Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero.

Miejscem zerowym funkcji $y=f\left(x\right)$ jest  odcięta $x_0$ punktu, w którym  wykres tej funkcji przecina oś $X$$\left(x_0\in D_f\right)$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

Rc3jM30hP8j4Y

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus siedmiu do czterech i pionową oś y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się wykresy o następującym kształcie: początek wykresu jest w punkcie początek nawiasu, minus 7,5, minus 2, zamknięcie nawiasu, punkt ten jest zaznaczony zamalowaną kropką. Z tego punktu do punktu początek nawiasu, minus 4,5, 2, zamknięcie nawiasu zaznaczonego niezamalowaną kropką biegnie linia prosta, która przecina oś x w punkcie minus 6. Współrzędne kolejnego punktu to początek nawiasu, minus 4,5, 1, zamknięcie nawiasu, jest on zaznaczony zamalowaną kropką. Z tego punktu do punktu początek nawiasu, minus 1,5 minus 1, zamknięcie nawiasu biegnie linia prosta, która przecina oś x w punkcie minus 3. Punkt początek nawiasu, minus 1,5, minus 1, zamknięcie nawiasu jest zaznaczony zamalowaną kropką. Kolejny punkt wykresu o współrzędnych początek nawiasu, minus 1,5, minus 2, zamknięcie nawiasu jest zaznaczony niezamalowaną kropką stąd linia biegnie poziomo aż do punktu początek nawiasu, 2, minus 2, zamknięcie nawiasu, z tego miejsca biegnie krzywa o kształcie przypominającym ramię paraboli skierowane w dół. Begnie do punktu początek nawiasu, 3, 0, zamknięcie nawiasu, tam zmienia kształt na krzywą przypominająca ramię paraboli skierowane do góry. Ostatni punkt ma współrzędne początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu i jest zaznaczony zamalowaną kropką. Wykres jest podpisany $y=f\left(x\right)$.

Wyznaczymy jej miejsca zerowe.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsc zerowych funkcji $f$ odczytajmy z wykresu współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią $X$.

Są to punkty: $\left(-6, 0\right)$, $\left(-3, 0\right)$, $\left(3, 0\right)$.

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji i osi $X$.

Są nimi liczby: $\left(-6\right)$, $\left(-3\right)$, $3$.

Funkcja $f$ ma więc trzy miejsca zerowe: $\left(-6\right)$, $\left(-3\right)$, $3$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu, którego fragment przedstawiony jest na rysunku.

R1G1NeH8OllxE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 5 oraz z pionową osią Y od minus 4 do trzech. Na wykresie przedstawiono funkcję $y=f\left(x\right)$ składającą się z jednej linii ciągłej , która rozpoczyna się w ćwiartce drugiej i biegnie przecinając oś x w punkcie minus 5 do punktu początek nawiasu, minus 3, minus 4, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu wykres zmienia bieg i biegnie przez punkt początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce, następnie biegnie przez punkt początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu i punkt początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu do punktu początek nawiasu, 4, minus 1, zamknięcie nawiasu. Tutaj wykres zmienia bieg i biegnąc przez punkt początek nawiasu, 5, 0, zamknięcie nawiasu wychodzi w pierwszej ćwiartce poza płaszczyznę układu.

Na podstawie wykresu  określimy  jej miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Odczytajmy z wykresu funkcji współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią $X$.

Są to punkty o współrzędnych: $\left(-5, 0\right)$, $\left(-2, 0\right)$, $\left(2, 0\right)$, $\left(5, 0\right)$.

Miejscami zerowymi funkcjimiejsce zerowe funkcjiMiejscami zerowymi funkcji $f$ są pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji i osi $X$.

Funkcja $f$ ma cztery miejsca zerowe: $\left(-5\right)$, $\left(-2\right)$, $2$, $5$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RdD5UaY1Z4kUf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 5 oraz z pionową osią Y od minus 1 do sześciu. Na wykresie przedstawiono funkcję $y=f\left(x\right)$, która rozpoczyna się w ćwiartce drugiej i biegnie linią prostą do punktu początek nawiasu, minus 3, 1,5, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu wykres zmienia kształt na parabolę o ramionach skierowanych w dół. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu. Koniec drugiego ramienia znajduje się w punkcie początek nawiasu, 3, 1,5, zamknięcie nawiasu. W tym punkcie wykres znów przybiera kształt linii prostej i wychodzi w pierwszej ćwiartce poza płaszczyznę układu.

Sprawdzimy, czy funkcja posiada miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f$ nie ma punktów wspólnych z osią $X$.

Funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RYlIfdsIkezQ0

Grafika przedstawia układ współrzędnych z wyznaczoną osią x od minus 6 do 6 i osią y wyznaczoną od minus 3 do trzech. Na układzie współrzędnych wyznaczono funkcję $y=f\left(x\right)$, ,której przebieg rozpoczyna się w ćwiartce trzeciej w okolicach punktu początek nawiasu, 3,5, minus 3, zamknięcie nawiasu i przebiega w formie łuku do punktu początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Od punktu tego do punktu początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu funkcja przebiega wzdłuż osi x. Od punktu początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. funkcja w formie łuku kieruje się ku górnej części grafiki i kończy się w pobliżu punktu początek nawiasu, 3,5, 3, zamknięcie nawiasu.

Ile miejsc zerowych posiada funkcja $f$?

Rozwiązanie

Część wykresu funkcji pokrywa się z osią $X$.

Stąd wniosek, że dla każdego argumentu $x$, takiego, że $x\in ⟨-2, 2⟩$ funkcja ma wartość równą $0$.

Czyli każda liczba należąca do przedziału obustronnie domkniętego $⟨-2, 2⟩$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

$f\left(x\right)=0\iff x\in ⟨-2, 2⟩$.

odcięta $x_0$ punktu, w którym wykres funkcji przecina oś $X$$\left(x_0\in D_f\right)$