Przypomnijmy, że proste o równaniach postaciproste o równaniach postaci $y=k·x$proste o równaniach postaci $y=k·x$ przechodzą przez początek układu współrzędnych, czyli punkt o współrzędnych $\left(0;0\right)$. Wiemy też, że współczynnik kierunkowy $k$ takich prostych jest równy tangensowi kąta ich nachylenia do dodatniej półosi $X$.

R1MjDj3c4cvJK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X przedstawiona jest od -4 do dziesięć. Oś pionowa Y przedstawiona jest od -4 do cztery. Narysowano prostą $y=kx$ przechodzącą przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych. Prosta nachylona jest do osi X pod kątem alfa. Zapisano informację: $k=\mathrm{tg}\alpha$.

Przypomnijmy również, że współczynniki kierunkowe prostych równoległychwspółczynnik kierunkowy prostych równoległychwspółczynniki kierunkowe prostych równoległych są takie same. Naszym celem będzie wyznaczenie równania prostej o danym współczynniku kierunkowym $k$ przechodzącej przez punkt o współrzędnych $\left(x_0;y_0\right)$.

Oczywiście będzie ona równoległa do prostej o równaniu $y=k·x$, czyli jej równanie będzie postaci $y=k·x+b$. Wyznaczymy takie $b$, aby punkt o współrzędnych $\left(x_0;y_0\right)$ należał do tej prostej. W tym celu podstawiamy $\left(x_0;y_0\right)$ do równania prostej:

$y_0=k·x_0+b$
$y_0-k·x_0=b$

Wynika stąd, że prosta o współczynniku kierunkowym $k$ przechodząca przez punkt o współrzędnych $\left(x_0;y_0\right)$ ma równanie:
$y=k·x+y_0-k·x_0$
$y-y_0=k·x-k·x_0$
$y-y_0=k·\left(x-x_0\right)$

RqgbewVOuCxYi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -4 do dziesięć oraz z pionową osią od -4 do cztery. Przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych poprowadzono ukośną prostą $y=kx$. Jest ona nachylona do osi X pod kątem alfa. Zapisano również informację, że: $k=\mathrm{tg}\alpha$. Zaznaczono punkt w środku układu współrzędnych, przez który przechodzi prosta. Następnie przesunięto ten punkt wektorem $\left[x_0;y_0\right]$. Nowy punkt ma współrzędne $\left(x_0;y_0\right)$. Przez nowy punkt poprowadzono identyczną prostą równoległą do poprzedniej. Jest ona również nachylona do osi X pod kątem alfa.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że prosta o współczynniku kierunkowym $k$ przechodząca przez punkt o współrzędnych $\left(x_0;y_0\right)$ powstaje z prostej o równaniu $y=k·x$ przez przesunięcie (translację) o wektor $\left[x_0;y_0\right]$.

Słownik