Warto przeczytać

Dyfrakcja na siatce

Najprostsza siatka dyfrakcyjnasiatka dyfrakcyjnasiatka dyfrakcyjna to układ wielu przepuszczających światło szczelin, oddzielonych pasmami, które światła nie przepuszczają (Rys. 1.).

R1TPI1wuhgSiJ

Rys. 1. Rysunek przedstawia jedenaście identycznych, pionowych, czarnych wąskich prostokątów ustawionych obok siebie w poziomym rzędzie. Między prostokątami widoczne są równe, jednakowo wąskie, białe przerwy.

Typowe siatki mają zwykle kilkaset linii na milimetr. Stałą siatki dyfrakcyjnej nazywamy odległość między środkami sąsiednich szczelin. Na przykład: dla siatki, która ma 500 linii na mm, stała siatkistała siatki dyfrakcyjnejstała siatki $d$ jest równa

czyli jest porównywalna z długością fali światła widzialnego. Jeżeli skierować na taki układ wiązkę monochromatycznego (jednobarwnego) światła laserowego, na przykład z typowego wskaźnika, na ekranie zaobserwujemy wąskie plamki świetlne, oddzielone szerokimi ciemnymi obszarami (Rys. 2.).

R1Mx6reSgaO5N

Rys. 2. Rysunek wyobraża czarny ekran, na którym pokazano czerwone świetlne plamki, ustawione obok siebie w poziomie, stanowiące obraz wiązki świetlnej przepuszczonej przez siatkę dyfrakcyjną. Plamek jest pięć, środkowa plamka jest największa, "świeci" od żółtego do czerwonego koloru i ma rozmyte krawędzie. Pozostałe mniejsze plamki są jednolitego koloru czerwonego, ich krawędzie są ostre. Ułożone są z przerwami, największa plamka znajduje się pośrodku między drugą i trzecią małą plamką.

Aby wytłumaczyć takie ich ułożenie, trzeba odpowiedzieć sobie na dwa pytania:

1. Dla jakich kierunków otrzymujemy wzmocnienie światła?

2. Na Rys. 3. mamy przedstawione powstałe obrazy w zależności od liczby szczelin. W przypadku dwóch szczelin obserwuje się obraz o płynnie zmieniającym się natężeniu. Dlaczego w przypadku siatki powstają ostre linie?

RbyDd01DY2ukC

Rys. 3. Na ilustracji znajduje się pięć czarnych, wąskich prostokątów ustawionych poziomo w rzędach jeden nad drugim. Pod nimi znajduje się pozioma oś, na której odłożono kąt odchylenia promienia świetlnego, oznaczony grecką literą alfa. Pośrodku osi zaznaczono punkt zero, na lewo od niego jest punkt opisany jako minus alfa z indeksem dolnym 1, na prawo punkt opisany jako alfa z indeksem dolnym 1. Przy najwyższym prostokącie zapisana jest liczba 2 i znajdują się na nim trzy podłużne, jasne plamy: jedna pośrodku, jej środek znajduje się w punkcie o współrzędnej zero i dwie rozmieszczone symetrycznie po obu stronach. Środki tych plam znajdują się w punktach o współrzędnych minus alfa z indeksem dolnym 1 oraz alfa z indeksem dolnym 1. Plamy mają kształt rozmytych prostokątów: najjaśniejsze są w środku i ciemniejące w kierunku brzegów. Jasne plamy są rozdzielone przez pojedyncze, cienkie ciemne paski. Przy drugim od góry prostokącie zapisana jest liczba 4 i znajdują się na nim trzy jasne plamy, węższe niż na najwyższym prostokącie: jedna pośrodku i dwie rozmieszczone symetrycznie po obu stronach. Środki plam odpowiadają współrzędnym minus alfa z indeksem dolnym 1, zero oraz alfa z indeksem dolnym 1. Plamy mają kształt zbliżony do kwadratów i najjaśniejsze są w środku i ciemniejące w kierunku brzegów. Między nimi widać po trzy cienkie, ciemne paski na szarym tle. Przy trzecim od góry prostokącie zapisana jest liczba 8 i znajdują się na nim trzy jasne plamy, węższe niż na pasku powyżej: jedna pośrodku i dwie rozmieszczone symetrycznie po obu stronach. Środki plam odpowiadają współrzędnym minus alfa z indeksem dolnym 1, zero oraz alfa z indeksem dolnym 1. Plamy mają kształt pionowych prostokątów. Między nimi widać po siedem cienkich, ciemnych pasków na szarym tle. Przy czwartym od góry prostokącie zapisana jest liczba 16 i znajdują się na nim trzy jasne plamy, węższe niż na pasku powyżej: jedna pośrodku i dwie rozmieszczone symetrycznie po obu stronach. Środki plam odpowiadają współrzędnym minus alfa z indeksem dolnym 1, zero oraz alfa z indeksem dolnym 1. Plamy mają kształt wąskich, pionowych pasków o ostrych krawędziach. Między nimi widać po piętnaście cienkich, ciemnych pasków na szarym tle. Przy najniższym prostokącie zapisana jest liczba 32 i znajdują się na nim trzy jasne, ostre, wąskie prążki: jeden pośrodku i dwa rozmieszczone symetrycznie po obu stronach. Środki prążków odpowiadają współrzędnym minus alfa z indeksem dolnym 1, zero oraz alfa z indeksem dolnym 1. Między nimi widać po trzydzieści jeden cienkich ciemnych pasków na szarym tle.

