Warto przeczytać

Ruch to zmiana położeniapołożeniepołożenia ciała w czasie, w wybranym układzie odniesieniaukład odniesieniaukładzie odniesienia i związanym z nim układzie współrzędnych. Do ilościowego opisu ruchu wprowadza się szereg definicji i określeń.

O zmianie położenia ciała informuje nas wektor przemieszczeniaprzemieszczenieprzemieszczenia $\Delta \vec r$, równy różnicy wektorów położenia końcowego $\vec{r}_2$ i początkowego $\vec{r}_1$ ciała w wybranym układzie współrzędnych.

Tor ruchutorTor ruchu to krzywa, którą zakreśla poruszające się ciało. DrogadrogaDroga to wielkość skalarna, będąca długością toru ciała.

Prędkość średniaprędkość średniaPrędkość średnia ciała $\vec{v}_{\text{śr}}$ przemieszczającego się o $\Delta \vec{r}$ w czasie $\Delta t$ to iloraz

SzybkośćszybkośćSzybkość $v$ (inaczej nazywana średnią wartością prędkości) to wielkość skalarna, dana przez iloraz drogi przez czas ruchu:

W pewnym sensie najdokładniejszą z używanych w opisie ruchu wielkości jest prędkość chwilowaprędkość chwilowaprędkość chwilowa, czyli taka, jaką ciało ma w danej chwili. Obliczamy ją podobnie jak prędkość średnią w pierwszym z powyższych wzorów, ale dodajemy warunek, aby czas $\Delta t$ dążył do zera,

W ruchu jednostajnymruch jednostajnyruchu jednostajnym wartość wektora prędkości jest stała w czasie. W ruchu jednostajnym prostoliniowym wektor prędkości jest stały w czasie ruchu. Jeśli ruch ciała odbywa się wzdłuż osi $x$, to równanie ruchu jednostajnego, prostoliniowego opisuje liniową zależność współrzędnej $x$ położenia ciała od czasu:

gdzie $x_0$ to położenie początkowe, $v_x$ to jedyna niezerowa współrzędna prędkości.

W ruchu jednostajnym prostoliniowym prędkość średnia równa jest prędkości chwilowej. Współrzędną przemieszczenia obliczamy następująco:

zatem zależność drogi od czasu ma postać

Ruch możemy opisywać zarówno na podstawie danych zawartych w tabelach, jak i na podstawie wykresów funkcji ten ruch opisujących.

Przykład 1

Przeanalizujmy, jak Ania uczyła się jeździć na rolkach. Jej ruch (po prostym odcinku ścieżki) przedstawiony jest na wykresie zależności położenia od czasu. Dane dla tego ruchu mamy też umieszczone w tabeli. W wybranym układzie współrzędnych, na początku ruchu, czyli dla $t_0 = 0\,\text{min}$, mamy dane położenie początkowe Ani $x = 0\,\text{m}$. W tej chwili rozpoczyna się ruch. Ania przez czas $1\,\text{min}$ przejechała drogę $30\,\text{m}$, jadąc z prędkością $v = 30\,\text{m/min}$. Przez następne pół minuty także przebyła drogę $30\,\text{m}$, ale z prędkością $6\,\text{m/min}$. Po półtorej minuty jazdy, w odległości $60\,\text{m}$ od miejsca startu, zatrzymała się na pół minuty, po czym szybko ruszyła w drogę powrotną - przejechała $60\,\text{m}$ w ciągu pół minuty z prędkością $v_x=-120\,\text{m/min}$. Ale po dotarciu do miejsca startu nie zatrzymała się, tylko zwolniła i pojechała dalej. W ciągu kolejnych 30 sekund przebyła jeszcze $30\,\text{m}$ z prędkością $v_x' = -60\,\text{m/min}$. Jej jazda trwała w sumie 3 minuty.

