Przeczytaj
Warto przeczytać
W tym e‑materiale skupimy się głównie na rozwiązywaniu konkretnych zagadnień dotyczących pracy i mocy. Praca w sensie fizycznym ma dwa znaczenia:
Jest to sposób zamiany jednego rodzaju energii w inny (a zatem pewien proces);
Jest to wielkość fizyczna, która opisuje powyższy proces, czyli mówi, ile energii zostało zamienione z jednej formy w drugą.
Definicja pracy jako wielkości fizycznej jest następująca:
gdzie F i deltar są wartościami wektorów siły i przemieszczenia, a theta – kątem pomiędzy tymi wektorami (Rys. 1.). W przypadku, gdy ruch jest prostoliniowy (a tylko takimi sytuacjami będziemy zajmowali się w tym e‑materiale), wartość wektora przemieszczenia jest równa przebytej drodze deltar = s. Jednostką pracy jest dżul (J).
Praca opisuje, jak jeden rodzaj energii zamienia się w inny, zarówno w sposób jakościowy jak i ilościowy. Wyobraźmy sobie samochód, który przyspiesza pod wpływem stałej siły ciągu silnika F. W tym przypadku silnik wykonuje pewną pracę mechaniczną (którą możemy obliczyć z podanego powyżej wzoru). Jednocześnie możemy mówić o procesie wzrostu energii kinetycznejenergii kinetycznej samochodu pod wpływem wykonanej pracy. Zmiana energii kinetycznejenergii kinetycznej jest równa wykonanej pracy:
Podobne rozumowanie możemy przeprowadzić dla grawitacyjnej energii potencjalnejgrawitacyjnej energii potencjalnej. Rozważmy człowieka podnoszącego ze stałą prędkością kamień (Rys. 2.). W tym przypadku energia kinetyczna kamienia nie ulega zmianie, gdyż nie zmienia się jego prędkość. Zmienia się z kolei wysokość, na której znajduje się kamień. W tym przypadku praca jako wielkość fizyczna będzie równa zmianie energii potencjalnej kamienia:
Procesem przemiany energii będzie tutaj wzrost energii potencjalnej pręta na skutek pracy wykonanej przez człowieka.
Moc określa szybkość wykonywania pracy:
Jednostką mocy jest wat (W).
Więcej informacji dotyczących pracy i mocy znajdziesz w e‑materiałach “Praca mechaniczna i jej jednostka” oraz “Moc i jej jednostka”. Z kolei zaglądając do materiałów „Energia potencjalna grawitacyjna” i „Energia kinetyczna” poszerzysz swoją wiedzę o tych rodzajach energii. Wreszcie, różne zadania dotyczące pracy i mocy znajdziesz w materiale „Praca i moc w zadaniach – przykłady”.
Przeanalizujmy teraz kilka typowych zagadnień związanych z pracą, mocą i energią.
Przykład 1 : praca wykonana przez silnik samochodu
Treść zadania:
Samochód o masie m = 750 kg w czasie t = 15 s dwukrotnie zwiększył swoją prędkość, przejeżdżając w tym czasie s = 300 m. Jaką pracę wykonał silnik samochodu, jeżeli siła ciągu była stała? Zaniedbaj siły oporu.
Dane: masa samochodu: m = 750 kg odległość jaką przebył samochód: s = 300 m czas ruchu: t = 15 s dwukrotne zwiększenie prędkości: vIndeks dolny kk = 2vIndeks dolny pp | Szukane: praca wykonana przez silnik samochodu: W = ? |
Analiza zadania:
Siła ciągu wytworzona przez silnik była stała, a zatem samochód poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Wykorzystując dostępne dane o przebytej drodze, czasie i zmianie prędkości będziemy w stanie wyznaczyć przyspieszenie w jego ruchu. Znając przyspieszenie, możliwe będzie określenie wartości siły ciągu, a następnie – wykonanej przez nią pracy.
Rozwiązanie:
Przyspieszenie jest zdefiniowane jako zmiana prędkości w czasie:
Samochód porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową. Właściwy wzór opisujący przebytą przez niego drogę w funkcji czasu ma postać:
Podstawmy wyznaczony wcześniej wzór opisujący przyspieszenie i wyznaczmy wartość prędkości początkowej:
Możemy teraz przekształcić wzór opisujący przyspieszenie tak, by zawierał wielkości dane w zadaniu:
Znając przyspieszenie, wyznaczyć możemy siłę ciągu samochodu:
i wykonaną przez silnik pracę:
Odpowiedź:
Całkowita praca wykonana przez silnik wynosi W = 200 000 J.
Komentarz:
Zadanie można rozwiązać również w inny sposób. Po wyznaczeniu prędkości początkowej samochodu za pomocą wielkości danych w zadaniu, można obliczyć jej wartość oraz wartość prędkości końcowej, a następnie wyrazić pracę wykonaną przez silnik jako różnicę energii kinetycznych przed rozpoczęciem i po zakończeniu przyspieszania. Przeprowadź odpowiednie obliczenia i sprawdź, czy uzyskany wynik jest taki sam.
Przykład 2 : hamowanie pod wpływem siły oporu
Treść zadania:
W dyscyplinie sportowej zwanej curlingiem, na lodowej tafli kładzie się ciężki kamień i wprawia się go w ruch. Następnie zawodnicy szlifują tor przed kamieniem tak, by pod wpływem sił tarcia wartość prędkości kamienia i jej kierunek ulegały zmianom. Ostatecznym celem gry jest takie sterowanie ruchem kamienia, by dotarł on jak najbliżej punktu zwanego domem.