Dyfrakcja na dwóch szczelinach

Jeżeli dyfrakcja fali o długości $\lambda$ zachodzi na dwóch szczelinach odległych o $d$, to

1. maksymalne wzmocnienia zachodzą dla kątów $\alpha$ spełniających warunek ($n$ = 0, 1, 2, ...):

2. wygaszenia zachodzą dla kątów

Wzmocnienia dla siatki dyfrakcyjnej

Na pierwsze pytanie, zadane na początku, odpowiedź jest prosta. Warunek maksymalnego wzmocnienia dla siatki dyfrakcyjnejsiatka dyfrakcyjnasiatki dyfrakcyjnej jest taki sam, jak dla dwóch szczelin. Widać to z Rys. 4. i 5., narysowanych dla ustalenia uwagi dla czterech szczelin. Pierwszy z tych rysunków odpowiada prążkowi zerowemu, czyli $n$ = 0, a drugi prążkowi pierwszego rzędu, $n$ = 1.

R5LyXQgp031HA

Rys. 4. Na rysunku pokazana jest w powiększeniu siatka dyfrakcyjna, ustawiona prostopadle do płaszczyzny rysunku i zawierająca cztery szczeliny. Szczeliny przedstawione są jako krótkie, pionowe odcinki, ustawione jeden pod drugim w równych odległościach od siebie. Szczeliny ponumerowano od dołu liczbami: 1, 2, 3 i 4. Odległość między środkami szczelin numer 1 i 2 oznaczona jest małą literą d. Przez środki wszystkich szczelin przechodzą poziome linie proste zakończone strzałkami skierowanymi w prawo. Na każdej z linii narysowano sinusoidę o początku w środku szczeliny. Wszystkie sinusoidy są w zgodnej fazie.

Re5HlT0Zjq371

Rys. 5. Na rysunku pokazana jest w powiększeniu siatka dyfrakcyjna, ustawiona prostopadle do płaszczyzny rysunku i zawierająca cztery szczeliny. Szczeliny przedstawione są jako krótkie, pionowe odcinki, ustawione jeden pod drugim w równych odległościach od siebie. Szczeliny ponumerowano od dołu liczbami: 1, 2, 3 i 4. Odległość między środkami szczelin numer 3 i 4 oznaczona jest małą literą d. Przez środki wszystkich szczelin przechodzą linie proste zakończone strzałkami i skierowane ukośnie w prawo i w dół. Linie tworzą z poziomem kąt oznaczony grecką literą alfa. Na każdej z linii narysowano sinusoidę o początku w środku szczeliny. Od środka każdej szczeliny poprowadzono niebieskie linie prostopadłe do linii ze strzałkami, skierowane ukośnie w górę i w prawo. Linie te przedstawiają czoło fali. Odległość między najbliższymi liniami niebieskimi opisana jest równaniem: małe d razy sinus alfa równa się lambda. Między każdymi sąsiadującymi niebieskimi liniami mieści się jedna długość fali. Między niebieską linią wychodzącą ze szczeliny numer 4 i linią wychodzącą ze szczeliny numer 2 mieszczą się dwie długości fali. Między niebieską linią wychodzącą ze szczeliny numer 4 i linią wychodzącą ze szczeliny numer 1 mieszczą się trzy długości fali. Wszystkie sinusoidy są w zgodnej fazie.

