Płaszczyzna może przyjmować kształt dowolnego równoległoboku, rombu oraz prostokąta jeśli punkt I pokryje się z wierzchołkiem boku prostopadłościanu.

Na aplecie przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zacieniowano płaszczyznę przekroju w kształcie równoległoboku A I F J. Punkty A i F leżą na końcach przekątnej prostopadłościanu, natomiast punkty J oraz I leżą na przeciwległych krawędziach bocznych. Położenie punktu I można zmieniać wzdłuż krawędzi bocznej na której leży. Odpowiednio, w przeciwnym kierunku, zmienia się także położenie punktu J. Płaszczyzna może przyjmować kształt dowolnego równoległoboku, rombu oraz prostokąta jeśli punkt I pokryje się z wierzchołkiem boku prostopadłościanu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D11Vl3GWt

Przykład 2

Oblicz cosinus kąta $AIF$ przekroju prostopadłościanu o podstawie $6\times 4$ i wysokości $3$ płaszczyzną przedstawioną na rysunku wiedząc, że punkty $I$ i $J$ są środkami dłuższej krawędzi podstawy.

RatNF2z4nGoRo

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Długość prostopadłościanu wynosi 6, szerokość 4, natomiast wysokość jest równa trzy. Wewnątrz prostopadłościanu zaznaczono płaszczyznę w kształcie czworokąta A I F J. Linią przerywaną zaznaczono przekątną prostopadłościanu, łączącą wierzchołki A F. Punkty I oraz J leżą na przeciwległych, dłuższych bokach C D oraz E H podstaw prostopadłościanu. Kąt F I A oznaczono alfa.

Rozwiązanie

Z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ADI$ wynika, że ${\left|AI\right|}^2=3^2+4^2$, zatem $\left|AI\right|=5$.

Z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ICF$ wynika, że ${\left|IF\right|}^2=3^2+3^2$, zatem $\left|IF\right|=3\sqrt{2}$.

Długość przekątnej prostopadłościanu $\left|AF\right|=\sqrt{3^2+4^2+6^2}=\sqrt{61}$.

Z twierdzenia cosinusów zastosowanego w trójkącie $AIF$ wynika, że:

${\left|AF\right|}^2={\left|IF\right|}^2+{\left|AI\right|}^2-2\left|IF\right|\left|AI\right|\cos \alpha$

$61=18+25-2·3\sqrt{2}·5·\cos \alpha$

$30\sqrt{2}\cos \alpha =-18$

$\cos \alpha =-\frac{3\sqrt{2}}{10}$.

Trójkąt

Jeżeli przetniemy prostopadłościan płaszczyzną przechodzącą przez trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka, w przekroju otrzymamy trójkąt. Znając odległości punktów $K$, $I$, $J$ od wierzchołka $B$ możemy obliczyć długości boków tego przekroju.

RyC84kmovPfVR

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę w kształcie trójkąta I J K. Punkty I, J oraz K znajdują się na krawędziach wychodzących z tego samego wierzchołka B.

W aplecie poniżej widzisz płaszczyznę przechodzącą przez punkty $I$, $J$, $K$, które leżą na krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka. Możesz poruszać wszystkimi trzema punktami wzdłuż krawędzi oraz obracać przestrzeń wraz z figurą, aby lepiej przyjrzeć się przekrojowi.

R1JxA2wLX40YG

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę w kształcie trójkąta I J K. Punkty I, J oraz K znajdują się na krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka. Punkty można dowolnie przesuwać wzdłuż krawędzi, na których leżą. Zmieniając położenie punktów możemy uzyskać dowolny rodzaj trójkąta stanowiącego płaszczyznę prostopadłościanu.

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę w kształcie trójkąta I J K. Punkty I, J oraz K znajdują się na krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka. Punkty można dowolnie przesuwać wzdłuż krawędzi, na których leżą. Zmieniając położenie punktów możemy uzyskać dowolny rodzaj trójkąta stanowiącego płaszczyznę prostopadłościanu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D11Vl3GWt

Przykład 3

Czy przekrój prostopadłościanu przechodzący przez trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka może być trójkątem rozwartokątnym? Odpowiedź uzasadnij.

Uzasadnienie

Opisany przekrój prostopadłościanu nie może być trójkątem rozwartokątnym. Weźmy dowolny trójkątny przekrój prostopadłościanu (jak na rysunku) i bez straty ogólności ustalmy, że $K$ jest największym kątem w trójkącie $IJK$.

R142xfdDD1cm6

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę w kształcie trójkąta I J K. Punkty I oraz K znajdują się na krawędziach wychodzących z tego samego wierzchołka B. Punkt J stanowi kolejny wierzchołek prostopadłościanu oraz koniec krawędzi wychodzącej z wierzchołka B.