Załóżmy, że kamień został wypuszczony z prędkością v = 6 m/s. Wyznacz jaką maksymalną drogę mógłby on przebyć po chropowatym lodzie o współczynniku tarcia fIndeks dolny 11 = 0,1, przy założeniu, że nie zaczyna on wirować, ani zmieniać swojego kierunku. Ile razy wzrośnie droga, gdy lód zostanie wyszlifowany, a współczynnik tarcia kamienia o lód zmaleje do fIndeks dolny 22 = 0,025?
Dane: początkowa prędkość kamienia: v = 6 m/s współczynniki tarcia: fIndeks dolny 11 = 0,1, fIndeks dolny 22 = 0,025 przyspieszenie ziemskie: g = 9,81 m/sIndeks górny 22 | Szukane: maksymalna odległość przebyta przez kamień: s = ? |
Analiza zadania:
Na kamień poruszający się po lodzie działa tylko siła tarcia, zależna od siły nacisku kamienia na podłoże i współczynnika tarcia. Energia kinetyczna kamienia zostaje rozproszona z powodu istnienia tarcia (innymi słowy: energia kinetycznaenergia kinetyczna zostaje zamieniona na energię wewnętrzną stykających się powierzchni przez pracę sił tarciapracę sił tarcia).
Rozwiązanie:
Praca sił tarciaPraca sił tarcia wynosi:
Zauważmy, że siła tarcia działa w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu kamienia i jej praca jest przez to ujemna. Oznacza to, że siła tarcia zmniejsza energię kamienia. Zmiana energii kinetycznej kamienia jest więc również ujemna i wynosi:
Początkowa energia kinetyczna kamienia zostaje rozproszona z powodu sił tarcia. Na tej podstawie można określić drogę, jaką przebędzie kamień:
Wyznaczmy teraz wartość maksymalnej drogi po chropowatym lodzie:
Aby wyznaczyć, ile razy dalej przesunie się kamień po wypolerowanym lodzie, możemy przeprowadzić bezpośredni rachunek podobny do przedstawionego powyżej i podzielić przez siebie obydwie otrzymane wartości. Zwróćmy jednak uwagę, że ten sam rezultat możemy otrzymać wyznaczając wartość następującego wyrażenia:
Odpowiedź:
Maksymalna odległość jaką może przebyć kamień po chropowatym lodzie wynosi ok. 36,7 m. Gdy lód zostanie wypolerowany, odległość ta wzrośnie czterokrotnie.
Komentarz:
W prawdziwej rozgrywce curlingowej kamień nigdy nie porusza się idealnie prostoliniowo. W rzeczywistości, zadaniem zawodników szczotkujących lód jest taka zmiana współczynników tarcia kamienia o lód, by nie tylko dotarł on na zamierzoną odległość, ale także mógł obracać się lub zmieniać kierunek ruchu. To pozwala np. strącać kamienie przeciwników i odsuwać je od domu.
Przykład 3 : moc pompy strażackiej
Treść zadania:
Do gaszenia pożarów wykorzystywana jest woda pod wysokim ciśnieniem. Oblicz moc pompy dostarczającej wodę do węża, jeśli w ciągu trzech sekund wąż opuszcza V = 225 litrów wody z prędkością v = 8 m/s. Gęstość wody wynosi d = 1000 kg/mIndeks górny 33.
Dane: objętość wody: V = 225 litrów = 225 dmIndeks górny 33 = 0,225 mIndeks górny 33 gęstość wody: d = 1000 kg/mIndeks górny 33 czas: t = 3 s | Szukane: moc pompy: P = ? |
Analiza zadania:
Wylatująca z węża woda posiada pewną energię kinetyczną. Energia ta jest wynikiem pracy mechanicznej wykonanej przez pompę. Aby wyznaczyć energię kinetyczną wody, należy najpierw ustalić jej masę.
Rozwiązanie:
Masa wody jest równa:
Energię kinetyczną wody można zatem wyrazić wzorem:
Energia kinetyczna jest równa pracy wykonanej przez pompę, a moc pompy można wyznaczyć dzieląc wykonaną pracę przez czas:
Odpowiedź:
Moc pompy wynosi P = 2400 W.
Słowniczek
(ang.: kinetic energy) energia związana z poruszającym się ciałem. Jej wartość można obliczyć za pomocą wzoru , gdzie m jest masą ciała, a v - jego prędkością. Określenie „kinetyczna” pochodzi od greckiego kinēma (ruch).
(ang.: gravitational potential energy) energia związana z oddziaływaniem grawitacyjnym dwóch ciał, głównie: Ziemi i danego ciała. W tym przypadku, w pobliżu Ziemi, jej wartość można obliczyć za pomocą wzoru , gdzie h jest wysokością ciała nad Ziemią.
(ang.: work of friction forces) praca wykonana przez siły tarcia. Działają one przeciwnie (i równolegle) do kierunku ruchu, w związku z tym wartość bezwzględna pracy wykonanej przez siły tarcia T na drodze s wynosi . Praca ta jest co do wartości równa ilości energii rozproszonej na skutek działania tarcia.