Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Równanie wymierne
Definicja: Równanie wymierne

Jeżeli WxPx są wielomianami, Px nie jest wielomianem zerowym Px0 to równanie

WxPx=0

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą x.

Rozwiązać równanie to znaleźć takie pierwiastki wielomianu Wx, które nie są miejscami zerowymi wielomianu Px.

Przed przystąpieniem do rozwiązania równania wymiernego należy określić jego dziedzinę.

Dziedziną równia wymiernego jest zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu Px.

Pokażemy przykłady rozwiązań równań wymiernych, w których licznik lub mianownik ułamka sprowadzimy do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie wymiernerównanie wymiernerównanie wymierne x2-3x2x2+4=0.

Najpierw ustalimy dziedzinę równania.

2x2+40

2x2-4

x2-2

x

D=

Wyłączymy wspólny czynnik przed nawias.

xx-32·x2+2=0

Przyrównujemy licznik ułamka do zera.

xx-3=0

x=0 lub x=3

0D, 3D

Rozwiązaniami równania są liczby 0, 3.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie 12x4-3x23x2+6x=0.

Zapiszemy najpierw równanie w postaci równoważnej, wyłączając w liczniku i mianowniku ułamka algebraicznego wspólny czynnik przed nawias.

3x2(4x21)3x(x+2)=0

Dziedzinę równania jest -2, 0.

Skracamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez 3xx0.

x4x2-1x+2=0

Ułamek równa się zero jeżeli jego licznik równa się zero.

x4x2-1=0

x2x-12x+1=0

x=0 lub x=12 lub x=-12

0D, 12D, -12D

Równanie ma dwa rozwiązania -12, 12.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie x+2x2+1x3-4x=x2+x-2x3-4x.

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

x+2x2+1xx2-4=x+2x-1xx2-4

x+2x2+1-x+2x-1xx2-4=0

x+2x2+1-x+1xx2-4=0

xx2-40

xx-2x+20

x0x2x-2

D=-2, 0, 2

Przyrównujemy licznik ułamka algebraicznego do zera.

x+2x2-x+2=0

x+2=0 lub x2-x+2=0

x=-2 lub =1-8=-7<0

-2D

Równanie nie posiada rozwiązania.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie 2x3-2x2x+22x3+8x2+8x=1.

W pierwszym kroku zapiszemy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynowej.

2x2x-1x+22xx2+4x+4=1

2x2x-1x+22xx+22=1

Dziedziną równania jest -2, 0.

Skracamy licznik i mianownik ułamka.

xx-1x+2=1

Korzystając z własności  proporcji otrzymujemy:

xx-1=x+2

x2-2x-2=0

=4+8=12=23

x1=2-232=1-3D

x2=2+232=1+3D

Rozwiązaniem równania są liczby 1-3, 1+3.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie x3+3x2-2x-6x3-5x2-2x+10=2.

Zapiszemy licznik i mianownik ułamka algebraicznego w postaci iloczynowej, łącząc wyrazy w pary i wyłączając wspólny czynnik.

x2x+3-2·x+3x2x-5-2·x-5=2

x+3x2-2x-5x2-2=2

Wyznaczymy dziedzinę równania.

x-5x2-20

x-5x-2x+20

x5x2x-2

D=-2, 2, 5

Skracamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez x2-2.

x+3x-5=2

x+3=2·x-5

x+3=2x-10

-x=-13

x=13D

Rozwiązaniem równania jest x=13.

Słownik

równanie wymierne
równanie wymierne

równanie WxPx=0 z jedną niewiadomą x, gdzie WxPx są wielomianami, Px nie jest wielomianem zerowym Px0