Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$, to równanie

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Rozwiążemy równanie wymiernerównanie wymiernerównanie wymierne $\frac{x^2-3x}{2x^2+4}=0$.

Najpierw ustalimy dziedzinę równania.

$2x^2+4\ne 0$

$2x^2\ne -4$

$x^2\ne -2$

$x\in \mathrm{ℝ}$

$D=\mathrm{ℝ}$

Wyłączymy wspólny czynnik przed nawias.

$\frac{x\left(x-3\right)}{2·\left(x^2+2\right)}=0$

Przyrównujemy licznik ułamka do zera.

$x\left(x-3\right)=0$

$x=0$ lub $x=3$

$0\in D$, $3\in D$

Rozwiązaniami równania są liczby $0$, $3$.

Rozwiążemy równanie $\frac{12x^4-3x^2}{3x^2+6x}=0$.

Zapiszemy najpierw równanie w postaci równoważnej, wyłączając w liczniku i mianowniku ułamka algebraicznego wspólny czynnik przed nawias.

$\frac{3x^2(4x^2-1)}{3x(x+2)}=0$

Dziedzinę równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\mathrm{2,} 0\right\}$.

Skracamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez $3x$ $\left(x\ne 0\right)$.

$\frac{x\left(4x^2-1\right)}{x+2}=0$

Ułamek równa się zero jeżeli jego licznik równa się zero.

$x\left(4x^2-1\right)=0$

$x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0$

$x=0$ lub $x=\frac{1}{2}$ lub $x=-\frac{1}{2}$

$0\notin D$, $\frac{1}{2}\in D$, $-\frac{1}{2}\in D$

Równanie ma dwa rozwiązania $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$.

Rozwiążemy równanie $\frac{\left(x+2\right)\left(x^2+1\right)}{x^3-4x}=\frac{x^2+x-2}{x^3-4x}$.

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$\frac{\left(x+2\right)\left(x^2+1\right)}{x\left(x^2-4\right)}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{x\left(x^2-4\right)}$

$\frac{\left(x+2\right)\left(x^2+1\right)-\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{x\left(x^2-4\right)}=0$

$\frac{\left(x+2\right)\left(x^2+1-x+1\right)}{x\left(x^2-4\right)}=0$

$x\left(x^2-4\right)\ne 0$

$x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ne 0$

$x\ne 0$ i $x\ne 2$ i $x\ne -2$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2, 0, 2\right\}$

Przyrównujemy licznik ułamka algebraicznego do zera.

$\left(x+2\right)\left(x^2-x+2\right)=0$

$x+2=0$ lub $x^2-x+2=0$

$x=-2$ lub $∆=1-8=-7<0$

$-2\notin D$

Równanie nie posiada rozwiązania.

Rozwiążemy równanie $\frac{\left(2x^3-2x^2\right)\left(x+2\right)}{2x^3+8x^2+8x}=1$.

W pierwszym kroku zapiszemy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynowej.

$\frac{2x^2\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{2x\left(x^2+4x+4\right)}=1$

$\frac{2x^2\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{2x{\left(x+2\right)}^2}=1$

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2, 0\right\}$.

Skracamy licznik i mianownik ułamka.

$\frac{x\left(x-1\right)}{x+2}=1$

Korzystając z własności proporcji otrzymujemy:

$x\left(x-1\right)=x+2$

$x^2-2x-2=0$

$∆=4+8=12\Rightarrow \sqrt{∆}=2\sqrt{3}$

$x_1=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}\in D$

$x_2=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}\in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $1-\sqrt{3}$, $1+\sqrt{3}$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x^3+3x^2-2x-6}{x^3-5x^2-2x+10}=2$.

Zapiszemy licznik i mianownik ułamka algebraicznego w postaci iloczynowej, łącząc wyrazy w pary i wyłączając wspólny czynnik.

$\frac{x^2\left(x+3\right)-2·\left(x+3\right)}{x^2\left(x-5\right)-2·\left(x-5\right)}=2$

$\frac{\left(x+3\right)\left(x^2-2\right)}{\left(x-5\right)\left(x^2-2\right)}=2$

Wyznaczymy dziedzinę równania.

$\left(x-5\right)\left(x^2-2\right)\ne 0$

$\left(x-5\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\ne 0$

$x\ne 5$ i $x\ne \sqrt{2}$ i $x\ne -\sqrt{2}$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 5\right\}$

Skracamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez $\left(x^2-2\right)$.

$\frac{x+3}{x-5}=2$

$x+3=2·\left(x-5\right)$

$x+3=2x-10$

$-x=-13$

$x=13\in D$

Rozwiązaniem równania jest $x=13$.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\ne 0\right)$