Przeczytaj

Mówimy, że koło jest wpisane w trójkąt, jeśli okrąg będący brzegiem koła jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Trójkąt nazywamy wtedy trójkątem opisanym na tym kole.

RrcswRFY7m4dG

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. W trójkąt wpisano okrąg ośrodku O. Z punktu O na bok AC opuszczono odcinek, pod kątem prostym do tego boku. Punkt przecięcia się boku AC z tym odcinkiem podpisano B1. Z punktu O na bok BC opuszczono odcinek, pod kątem prostym do tego boku. Punkt przecięcia się boku BC z tym odcinkiem podpisano A1. Z punktu O na bok BA opuszczono odcinek, pod kątem prostym do tego boku. Punkt przecięcia się boku BAz tym odcinkiem podpisano C1.

Środek koła wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątówdwusieczna kątadwusiecznych kątów trójkąta (patrz rysunek poniżej).

R1ekUUQbXMBe2

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. W trójkąt wpisano okrąg ośrodku O. Na rysunku znajdują się również trzy proste. Każda z nich przechodzi przez jeden z wierzchołków oraz przez punkt O będący środkiem koła.

Konsekwencją powyższej własności jest fakt, że w każdy trójkąt można wpisać tylko jedno koło.

Pomiędzy polem trójkąta, jego obwodem oraz promieniem koła wpisanego w trójkąt zachodzi pewien bardzo użyteczny związek. Mianowicie pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia wpisanego koła i połowy obwodu trójkąta

P = r \cdot p

gdzie:
$p$ – połowa obwodu trójkąta $p = \frac{a + b + c}{2}$ ,
$P$ – pole trójkąta.

Udowodnimy teraz powyższy wzór. Spójrzmy na poniższy rysunek.

R16WKL3lplO9S

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. W trójkąt wpisano okrąg ośrodku O. Bok AB podpisano literą a. Bok BC podpisano literą b. Bok AC podpisano literą c. Z punktu O poprowadzono odcinki łączące środek okręgu z wierzchołkami trójkąta. Ze środka okręgu poprowadzono odcinki na każdy z boków trójkąta, odcinki te podpisano literą r.

Jeżeli w trójkącie $A B C$ poprowadzimy odcinki łączące wierzchołki ze środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, to otrzymamy trzy mniejsze trójkąty: $A B O$ , $B C O$ , $C A O$ . Łatwo zauważyć, że wysokość każdego z nich jest równa długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Sumując pola trzech powstałych trójkątów, otrzymujemy pole trójkąta $A B C$ :

$P_{△ A B C} = P_{△ A B O} + P_{△ B C O} + P_{△ C A O} = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r = r \cdot \frac{1}{2} \cdot (a + b + c) = r p$ .

Co kończy nasz dowód.

Ciekawostka

Promień $r$ koła wpisanego w trójkąt można obliczyć również z alternatywnego wzoru:

r = \sqrt{\frac{(p - a) (p - b) (p - c)}{p}}

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – długości boków trójkąta,
$p$ – połowa obwodu trójkąta $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

Dowód

R18NjWFMN1oEp

Ilustracja przedstawia trójkąt, którego boki podpisano a b c. Kąt pomiędzy bokiem b i c podpisano literą alfa. Z wierzchołka znajdującego się pomiędzy bokami a oraz b poprowadzono wysokość h na bok c.

Aby udowodnić powyższy wzór skorzystamy z funkcji sinus.

Zauważmy, że z definicji funkcji sinus mamy $\sin α = \frac{h}{b}$ , a stąd po przekształceniu $h = b \cdot \sin α$ . Zatem wzór na pole trójkąta możemy zapisać jako

$P = \frac{1}{2} h c = \frac{1}{2} b c \sin α$ .

Skorzystamy teraz z twierdzenia cosinusów: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ . Stąd mamy, że $\cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ .

Stosując jedynkę trygonometryczną ( $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ ), możemy zapisać

$\sin^{2} α = 1 - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})}^{2} = (1 - \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}) (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}) =$

$= (\frac{2 b c - b^{2} - c^{2} + a^{2}}{2 b c}) (\frac{2 b c + b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}) =$

$= (\frac{a^{2} - {(b - c)}^{2}}{2 b c}) (\frac{{(b + c)}^{2} - a^{2}}{2 b c}) =$

$= \frac{(a + b - c) (a - b + c)}{2 b c} \cdot \frac{(b + c + a) (b + c - a)}{2 b c}$ .

Korzystając z faktu, że $2 p = a + b + c$ , mamy:

$a + b - c = 2 p - 2 c$ ,

$a - b + c = 2 p - 2 b$ ,

$a + b + c = 2 p$

$b + c - a = 2 p - 2 a$ .