RgI7zLSDw0AnH

Rys. 1. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych, gdzie na osi poziomej odłożono czas w minutach oznaczony małą literą t, a na osi pionowej położenie w metrach oznaczone małą literą x. Wykres jest linią łamaną, składającą się z pięciu odcinków. Pierwszy odcinek zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas 0 sekund, położenie 0 metrów, a kończy w punkcie o współrzędnych: czas 1 minuta, położenie 30 metrów. Drugi odcinek zaczyna się w punkcie końcowym pierwszego odcinka i kończy w punkcie o współrzędnych: czas 1,5 minuty, położenie 60 metrów. Trzeci odcinek jest poziomy i zaczyna się w punkcie końcowym drugiego odcinka, a kończy w punkcie o współrzędnych: czas 2 minuty, położenie 60 metrów. Czwarty odcinek zaczyna się w punkcie końcowym trzeciego odcinka i kończy w punkcie o współrzędnych: czas 2,5 minuty, położenie 0 metrów. Piąty odcinek zaczyna się w punkcie końcowym czwartego odcinka i kończy w punkcie o współrzędnych: czas 3 minuty, położenie minus 30 metrów.

W powyższej tabeli mamy też obliczone według definicji: położenia w kolejnych chwilach czasu, przemieszczenia od chwili poprzedniej do bieżącej, odcinków drogi, średnie współrzędne prędkości oraz szybkość. W ostatnim wierszu podano wartości tych wielkości, które jest sens określić dla całego ruchu.

Przykład 2

Opisana tu sytuacja mogłoby zdarzyć się np. na jeziorze Śniardwy. Dwaj kajakarze spotkali się na środku jeziora. Po spotkaniu jeden płynął z prędkością $v_1 = 4\,\text{km/h}$ prosto na wschód, a drugi z prędkością $v_2 = 3\,\text{km/h}$ prosto na północ. Na jaką odległość oddalili się od siebie po upływie $t_1 = 1\,\text{h}$ i $t_2 = 2\,\text{h}$? Z jaką prędkością oddalali się od siebie?

Przede wszystkim warto zauważyć, że jakikolwiek wynik otrzymamy dla odległości po czasie $t_1$, wynik dla $t_2$, tu równego $2t_1$, będzie dwukrotnie większy. Wynika to wprost z faktu, że ruchy obu kajakarzy są jednostajne i prostoliniowe.

Niech początek układu współrzędnych będzie na środku jeziora, w miejscu spotkania kajakarzy. Wygodnie jest wybrać układ współrzędnych o osiach zgodnych z kierunkami prędkości obu kajakarzy, choć nie jest to koniecznae - ponieważ pytamy o liczby (odległość i wartość prędkości) - wynik nie może zależeć od wyboru układu współrzędnych. Za to obliczenia będą prostsze.

Patrząc na jezioro z góry i przyjmując oś $x$ zwróconą na wschód, a oś $y$ - na północ, możemy napisać, że

Zatem położenia kajakarzy zależą od czasu następująco:

Można to zilustrować na schemacie przedstawiającym przemieszczanie się kajaków po jeziorze. Kropki na osiach oznaczają położenia obu kajaków po po godzinie i po dwóch godzinach.

Rvy9b1Tzi61WV

Rys. 2. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych, gdzie na osi poziomej odłożono przemieszczenie na wschód w kilometrach, a na osi pionowej przemieszczenie na północ w kilometrach. Zaznaczono kropkami pozycje dwóch kajaków po godzinie i po dwóch godzinach. Pozycję kajaka płynącego na wschód po jednej godzinie symbolizuje kropka na osi poziomej w punkcie o współrzędnej 4 kilometry. Pozycję kajaka płynącego na północ po jednej godzinie symbolizuje kropka na osi pionowej w punkcie o współrzędnej 3 kilometry. Kropki te połączono odcinkiem i oznaczono jego długość małą literą d z indeksem dolnym 1. Pozycję kajaka płynącego na wschód po dwóch godzinach symbolizuje kropka na osi poziomej w punkcie o współrzędnej 8 kilometrów. Pozycję kajaka płynącego na północ po dwóch godzinach symbolizuje kropka na osi pionowej w punkcie o współrzędnej 6 kilometrów. Kropki te połączono odcinkiem i oznaczono jego długość małą literą d z indeksem dolnym 2. Odcinki oznaczone małą literą d z indeksem dolnym 1 oraz małą literą d z indeksem dolnym 2 są do siebie równoległe.

