Przeczytaj
Mówimy, że koło jest wpisane w trójkąt, jeśli okrąg będący brzegiem koła jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Trójkąt nazywamy wtedy trójkątem opisanym na tym kole.
Środek koła wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątówdwusiecznych kątów trójkąta (patrz rysunek poniżej).
Konsekwencją powyższej własności jest fakt, że w każdy trójkąt można wpisać tylko jedno koło.
Pomiędzy polem trójkąta, jego obwodem oraz promieniem koła wpisanego w trójkąt zachodzi pewien bardzo użyteczny związek. Mianowicie pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia wpisanego koła i połowy obwodu trójkąta
gdzie:
– połowa obwodu trójkąta ,
– pole trójkąta.
Udowodnimy teraz powyższy wzór. Spójrzmy na poniższy rysunek.
Jeżeli w trójkącie poprowadzimy odcinki łączące wierzchołki ze środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, to otrzymamy trzy mniejsze trójkąty: , , . Łatwo zauważyć, że wysokość każdego z nich jest równa długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Sumując pola trzech powstałych trójkątów, otrzymujemy pole trójkąta :
.
Co kończy nasz dowód.
Promień koła wpisanego w trójkąt można obliczyć również z alternatywnego wzoru:
gdzie:
, , – długości boków trójkąta,
– połowa obwodu trójkąta .
Dowód
Aby udowodnić powyższy wzór skorzystamy z funkcji sinus.
Zauważmy, że z definicji funkcji sinus mamy , a stąd po przekształceniu . Zatem wzór na pole trójkąta możemy zapisać jako
.
Skorzystamy teraz z twierdzenia cosinusów: . Stąd mamy, że .
Stosując jedynkę trygonometryczną (), możemy zapisać
.
Korzystając z faktu, że , mamy:
,
,
.
Kontynuując powyższe rówanie
,
zatem
.
Wrócmy teraz do wzoru na pole trójkąta .
Podstawmy do powyższego wzoru
.
Otrzymaliśmy wzór na pole trójkąta jeżeli znane są długości jego boków.
Wiemy, że .
Zatem
.
Jeśli znamy promień okręgu opisanego , to promień okręgu wpisanego można obliczyć ze wzoru:
Dowód
Wiemy, że pole trójkąta możemy obliczyć ze wzoru , gdzie jest kątem leżącym między bokami i , naprzeciw boku . Z twierdzenia sinusów wynika, że , zatem
.
Wiemy, że .
Zatem
.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny można obliczyć ze wzoru:
gdzie:
– długość boku trójkąta,
– promień okręgu opisanego.
Dowód
Wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku , licząc od wierzchołka. Punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (jest także środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny). Zatem
.
Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny można obliczyć ze wzoru:
gdzie:
, – długości przyprostokątnych,
– długość przeciwprostokątnej.
Dowód
Spójrzmy na poniższy rysunek.
Długość przeciwprostokątnej trójkąta , jest równa:
.
Wyznaczając z powyższego wzoru , dostajemy:
.
W trójkącie : , , miara kąta przy wierzchołku kąta wynosi . Obliczymy długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Rozwiązanie
Użyjemy wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt:
, zatem .
Znane są długości dwu przyprostokątnych. Możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej oraz pole trójkąta.
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:
.
Wyznaczymy teraz pole trójkąta :
.
Następnie obliczymy połowę obwodu trójkąta:
.
W ten sposób długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt jest równa:
.
W prostokątny trójkąt równoramienny o polu wpisano koło. Wyznaczymy długość promienia tego koła.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Wiemy, że pole w prostokątnym trójkącie równoramiennym jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych. Zatem: stąd .
Zatem lub .
Ponieważ długość boku trójkąta nie może być liczbą ujemną, zatem .
Długość przeciwprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, albo zauważyć, że nasz trójkąt jest połową kwadratu, a przeciwprostokątna jest przekątną tego kwadratu. Zatem przeciwprostokątna ma długość .
Możemy zatem obliczyć obwód naszego trójkąta, który wynosi .
Wstawiając dostępne dane do wzoru mamy .
Zatem długość promienia koła wynosi .
W trójkąt równoramienny o bokach długości , , wpisano okrąg. Wyznacz stosunek pola koła ograniczonego tym okręgiem do pola trójkąta.
Rozwiązanie
Musimy wyznaczyć zarówno pole trójkąta, jak też pole kołapole koła. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy .
Stąd:
,
czyli:
i ostatecznie:
.
Po zastosowaniu znanego wzoru na pole trójkąta: mamy .
Zauważmy ponadto, że połowa obwodu naszego trójkąta wynosi .
Stąd, po zastosowaniu wzoru: mamy .
Pole koła o promieniu długości r zadane jest wzorem .
Zatem, w naszym przypadku: .
Ostatecznie, stosunek pola koła do pola trójkąta wynosi: .
Co po usunięciu niewymierności z mianownika daje: .
W trójkącie równoramiennym o obwodzie , gdzie , stosunek długości boków i wynosi . Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Rozwiązanie
Oznaczmy boki trójkąta jak na rysunku poniżej:
Wówczas obwód tego trójkąta można wyrazić w następujący sposób: , czyli , skąd .
Zatem boki naszego trójkąta mają długości , .
Wysokość tego trójkąta można łatwo obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, a mianowicie , czyli . Stąd .
Możemy teraz obliczyć pole trójkąta, które wynosi .
Ostatecznie długość promienia okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru .
Słownik
pole koła o promieniu zadane jest wzorem
dwusieczną kąta nazywamy zbiór punktów równoodległych od jego ramion