Jeżeli wzmacniają się fale z dwóch sąsiednich szczelin 1 i 2, to wzmacniać się będą i fale ze szczelin 2 i 3, 3 i 4, itp. Wzmacniają się więc fale ze wszystkich szczelin. Rozpatrzmy trójkąt prostokątny, którego długość przeciwprostokątnej wynosi $d$, a jednej z przyprostokątnych $\lambda$. Widać, że spełniony jest związek

który jest równoważny wzorowi (1) dla $n$ = 1.

Szerokość linii

Odpowiedź na drugie z pytań, postawionych na początku, jest trudniejsza. Szerokość linii uzyskanej za pomocą siatki dyfrakcyjnejsiatka dyfrakcyjnasiatki dyfrakcyjnej zależy od całkowitej liczby szczelin $N$, które biorą udział w dyfrakcji. Przedstawia to Rys. 3. Jest to symulacja komputerowa, oparta o wzory ogólne, których wyprowadzenie jest zbyt trudne, aby je tu przytaczać. W tych obliczeniach użyte zostało przybliżenie $sin\alpha \approx \alpha$, spełnione dla małych kątów $\alpha$.

Najważniejszy wniosek z tych rozważań jest następujący: Jeżeli dyfrakcja zachodzi na układzie $N$ szczelin, pomiędzy maksimami głównymi pojawia się $N$- 1 w przybliżeniu równoodległych miejsc zerowych:

• jedno dla dwóch szczelin,

• trzy dla czterech szczelin,

• siedem dla ośmiu szczelin, ..., itd.

Wynika stąd, że w omówionych przybliżeniach szerokość kątowa (odległość między sąsiednimi minimami) maksimum głównego jest równa (Rys. 3.):

czyli jest odwrotnie proporcjonalna do liczby szczelin. Omówimy dokładniej prosty przykład 4 szczelin.

4 szczeliny

RNEYVLYYHXeiJ

Rys. 6. Na rysunku pokazana jest w powiększeniu siatka dyfrakcyjna, ustawiona prostopadle do płaszczyzny rysunku i zawierająca cztery szczeliny. Szczeliny przedstawione są jako krótkie, pionowe odcinki, ustawione jeden pod drugim w równych odległościach od siebie. Szczeliny ponumerowano od dołu liczbami: 1, 2, 3 i 4. Odległość między środkami szczelin numer 1 i 2 oznaczona jest małą literą d. Przez środki wszystkich szczelin przechodzą czarne linie proste zakończone strzałkami i skierowane ukośnie w prawo i w dół. Linie tworzą z poziomem mały kąt oznaczony grecką literą alfa. Na każdej z linii narysowano sinusoidę o początku w środku szczeliny. Sinusoidy numer 1 i 2 są czerwone, a sinusoidy numer 3 i 4 są zielone. Od środka szczeliny numer 1 poprowadzono niebieską linię prostopadłą do czarnych linii, skierowaną ukośnie w górę i w prawo. Między punktem przecięcia niebieskiej linii z czarną linią numer 4 mieszczą się trzy połówki długości fali. Między punktem przecięcia niebieskiej linii z czarną linią numer 3 mieszczą się dwie połówki długości fali. Między punktem przecięcia niebieskiej linii z czarną linią numer 2 mieści się jedna połówka długości fali. Zielone sinusoidy numer 1 i 2 są w przeciwnej fazie. Również czerwone sinusoidy numer 3 i 4 są w przeciwnej fazie.

R1WKaw3ILKalL

Rys. 7. Na rysunku pokazana jest w powiększeniu siatka dyfrakcyjna, ustawiona prostopadle do płaszczyzny rysunku i zawierająca cztery szczeliny. Szczeliny przedstawione są jako krótkie, pionowe odcinki, ustawione jeden pod drugim w równych odległościach od siebie. Szczeliny ponumerowano od dołu liczbami: 1, 2, 3 i 4. Odległość między środkami szczelin numer 1 i 2 oznaczona jest małą literą d. Przez środki wszystkich szczelin przechodzą czarne linie proste zakończone strzałkami i skierowane ukośnie w prawo i w dół. Linie tworzą z poziomem mały kąt oznaczony grecką literą alfa. Na każdej z linii narysowano sinusoidę o początku w środku szczeliny. Sinusoidy numer 2 i 4 są zielone, a sinusoidy numer 1 i 3 są czerwone. Od środka szczeliny numer 1 poprowadzono niebieską linię prostopadłą do czarnych linii, skierowaną ukośnie w górę i w prawo. Między punktem przecięcia niebieskiej linii z czarną linią numer 4 mieści się trzy czwarte długości fali. Między punktem przecięcia niebieskiej linii z czarną linią numer 3 mieści się jedna połówka długości fali. Między punktem przecięcia niebieskiej linii z czarną linią numer 2 mieści się jedna czwarta długości fali. Zielone sinusoidy numer 2 i 4 są w przeciwnej fazie. Również czerwone sinusoidy numer 1 i 3 są w przeciwnej fazie.