Jak widać na wykresie, odległość $d_1$ między kajakami po godzinie wynosi

A po dwu godzinach

Można też przedstawić to na wykresie zależności odległości między kajakami od czasu.

R1acY2gtlSCQ3

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych, gdzie na osi poziomej odłożono czas w godzinach oznaczony małą literą t, a na osi pionowej odległość oznaczoną małą literą d w kilometrach. Wykresem jest odcinek zaczynający się w punkcie o współrzędnych: czas 0 sekund, odległość 0 metrów, a kończący w punkcie o współrzędnych: czas 3 godziny, odległość 15 kilometrów.

Prędkość oddalania się kajaków to współczynnik kierunkowy prostej na powyższym wykresie - wynosi on 5 $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

Przykład 3

Po drodze szybkiego ruchu poruszają się, w przeciwnych kierunkach, dwa samochody A i B. Ich równania ruchu mają postać

Równania te opisują liniową zależność położenia samochodów od czasu.

Ich położenia w czasie ruchu przedstawione są na wykresie, gdzie układ współrzędnych związany jest z początkowym położeniem samochodu A.

R1SbZxzu5Ero8

Rys. 4. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych, gdzie na osi poziomej odłożono czas w minutach oznaczony małą literą t, a na osi pionowej położenie w kilometrach oznaczone małą literą x. W układzie narysowano dwa wykresy w postaci odcinków. Niebieski odcinek, oznaczony wielką literą A, zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas 0 minut, położenie 0 kilometrów i skierowany jest ukośnie w prawo i górę. Odcinek przechodzi przez punkt o współrzędnych: czas 40 minut, położenie 60 kilometrów i kończy się u góry układu współrzędnych w punkcie o współrzędnej położenia 175 kilometrów. Czerwony odcinek, oznaczony wielką literą B, zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas 0 minut, położenie 175 kilometrów i skierowany jest ukośnie w prawo i dół, a kończy w punkcie na osi poziomej o współrzędnej czasu około 90 minut. Punkt przecięcia obu odcinków ma współrzędne: czas 50 minut i odległość 75 kilometrów.

Z wykresu odczytujemy, że samochód A porusza się z prędkością $v_{xA} = 1,5\,\text{km/h}$, a samochód B z prędkością o współrzędnej $v_{xB} = -2\,\text{km/h}$. Współrzędne punktu przecięcia prostych na wykresie to czas mijania się samochodów. Wygląda na to, że dzieje się to w $t = 50\,\text{min}$ oraz $x = 75\,\text{km}$.

Możemy potwierdzić ten wynik, wykonując odpowiednie obliczenia. Korzystając z podanych opisów ruchu samochodów, możemy obliczyć czas, dla którego $x_A = x_B$. Porównując prawe strony podanych wzorów, otrzymamy

skąd $(3,5\,\text{km/h})t = 175\,\text{km}$. Wynikiem jest $t = 50\,\text{min}$, zaś wstawienie tej wartości do obu rówań opisujących ruch daje

Odległość między samochodami zmienia się w czasie ruchu. Zależność tej odległości od czasu można także przedstawić na wykresie i wyznaczyć wykonując obliczenia:

Wiemy, że $d = |x_A - x_B|$, zatem

Łamana przedstawiona na Rys. 5. jest wykresem $d(t)$.

R7JI8O2YkIyFJ

Rys. 5. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych, gdzie na osi poziomej odłożono czas w minutach oznaczony małą literą t, a na osi pionowej odległość w kilometrach oznaczoną małą literą d. Wykresem jest linia łamana składająca się z dwóch odcinków. Pierwszy odcinek zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas 0 minut, położenie 175 kilometrów i skierowany jest ukośnie w prawo i dół, a kończy w punkcie na osi poziomej o współrzędnej czasu 50 minut. Drugi odcinek zaczyna się w punkcie końcowym pierwszego odcinka i jest skierowany ukośnie w prawo i w górę, a kończy się w punkcie o współrzędnych: czas 80 minut, położenie 105 kilometrów.

Słowniczek