Przeczytaj
Warto przeczytać
Przypomnijmy na wstępie bardzo ważne w mechanice pojęcie pędu. Pęd nazywany jest „ilością ruchu”. Definiuje się go jako iloczyn masy ciała i prędkości, z jaką się ono porusza , czyli . Jeśli dwa ciała poruszają się z tą samą prędkością, większy pęd ma to, które ma większą masę. Jeśli dwa ciała mają taką samą masę, większy pęd ma to, które porusza się szybciej. Im szybciej porusza się ciało i im większą ma masę, tym większy ma pęd. Aby zmienić pęd ciała, należy przyłożyć do niego siłę, co przestawia poniższe sformułowanie drugiej zasady dynamiki Newtona:
gdzie – to siła wypadkowa przyłożona do ciała, – zmiana pędu tego ciała w czasie .
Pęd jest wielkością stosowaną w opisie ruchu postępowego. W opisie ruchu obrotowego stosujemy pojęcie momentu pędu. Dla punktu materialnego moment pędu jest to iloczyn wektorowy wektora odległości punktu od osi obrotu i wektora pędu tego punktu:
Wartość tego iloczynu wektorowego obliczamy zgodnie z definicją jako:
Jeśli założymy dla uproszczenia, że kąt pomiędzy wektorami oraz jest kątem prostym, to wartość czynnika wyniesie: . Wyrażenie uprości się do . Pamiętajmy jednak, że zgodnie z zasadami mnożenia wektorowego, kierunek wektora momentu pędu jest prostopadły zarówno do wektora , jak i wektora . Znaczy to, że jest on prostopadły to płaszczyzny, na której leżą te wektory, jak widać na Rys. 1.:
Układ widoczny na Rys. 1. może wydawać się abstrakcyjny – kulka o masie , poruszająca się z prędkością liniową po okręgu o promieniu . Jednakże pomyślmy teraz, że nasza kulka to piłka tenisowa, przywiązana sznurkiem do wbitego w ziemię palika, mocno uderzona rakietą – taki układ jak najbardziej da się łatwo zrealizować. Piłka ma masę , a poprzez uderzenie (czyli przyłożenie siły w krótkim czasie ) przekazano jej pęd . Ponieważ jednak piłka porusza się po okręgu, ma również moment pędu . Zwróćmy też uwagę, że uderzenie piłki w trakcie normalnej gry oznacza przyłożenie do niej siły, co powoduje zmianę jej pędu. W przypadku piłki na sznurku uderzenie jej powoduje powstanie momentu siły , który powoduje zmianę momentu pędu.
A co, jeśli nie byłaby to mała piłka – którą możemy potraktować jako punkt materialny – ale duży obiekt, bryła sztywna, o momencie bezwładnościmomencie bezwładności ? Wtedy moment pędu takiej bryły obliczymy, sumując momenty pędów wszystkich jej elementów. Dzielimy bryłę na małe fragmenty, każdy z nich ma pęd , oraz wartość momentu pędu względem osi obrotu (kąt między promieniami i pędami jest prosty i sin 90Indeks górny oo = 1). Przeprowadźmy sumowanie:
Ponieważ wektor momentu pędu ma ten sam kierunek i zwrot co wektor prędkości kątowej bryły , ostatnie równanie może być zapisane w postaci wektorowej:
Otrzymaliśmy zatem zależność stwierdzającą, że moment pędu bryły sztywnej będziemy mogli obliczyć jako iloczyn jej momentu bezwładności oraz prędkości kątowej, z jaką się ta bryła obraca. Widzimy więc następującą analogię między ruchem postępowym i obrotowym:
Przyjrzyjmy się przykładowi liczbowemu – masa typowej piłki tenisowej to około 60 g, a jej średnica to 6,5 cm. Przyjmijmy, że sznurek, na którym jest przywiązana ma 1 metr długości. Oznacza to, że możemy potraktować ją jako punkt materialny, ignorując jej rozmiar. Przyjmijmy, że piłka została uderzona z siłą, która nadała jej prędkość 72 km/h. Jaka jest wartość momentu pędu tej piłki względem osi, do której przymocowany jest sznurek (patrz: Rys. 1.)?
Zwróćmy tu uwagę, że gdyby nadać tę samą prędkość piłce znajdującej się w większej odległości, np. 2 m, moment pędu zwiększyłby się:
Gdybyśmy z kolei zmniejszyli o połowę długość sznurka, ale uderzyli nadając dwa razy większą prędkość piłce niż w pierwszym z przykładów, to
Wracając do naszego przykładu z początku materiału – dlaczego dźwig stosowany do wyburzania budynków ma zawieszoną na łańcuchu kulękulę o tak dużej masie? Zwróćmy uwagę, że przesunięcie ramienia dźwigu sprawia, że siła grawitacji i naprężenie łańcucha powodują ruch kuli, jak w wahadle. Kula porusza się ruchem obrotowym po wycinku koła o promieniu o długości łańcucha, na którym jest zawieszona, zyskując moment pędu. W momencie uderzenia kula przekazuje swój moment pędu ścianie, burząc ją. Im większa była długość łańcucha, tym większa prędkość, a zatem tym większy pęd kuli w momencie uderzenia.
Słowniczek
(ang.: wrecking ball) - masywna kula zawieszona na łańcuchu dźwigu, która uderzając w ściany konstrukcji doprowadza do jej wyburzenia.
(ang.: moment of inertia) - miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu.