Warto przeczytać

Warunki brzegowe

Fale, z którymi spotykamy się w życiu codziennym, najczęściej rozchodzą się w ograniczonych obszarach. Oznacza to, że fala w pewnym momencie dociera do granicy takiego obszaru. Ta granica może nakładać na rozchodzenie się fali pewne ograniczenia, które nazywamy warunkami brzegowymi. Najprostszy przypadek, którym się tutaj zajmiemy, polega na tym, że ośrodek na granicy jest unieruchomiony. Zacznijmy od prostego przypadku jednowymiarowego: sznura ze sztywno zamocowanym końcem (to zamocowanie to właśnie warunek brzegowy).

Doświadczenie 1

Przywiąż sznur do nieruchomego haka lub klamki. Szybkim ruchem ręki wytwórz na nim impuls falowy. Co się będzie działo dalej? Przedstawia to schematycznie Rys. 1.

R1BRwedOvdQWc

Rys. 1. Na rysunku przedstawiono poziomą linię, wzdłuż której biegnie fala w sznurze. Linia dochodzi z prawej strony do pionowego odcinka, który symbolizuje ścianę, od której fala odbija się. a. Impuls falowy przedstawiony jest jako wygięcie krótkiego fragmentu sznura do góry. Poza tym wygięciem sznur leży wzdłuż poziomej linii. Przy impulsie falowym zaznaczono strzałkę w prawo, pokazującą ruch impulsu falowego w kierunku ściany. b. Impuls dotarł do ściany. Sznur przy samej ścianie wygięty jest w dół, a dalej wygięty w górę. Większa część sznura leży wzdłuż poziomej linii. c. Impuls falowy przedstawiony jest jako wygięcie krótkiego fragmentu sznura do dołu. Poza tym wygięciem sznur leży wzdłuż poziomej linii. Przy impulsie falowym zaznaczono strzałkę w lewo, pokazującą kierunek ruchu impulsu falowego.

1. Na początku impuls będzie biegł w prawo, bez zmiany kształtu (Rys. 1a.). Będziemy go nazywać falą padającą.

2. Potem nastąpi faza przejściowa, odkształcenie sznura będzie stopniowo zmieniało kształt (Rys. 1b.).

3. Następnie wykształci się nowy impuls falowy, biegnący w lewo – już teraz bez dalszych zmian kształtu (Rys. 1c.). Będziemy teraz mówić o fali odbitej.

Zauważmy: kształt impulsu odbitego jest kształtem impulsu padającego, obróconym o $180°$.

R1LzLUHdBkhv6

Rys. 2. Na rysunku przedstawiono następujący proces: jeżeli prawy koniec sznura jest unieruchomiony, jego wychylenie w tym punkcie musi być stale równe zeru. Podczas odbicia fali od takiego punktu wychylenie sznura do góry w fali padającej zmienia się na wychylenie w dół w fali odbitej

Obserwowany proces opisuje się następująco. Jeżeli prawy koniec sznura jest unieruchomiony, jego wychylenie w tym punkcie musi być stale równe zeru. Impuls padający, biegnący w prawo, sam takiego warunku nie spełnia (górna krzywa niebieska na Rys. 2.). Będzie to jednak możliwe, jeżeli poza układem po prawej stronie „urodzi się” drugi, fikcyjny impuls, który będzie biegł w lewo (dolna krzywa niebieska na Rys. 2.). Jeżeli ten impuls będzie miał odpowiedni kształt, to złożeniu obu impulsów będzie odpowiadać stałe zerowanie się wychylenia w miejscu zaczepienia sznura (krzywe czerwone). Możesz to prześledzić dla różnych chwil czasu na Rys. 2. Po odpowiednim czasie impuls padający „schowa się za punkt zaczepienia” (i poza układem będzie pełnić rolę fikcyjnego impulsu odbitego), a w układzie pozostanie tylko fala odbita.

Odbicie harmonicznej fali płaskiej od zamocowanej krawędzi

Rozpatrzymy teraz przykład dwuwymiarowy, który pozwoli nam na sformułowanie prawa odbicia: odbicie harmonicznej fali płaskiej, biegnącej na rozciągłej gumowej membranie (Rys. 3.). Zakładać będziemy, że membrana ta jest sztywno zamocowana na prostej krawędzi, którą przedstawia czerwona linia pozioma na rysunkach. Niech kolor ciemny oznacza wychylenie przed ekran, a jasny – wychylenie za ekran.