1. Trójkąt $IJB$ jest prostokątny, zatem ${\left|IJ\right|}^2={\left|BI\right|}^2+{\left|BJ\right|}^2$.

2. Trójkąt $BIK$ jest prostokątny, a więc przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem, stąd $\left|BI\right|<\left|KI\right|$

3. Trójkąt $BJK$ jest prostokątny, a więc analogicznie $\left|BJ\right|<\left|KJ\right|$

4. Wstawiając zależności z punktów $2$. i $3$. do równania z punktu $1$. otrzymujemy nierówność ${\left|IJ\right|}^2<{\left|KI\right|}^2+{\left|KJ\right|}^2$

Z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów wynika fakt pozwalający określić, czy kąt αalfa znajdujący się pomiędzy bokami $b$ i $c$ w trójkącie jest ostry, prosty, czy rozwarty.

Niech kąt $\alpha$ będzie kątem w trójkącie, a więc $\alpha \in \left(0°,180°\right)$

• $\alpha$ jest ostry wtedy i tylko wtedy, gdy $\cos \alpha >0$, czyli gdy $a^2<b^2+c^2$

• $\alpha$ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy $\cos \alpha =0$, czyli gdy $a^2=b^2+c^2$

• $\alpha$ jest rozwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $\cos \alpha <0$, czyli $a^2>b^2+c^2$

Zatem kąt przy wierzchołku $K$ musi być ostry, a cały przekrój jest trójkątem ostrokątnym.

Trapez

Jeżeli przetniemy prostopadłościan płaszczyzną przechodzącą przez dwa punkty leżące na krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka oraz przez punkt leżący na przedłużeniu trzeciej krawędzi wychodzącej z tego wierzchołka, w przekroju otrzymamy trapeztrapeztrapez.

RLHG7ROztJ27o

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę w kształcie trapezu. Dłuższą podstawę trapezu oznaczono I J, natomiast krótszą M L. Punkty M i L znajdują się na krawędziach górnej podstawy wychodzących z tego samego wierzchołka krawędzi bocznej, natomiast punkt I oraz J znajdują się na sąsiednich krawędziach dolnej podstawy wychodzących z wierzchołka tej samej krawędzi bocznej.

Uzasadnienie: Płaszczyzny dolnej i górnej podstawy są równoległe, więc każda płaszczyzna, która nie jest do nich równoległa przecina te płaszczyzny wzdłuż dwóch prostych równoległych, zatem $IJ\Vert LM$.

W aplecie poniżej widzisz płaszczyznę przechodzącą przez punkty $I$ i $J$ leżących na krawędziach o wspólnym wierzchołku oraz punkt $K$ leżący na przedłużeniu trzeciej krawędzi wychodzącej z tego wierzchołka. Punkty $L$ i $M$ to punkty wspólne płaszczyzny i krawędzi prostopadłościanu. Możesz poruszać punktami $I$, $J$ i $K$ w obrębie figur, na których się znajdują oraz obracać przestrzeń wraz z figurą, aby lepiej przyjrzeć się przekrojowi.

R14zzqxjqFQg4

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę w kształcie trapezu. Dłuższą podstawę trapezu oznaczono I J, natomiast krótszą M L. Punkty M i L znajdują się na krawędziach górnej podstawy wychodzących z tego samego wierzchołka krawędzi bocznej, natomiast punkt I oraz J znajdują się na sąsiednich krawędziach dolnej podstawy wychodzących z wierzchołka tej samej krawędzi bocznej. Linią przerywaną zaznaczono przedłużenie krawędzi L J oraz M I trapezu oraz punktem K oznaczono miejsce przecięcia. Punkt K można przesuwać w pionie, w związku z tym zmienia się położenie punktów M i L. Gdy punkt K pokrywa się z wierzchołkiem górnej podstawy płaszczyzna stanowi trójkąt K I J lub M I J. Można także zmieniać położenie punktów I oraz J, co daje możliwość uzyskania dowolnego trapezu, trójkąta a nawet prostokąta gdy wszystkie punkty pokryją się z wierzchołkami prostopadłościanu.

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę w kształcie trapezu. Dłuższą podstawę trapezu oznaczono I J, natomiast krótszą M L. Punkty M i L znajdują się na krawędziach górnej podstawy wychodzących z tego samego wierzchołka krawędzi bocznej, natomiast punkt I oraz J znajdują się na sąsiednich krawędziach dolnej podstawy wychodzących z wierzchołka tej samej krawędzi bocznej. Linią przerywaną zaznaczono przedłużenie krawędzi L J oraz M I trapezu oraz punktem K oznaczono miejsce przecięcia. Punkt K można przesuwać w pionie, w związku z tym zmienia się położenie punktów M i L. Gdy punkt K pokrywa się z wierzchołkiem górnej podstawy płaszczyzna stanowi trójkąt K I J lub M I J. Można także zmieniać położenie punktów I oraz J, co daje możliwość uzyskania dowolnego trapezu, trójkąta a nawet prostokąta gdy wszystkie punkty pokryją się z wierzchołkami prostopadłościanu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D11Vl3GWt

Słownik