Przeczytaj
Wyznaczymy najpierw znaki funkcji trygonometrycznych kąta ostrego . Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym (czyli wierzchołek kąta znajduje się w punkcie , zaś jedno ramię (pierwsze ramię) pokrywa się z dodatnią półosią . Ponieważ alfa jest kątem ostrym, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od . Niech będzie to punkt o współrzędnych . Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez . Zatem , , .
A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:
Poczynione obserwacje możemy zestawić w tabeli zwanej zwyczajowo “siatką znakówsiatką znaków funkcji trygonometrycznej”.
Miara stopniowa | |
---|---|
Miara łukowa | |
Teraz rozważymy kąt rozwarty . Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowympołożeniu standardowym.
Ponieważ jest kątem rozwartym, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od . Niech będzie to punkt o współrzędnych . Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez . Widzimy, że , ,
.
A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:
Zatem druga kolumna “siatki znaków” wygląda następująco:
Miara stopniowa | |
---|---|
Miara łukowa | |
W przypadku, gdy postępujemy analogicznie. Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym. Ponieważ jest kątem o rozwartości z przedziału , zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od . Niech będzie to punkt o współrzędnych . Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez . Widzimy, że , , .
A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:
Możemy zatem wypełnić trzecią kolumnę tabeli:
Miara stopniowa | |
---|---|
Miara łukowa | |
Pozostaje już tylko przypadek, gdy
Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym. Ponieważ jest kątem o rozwartości z przedziału , zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od . Niech będzie to punkt o współrzędnych . Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez . Widzimy, że , , .
A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:
Miara stopniowa | |
---|---|
Miara łukowa | |
Ostatecznie tabela znaków funkcji trygonometrycznych wygląda następująco:
Miara stopniowa | ||||
---|---|---|---|---|
Miara łukowa | ||||
Często przy okazji tego tematu przytacza się krótką rymowaną mnemotechnikę, która ma pomóc zapamiętać znaki funkcji trygonometrycznych w zależności od ćwiartki, w której leży drugie ramię kąta:
W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie,
W drugiej – tylko sinus,
W trzeciej – tangens i cotangens,
A w czwartej – cosinus.
Słownik
zwyczajowa nazwa tabeli, w której zestawiono znaki funkcji trygonometrycznych w zależności od rozwartości kąta będącego argumentem danej funkcji
umieszczenie kąta w układzie współrzędnych w taki sposób, aby jego wierzchołek znajdował się w punkcie , zaś jedno z ramion (pierwsze ramię) pokrywało się z dodatnią półosią