Kontynuując powyższe rówanie

$\sin^{2} α = \frac{2 (p - c) \cdot 2 (p - b)}{2 b c} \cdot \frac{2 p \cdot 2 (p - a)}{2 b c} = \frac{4 p (p - a) (p - b) (p - c)}{b^{2} c^{2}}$ ,

zatem

$\sin α = \frac{2 \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}}{b c}$ .

Wrócmy teraz do wzoru na pole trójkąta $P = \frac{1}{2} b c \sin α$ .

Podstawmy $\sin α$ do powyższego wzoru

$P = \frac{1}{2} b c \cdot \frac{2 \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}}{b c} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Otrzymaliśmy wzór na pole trójkąta jeżeli znane są długości jego boków.

Wiemy, że $P = r p$ .

Zatem

$r = \sqrt{\frac{(p - a) (p - b) (p - c)}{p}}$ .

Ciekawostka

Jeśli znamy promień okręgu opisanego $R$ , to promień okręgu wpisanego można obliczyć ze wzoru:

r = \frac{a b c}{4 R p}

Dowód

Wiemy, że pole trójkąta możemy obliczyć ze wzoru $P = \frac{1}{2} a b \sin α$ , gdzie $α$ jest kątem leżącym między bokami $a$ i $b$ , naprzeciw boku $c$ . Z twierdzenia sinusów wynika, że $\sin α = \frac{c}{2 R}$ , zatem

$P = \frac{1}{2} a b \sin α = \frac{1}{2} a b \frac{c}{2 R} = \frac{a b c}{4 R}$ .

Wiemy, że $P = r p$ .

Zatem

$r p = \frac{a b c}{4 R}$

$r = \frac{a b c}{4 R p}$ .

Ciekawostka

Promień $r$ okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny można obliczyć ze wzoru:

r = \frac{R}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}

gdzie:
$a$ – długość boku trójkąta,
$R$ – promień okręgu opisanego.

Dowód

R1FeR71vUrJrw

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty równoboczne o długości boku równej a. W pierwszym trójkącie narysowano dwie wysokości, które przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten dzieli wysokość na dwa odcinki. Odcinek od wierzchołka do punktu przecięcia się wysokości ma długość 23h, a odcinek pomiędzy bokiem a przecięciem się wysokości ma długość 13h. W drugi oprócz dwóch wysokości, wpisano trójkąt. Promień tego trójkąta wynosi r=13h.

Wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka. Punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (jest także środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny). Zatem

$r = \frac{1}{3} h$

$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$r = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

Ciekawostka

Długość promienia $r$ okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny można obliczyć ze wzoru:

r = \frac{a + b - c}{2}

gdzie:
$a$ , $b$ – długości przyprostokątnych,
$c$ – długość przeciwprostokątnej.

Dowód

Spójrzmy na poniższy rysunek.

R1EDmyH5IP1Li

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Odcinek AB podpisano literą c, bok AC podpisano literą b, bok BC podpisano literą a. W trójkąt wpisano okrąg o środku O, punkt przecięcia się okręgu z bokiem AB podpisano literą E, punkt przecięcia się okręgu z odcinkiem AC podpisano literą D, punkt przecięcia się okręgu z odcinkiem BC podpisano literą F. Odcinek CD podpisano literą r, a odcinek AD podpisano b-r, odcinek CF podpisano literą r, natomiast odcinek BF jest podpisany a-r. Odcinek AE podpisano b-r, a odcinek BE ma długość a-r.

Długość przeciwprostokątnej trójkąta $A B C$ , jest równa:

$c = a - r + b - r = a + b - 2 r$ .

Wyznaczając z powyższego wzoru $r$ , dostajemy:

$r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Przykład 1

W trójkącie $A B C$ : $|A C| = 9$ , $|B C| = 12$ , miara kąta przy wierzchołku kąta $C$ wynosi $90 °$ . Obliczymy długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie

R1XfRuNgnIpDx

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, w którym AB to przeciwprostokątna, a AC i BC to przyprostokątne. W trójkąt wpisano okrąg o środku O.

Użyjemy wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt:

$P = r \cdot p$ , zatem $r = \frac{P}{p}$ .

Znane są długości dwu przyprostokątnych. Możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej oraz pole trójkąta.

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

$|A B| = \sqrt{{|A C|}^{2} + {|B C|}^{2}} = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Wyznaczymy teraz pole trójkąta $A B C$ :

$P = \frac{1}{2} \cdot |A C| \cdot |B C| = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ .

Następnie obliczymy połowę obwodu trójkąta:

$p = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18$ .

W ten sposób długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ jest równa:

$r = \frac{P}{p} = \frac{54}{18} = 3$ .