R2via8OU5LdBp

Rys. 8. Na rysunku pokazana jest w powiększeniu siatka dyfrakcyjna, ustawiona prostopadle do płaszczyzny rysunku i zawierająca cztery szczeliny. Szczeliny przedstawione są jako krótkie, pionowe odcinki, ustawione jeden pod drugim w równych odległościach od siebie. Szczeliny ponumerowano od dołu liczbami: 1, 2, 3 i 4. Odległość między środkami szczelin numer 1 i 2 oznaczona jest małą literą d. Przez środki wszystkich szczelin przechodzą czarne linie proste zakończone strzałkami i skierowane ukośnie w prawo i w dół. Linie tworzą z poziomem kąt oznaczony grecką literą alfa, większy niż na poprzednim rysunku. Na każdej z linii narysowano sinusoidę o początku w środku szczeliny. Sinusoidy numer 2 i 4 są zielone, a sinusoidy numer 1 i 3 są czerwone. Od środka szczeliny numer 1 poprowadzono niebieską linię prostopadłą do czarnych linii, skierowaną ukośnie w górę i w prawo. Między punktem przecięcia niebieskiej linii z czarną linią numer 4 mieści się pięć połówek długości fali. Między punktem przecięcia niebieskiej linii z czarną linią numer 3 mieszczą się trzy połówki długości fali. Między punktem przecięcia niebieskiej linii z czarną linią numer 2 mieści się trzy czwarte długości fali. Zielone sinusoidy numer 2 i 4 są w przeciwnej fazie. Również czerwone sinusoidy numer 1 i 3 są w przeciwnej fazie.

Dla czterech szczelin mamy dwie możliwości:

a) Wygaszają się fale z dwóch sąsiednich szczelin o numerach 1 i 2 (Rys. 6., czerwone sinusoidy) . Wtedy też wygaszą się dwie fale ze szczelin 3 i 4 (zielone sinusoidy). Będzie obowiązywał warunek wygaszenia (2) – jak dla dwóch szczelin:

Czyli dla kolejnych wygaszeń: $sin\alpha =\frac{1}{2}\frac{\lambda }{d}$ (Rys. 6.), $sin\alpha =\frac{3}{2}\frac{\lambda }{d}$, $sin\alpha =\frac{5}{2}\frac{\lambda }{d}$, ... , itp.

b) Wygaszają się fale ze szczelin 1 i 3, odległych od siebie o $d\text{'}=2d$ (Rys. 7., czerwone sinusoidy). Wtedy wygaszą się też fale ze szczelin 2 i 4 (zielone sinusoidy). Dostaniemy wtedy warunki wygaszenia (wzór (2) z zamianą $d$ na $d$’)

Czyli dla kolejnych wygaszeń $sin\alpha =\frac{1}{4}\frac{\lambda }{d}$ (Rys. 7.), $sin\alpha =\frac{3}{4}\frac{\lambda }{d}$ (Rys. 8.), $sin\alpha =\frac{5}{4}\frac{\lambda }{d}$, ...  itp.

Uporządkujmy te wyniki. Wygaszenia zachodzą dla współczynników przed $\frac{\lambda }{d}$ równych

Pomiędzy maksimami głównymi dla $n$ = 0 i $n$ = 1 pojawiły się 3 wygaszenia. Dokładnie tyle wygaszeń widzimy na Rys. 3. dla czterech szczelin.

Wyznaczanie długości fali promieniowania elektromagnetycznego

Za pomocą siatki dyfrakcyjnejsiatka dyfrakcyjnasiatki dyfrakcyjnej możemy wyznaczyć długość fali interesującego nas światła widzialnego. Wynika to wprost ze wzoru (1), przekształconego do postaci

Trzeba tylko znać stałą siatkistała siatki dyfrakcyjnejstałą siatki $d$ i zmierzyć kąt ${\alpha }_n$. Metodę tę można zastosować do podczerwieni i nadfioletu, a także – z pewną modyfikacją – do promieni Roentgena. Trzeba tylko użyć odpowiednich detektorów promieniowania zamiast ludzkiego oka.

Słowniczek