Warto przeczytać

W tym e‑materiale skupimy się głównie na rozwiązywaniu konkretnych zagadnień dotyczących pracy i mocy. Praca w sensie fizycznym ma dwa znaczenia:

1. Jest to sposób zamiany jednego rodzaju energii w inny (a zatem pewien proces);

2. Jest to wielkość fizyczna, która opisuje powyższy proces, czyli mówi, ile energii zostało zamienione z jednej formy w drugą.

Definicja pracy jako wielkości fizycznej jest następująca:

gdzie F i Δdeltar są wartościami wektorów siły i przemieszczenia, a θtheta – kątem pomiędzy tymi wektorami (Rys. 1.). W przypadku, gdy ruch jest prostoliniowy (a tylko takimi sytuacjami będziemy zajmowali się w tym e‑materiale), wartość wektora przemieszczenia jest równa przebytej drodze Δdeltar = s. Jednostką pracy jest dżul (J).

R1cK6omv1mfus

Rys. 1. Narysowano dwie strzałki, mające wspólny początek, ustawiono je pod kątem ostrym opisanym wielką literą teta. Strzałka dłuższa czerwona jest opisana: delta mała litera r, nad małą literą strzałka. Krótsza strzałka opisana jest wielką literą F, nad literą strzałka.

Praca opisuje, jak jeden rodzaj energii zamienia się w inny, zarówno w sposób jakościowy jak i ilościowy. Wyobraźmy sobie samochód, który przyspiesza pod wpływem stałej siły ciągu silnika F. W tym przypadku silnik wykonuje pewną pracę mechaniczną (którą możemy obliczyć z podanego powyżej wzoru). Jednocześnie możemy mówić o procesie wzrostu energii kinetycznejenergia kinetycznaenergii kinetycznej samochodu pod wpływem wykonanej pracy. Zmiana energii kinetycznejenergia kinetycznaenergii kinetycznej jest równa wykonanej pracy:

Podobne rozumowanie możemy przeprowadzić dla grawitacyjnej energii potencjalnejenergia potencjalna grawitacyjnagrawitacyjnej energii potencjalnej. Rozważmy człowieka podnoszącego ze stałą prędkością kamień (Rys. 2.). W tym przypadku energia kinetyczna kamienia nie ulega zmianie, gdyż nie zmienia się jego prędkość. Zmienia się z kolei wysokość, na której znajduje się kamień. W tym przypadku praca jako wielkość fizyczna będzie równa zmianie energii potencjalnej kamienia:

Procesem przemiany energii będzie tutaj wzrost energii potencjalnej pręta na skutek pracy wykonanej przez człowieka.

RxDNjdUrSufQP

Rys. 2 Schematyczna ilustracja przedstawia przekrój pasa ziemi: widoczny jest podział – zielony pas trawy, pod nim brązowy pas ziemi. Nad trawą narysowano pionowy odcinek zakończony grotami i opisany: wielka litera W równa się (znak równości) małe litery mgh. W połowie wysokości odcinka, po jego lewej stronie pokazano szary kamień z czarnym punktem na środku kamienia. Z punktu wychodzą dwie strzałki pionowe: jedna skierowana w dół opisana: małymi literami mg, nad literą g strzałka oznaczająca siłę grawitacji, druga, również wychodząca z punktu na środku kamienia, strzałka o takiej samej długości skierowana do góry opisana: wielką literą F, nad literą strzałka oznaczająca wektor. Tuż przy pasie trawy umieszczono opis: energia potencjalna zapisana wielką literą E z indeksem dolnym mała litera p równa się (znak równości) zero. Nad opisem, na wysokości górnego końca dwu grotowego odcinka umieszczono opis: energia potencjalna opisana wielką literą E z indeksem dolnym mała litera p równa się (znak równości) małe litery mgh.

Moc określa szybkość wykonywania pracy:

Jednostką mocy jest wat (W).

Więcej informacji dotyczących pracy i mocy znajdziesz w e‑materiałach “Praca mechaniczna i jej jednostka” oraz “Moc i jej jednostka”. Z kolei zaglądając do materiałów „Energia potencjalna grawitacyjna” i „Energia kinetyczna” poszerzysz swoją wiedzę o tych rodzajach energii. Wreszcie, różne zadania dotyczące pracy i mocy znajdziesz w materiale „Praca i moc w zadaniach – przykłady”.

Przeanalizujmy teraz kilka typowych zagadnień związanych z pracą, mocą i energią.

Przykład 1 : praca wykonana przez silnik samochodu

Treść zadania:

Samochód o masie m = 750 kg w czasie t = 15 s dwukrotnie zwiększył swoją prędkość, przejeżdżając w tym czasie s = 300 m. Jaką pracę wykonał silnik samochodu, jeżeli siła ciągu była stała? Zaniedbaj siły oporu.

Analiza zadania:

Siła ciągu wytworzona przez silnik była stała, a zatem samochód poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Wykorzystując dostępne dane o przebytej drodze, czasie i zmianie prędkości będziemy w stanie wyznaczyć przyspieszenie w jego ruchu. Znając przyspieszenie, możliwe będzie określenie wartości siły ciągu, a następnie – wykonanej przez nią pracy.