Przykład 2

W prostokątny trójkąt równoramienny o polu $8$ wpisano koło. Wyznaczymy długość promienia tego koła.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1eO7Fq2Hzzhn

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne podpisano literami x.

Wiemy, że pole w prostokątnym trójkącie równoramiennym jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych. Zatem: $\frac{1}{2} \cdot x \cdot x = 8$ stąd $x^{2} = 16$ .

Zatem $x = 4$ lub $x = - 4$ .

Ponieważ długość boku trójkąta nie może być liczbą ujemną, zatem $x = 4$ .

Długość przeciwprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, albo zauważyć, że nasz trójkąt jest połową kwadratu, a przeciwprostokątna jest przekątną tego kwadratu. Zatem przeciwprostokątna ma długość $4 \sqrt{2}$ .

Możemy zatem obliczyć obwód naszego trójkąta, który wynosi $8 + 4 \sqrt{2}$ .

Wstawiając dostępne dane do wzoru $r = \frac{P}{p}$ mamy $r = \frac{8}{4 + 2 \sqrt{2}} = \frac{4}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{8 - 4 \sqrt{2}}{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$ .

Zatem długość promienia koła wynosi $4 - 2 \sqrt{2}$ .

Przykład 3

W trójkąt równoramienny o bokach długości $4$ , $4$ , $6$ wpisano okrąg. Wyznacz stosunek pola koła ograniczonego tym okręgiem do pola trójkąta.

Rozwiązanie

Musimy wyznaczyć zarówno pole trójkąta, jak też pole kołapole kołapole koła. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1DGizsfmtvo7

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o wierzchołkach A B C. W trójkąt wpisano okrąg o środku O. Z wierzchołka B opuszczono wysokość na bok AB i podpisano ją literą h. Spodek wysokości podpisano D=6. Boki AB i BC mają długość cztery.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy ${(\frac{a}{2})}^{2} + h^{2} = b^{2}$ .

Stąd:
$3^{2} + h^{2} = 4^{2}$
$9 + h^{2} = 16$ ,
czyli:
$h^{2} = 7$
i ostatecznie:
$h = \sqrt{7}$ .

Po zastosowaniu znanego wzoru na pole trójkąta: $P_{t} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ mamy $P_{t} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} = 3 \sqrt{7}$ .

Zauważmy ponadto, że połowa obwodu naszego trójkąta wynosi $p = \frac{4 + 4 + 6}{2} = 7$ .

Stąd, po zastosowaniu wzoru: $r = \frac{P_{t}}{p}$ mamy $r = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

Pole koła o promieniu długości r zadane jest wzorem $P_{k} = π r^{2}$ .

Zatem, w naszym przypadku: $P_{k} = π {(\frac{3 \sqrt{7}}{7})}^{2} = \frac{9}{7} π$ .

Ostatecznie, stosunek pola koła do pola trójkąta wynosi: $\frac{P_{k}}{P_{t}} = \frac{\frac{9}{7} π}{3 \sqrt{7}}$ .

Co po usunięciu niewymierności z mianownika daje: $\frac{P_{k}}{P_{t}} = \frac{9 \sqrt{7} π}{147}$ .

Przykład 4

W trójkącie równoramiennym $A B C$ o obwodzie $120$ , gdzie $|A B| = |B C|$ , stosunek długości boków $A B$ i $A C$ wynosi $3 : 2$ . Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie

Oznaczmy boki trójkąta jak na rysunku poniżej:

Rp2JlmxeFni66

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Podstawa trójkąta AC ma długość 2x. Bok AB i BC mają długość 3x. Z wierzchołka B na podstawę AC opuszczono wysokość.

Wówczas obwód tego trójkąta można wyrazić w następujący sposób: $3 x + 3 x + 2 x = 120$ , czyli $8 x = 120$ , skąd $x = 15$ .

Zatem boki naszego trójkąta mają długości $|A B| = |B C| = 45$ , $|A C| = 30$ .

Wysokość tego trójkąta można łatwo obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, a mianowicie $45^{2} = h^{2} + 15^{2}$ , czyli $h^{2} = 1800$ . Stąd $h = \sqrt{1800} = 30 \sqrt{2}$ .

Możemy teraz obliczyć pole trójkąta, które wynosi $P = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 \sqrt{2} = 450 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie długość promienia okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru $r = \frac{P}{p} = \frac{450 \sqrt{2}}{60} = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$ .

Słownik

pole koła

pole koła o promieniu $r > 0$ zadane jest wzorem $P = π r^{2}$

dwusieczna kąta

dwusieczną kąta nazywamy zbiór punktów równoodległych od jego ramion

Wprowadzenie

Animacja

Słownik