RD4CUnpJf0Pum

Rys. 3a. Na rysunku przedstawiono poziomy prostokąt wypełniony równoległymi pasami na przemian jasnymi i ciemnymi. Pasy biegną ukośnie w górę i w prawo. Pasy przedstawiają grzbiety i doliny fali. Grzbiety to punkty membrany – punkty wychylone w górę (ciemne pasy), doliny – punkty wychylone w dół (jasne pasy). W prostokącie zaznaczono poziomą czerwoną linię przedstawiająca sztywną krawędź membrany. Na środku tej linii zaznaczono punkt, od którego biegnie pionowo w górę zielona przerywana linia. Kropka na przecięciu linii poziomej i pionowej znajduje się na ciemnym pasie. Prostopadle do pasów narysowana jest żółta strzałka skierowana ukośnie w prawo i w dół.

RTIUoZRDJvjBw

Rys. 3b. Na rysunku przedstawiono podobny poziomy prostokąt wypełniony równoległymi pasami na przemian jasnymi i ciemnymi. Pasy biegną ukośnie w dół i w prawo. W prostokącie zaznaczono poziomą czerwoną linię przedstawiającą sztywną krawędź membrany, od której fala się odbija. Na środku tej linii zaznaczony jest punkt, od którego biegnie pionowo w górę zielona przerywana linia. Kropka na przecięciu linii poziomej i pionowej znajduje się na jasnym pasie. Prostopadle do pasów narysowano żółtą strzałkę skierowana ukośnie w prawo i w górę.

Rys. 3a. przedstawia padającą płaską falę harmoniczną, biegnącą w kierunku pokazanym żółtą strzałką. Kierunek biegu fali płaskiej jest prostopadły do kierunku grzbietów fal. Tworzy on z normalnąNormalnanormalną (kierunkiem prostopadłym do krawędzi, zielona przerywana linia) kąt, który będziemy nazywać kątem padaniaKąt padaniakątem padania. Fala przedstawiona na Rys. 3a. oczywiście nie znikałaby na zamocowanej krawędzi. W szczególności wychylona byłaby przed ekran w miejscu zaznaczonym białą kropką. Chcemy – podobnie jak w przypadku jednowymiarowym – znaleźć „do pary” taką falę odbitą, która w wyniku nałożenia z falą padającą zapewniłaby znikanie fali wzdłuż czerwonej linii. Falę taką przedstawia Rys. 3b. Jej kierunek – żółta strzałka – tworzy z normalną kąt nazywany kątem odbiciaKąt odbiciakątem odbicia.

Aby fala odbita po nałożeniu z falą padającą zerowała wychylenie wszystkich punktów na czerwonej linii, kąt odbicia musi mieć taką sama wartość jak kąt padania. Znaki wychyleń powodowanych przez te fale muszą być jednak przeciwne. W punkcie zaznaczonym kropką fali odbitej odpowiadałoby wychylenie za ekran, co w połączeniu z wychyleniem pochodzącym z fali padającej (przed ekran) zerowałoby wychylenie w tym punkcie.

Schematycznie proces odbicia dla fali padającej pod kątem $\alpha$ możemy przedstawić z pomocą Rys. 4.

RgO4xOwJA8mJP

Rys. 4a. Do poziomej linii przedstawiającej powierzchnię odbijającą dołożono pionową linię biegnącą prostopadle w górę i opisano normalna. W punkcie przecięcia tych linii znajduje się koniec strzałki skierowanej ukośnie w prawo i w dół. Przy strzałce umieszczono opis: kierunek biegu fali padającej. Między strzałką i linią pionową zaznaczono kąt z opisem – kąt padania..

RaPRA8jjyKRlH

Rys. 4b. Do poziomej linii, przedstawiającej powierzchnię odbijającą, dołożono biegnącą w górę pionową linię opisaną normalna. W punkcie przecięcia tych linii znajduje się początek strzałki skierowanej ukośnie w prawo i w górę. Strzałkę opisano: kierunek biegu fali odbitej. Między strzałką i linią pionową zaznaczono kąt z opisem – kąt odbicia.

R1TF3koQsf4zK

Rys. 4c. Rysunek stanowi złożenie rysunków 4a i 4b. Do poziomej linii przedstawiającej powierzchnię odbijającą dołożono biegnącą w górę pionową linię. W punkcie przecięcia tych linii znajduje się koniec strzałki skierowanej ukośnie w prawo i w dół oraz początek drugiej strzałki skierowanej ukośnie w prawo i w górę. Między każdą ze strzałek i linią pionową zaznaczone są równe kąty oznaczone grecką literą alfa.

Nasze rozumowanie pozwala sformułować prawo odbicia:

kąt odbicia równy jest kątowi padania.

Omawialiśmy tutaj fale mechaniczne, jednak prawo odbicia obowiązuje również dla fal elektromagnetycznych.

Słowniczek