Rozwiązanie:

Przyspieszenie jest zdefiniowane jako zmiana prędkości w czasie:

Samochód porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową. Właściwy wzór opisujący przebytą przez niego drogę w funkcji czasu ma postać:

Podstawmy wyznaczony wcześniej wzór opisujący przyspieszenie i wyznaczmy wartość prędkości początkowej:

Możemy teraz przekształcić wzór opisujący przyspieszenie tak, by zawierał wielkości dane w zadaniu:

Znając przyspieszenie, wyznaczyć możemy siłę ciągu samochodu:

i wykonaną przez silnik pracę:

Odpowiedź:

Całkowita praca wykonana przez silnik wynosi W = 200 000 J.

Komentarz:

Zadanie można rozwiązać również w inny sposób. Po wyznaczeniu prędkości początkowej samochodu za pomocą wielkości danych w zadaniu, można obliczyć jej wartość oraz wartość prędkości końcowej, a następnie wyrazić pracę wykonaną przez silnik jako różnicę energii kinetycznych przed rozpoczęciem i po zakończeniu przyspieszania. Przeprowadź odpowiednie obliczenia i sprawdź, czy uzyskany wynik jest taki sam.

Przykład 2 : hamowanie pod wpływem siły oporu

Treść zadania:

W dyscyplinie sportowej zwanej curlingiem, na lodowej tafli kładzie się ciężki kamień i wprawia się go w ruch. Następnie zawodnicy szlifują tor przed kamieniem tak, by pod wpływem sił tarcia wartość prędkości kamienia i jej kierunek ulegały zmianom. Ostatecznym celem gry jest takie sterowanie ruchem kamienia, by dotarł on jak najbliżej punktu zwanego domem.

RrmbWtzSpqoBf

Rys. 3. Na zdjęciu pokazano dwie zawodniczki uprawiające curling. Zawodniczki pochylone są nad taflą lodu, oburącz trzymają specjalne szczotki na długich kijach, którymi rozgrzewają lód przez szybkie "szczotkowanie" powierzchni. Pomaga to w przesuwaniu kamienia granitowego – jego obły kształt sunie po powierzchni lodu.

Załóżmy, że kamień został wypuszczony z prędkością v = 6 m/s. Wyznacz jaką maksymalną drogę mógłby on przebyć po chropowatym lodzie o współczynniku tarcia fIndeks dolny 1₁ = 0,1, przy założeniu, że nie zaczyna on wirować, ani zmieniać swojego kierunku. Ile razy wzrośnie droga, gdy lód zostanie wyszlifowany, a współczynnik tarcia kamienia o lód zmaleje do fIndeks dolny 2₂ = 0,025?

Analiza zadania:

Na kamień poruszający się po lodzie działa tylko siła tarcia, zależna od siły nacisku kamienia na podłoże i współczynnika tarcia. Energia kinetyczna kamienia zostaje rozproszona z powodu istnienia tarcia (innymi słowy: energia kinetycznaenergia kinetycznaenergia kinetyczna zostaje zamieniona na energię wewnętrzną stykających się powierzchni przez pracę sił tarciapraca sił tarciapracę sił tarcia).

Rozwiązanie:

Praca sił tarciapraca sił tarciaPraca sił tarcia wynosi:

Zauważmy, że siła tarcia działa w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu kamienia i jej praca jest przez to ujemna. Oznacza to, że siła tarcia zmniejsza energię kamienia. Zmiana energii kinetycznej kamienia jest więc również ujemna i wynosi:

Początkowa energia kinetyczna kamienia zostaje rozproszona z powodu sił tarcia. Na tej podstawie można określić drogę, jaką przebędzie kamień:

Wyznaczmy teraz wartość maksymalnej drogi po chropowatym lodzie:

Aby wyznaczyć, ile razy dalej przesunie się kamień po wypolerowanym lodzie, możemy przeprowadzić bezpośredni rachunek podobny do przedstawionego powyżej i podzielić przez siebie obydwie otrzymane wartości. Zwróćmy jednak uwagę, że ten sam rezultat możemy otrzymać wyznaczając wartość następującego wyrażenia:

Odpowiedź:

Maksymalna odległość jaką może przebyć kamień po chropowatym lodzie wynosi ok. 36,7 m. Gdy lód zostanie wypolerowany, odległość ta wzrośnie czterokrotnie.

Komentarz:

W prawdziwej rozgrywce curlingowej kamień nigdy nie porusza się idealnie prostoliniowo. W rzeczywistości, zadaniem zawodników szczotkujących lód jest taka zmiana współczynników tarcia kamienia o lód, by nie tylko dotarł on na zamierzoną odległość, ale także mógł obracać się lub zmieniać kierunek ruchu. To pozwala np. strącać kamienie przeciwników i odsuwać je od domu.

Przykład 3 : moc pompy strażackiej

Treść zadania:

Do gaszenia pożarów wykorzystywana jest woda pod wysokim ciśnieniem. Oblicz moc pompy dostarczającej wodę do węża, jeśli w ciągu trzech sekund wąż opuszcza V = 225 litrów wody z prędkością v = 8 m/s. Gęstość wody wynosi d = 1000 kg/mIndeks górny 3³.

Analiza zadania:

Wylatująca z węża woda posiada pewną energię kinetyczną. Energia ta jest wynikiem pracy mechanicznej wykonanej przez pompę. Aby wyznaczyć energię kinetyczną wody, należy najpierw ustalić jej masę.

Rozwiązanie:

Masa wody jest równa:

Energię kinetyczną wody można zatem wyrazić wzorem:

Energia kinetyczna jest równa pracy wykonanej przez pompę, a moc pompy można wyznaczyć dzieląc wykonaną pracę przez czas:

Odpowiedź:

Moc pompy wynosi P = 2400 W.

Słowniczek