Wyznaczymy najpierw znaki funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α. Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym (czyli wierzchołek kąta znajduje się w punkcie 0,0, zaś jedno ramię (pierwsze ramię) pokrywa się z dodatnią półosią Ox. Ponieważ alfa jest kątem ostrym, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w I ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od 0,0. Niech będzie to punkt A o współrzędnych x0,y0. Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez r. Zatem x0>0, y0>0, r>0.

A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:

R11dXgwIJHBJ7

sinα=y0r=++>0
cosα=x0r=++>0
tgα=y0x0=++>0

Poczynione obserwacje możemy zestawić w tabeli zwanej zwyczajowo “siatką znakówsiatka znakówsiatką znaków funkcji trygonometrycznej”.

I ćwiartka:

Miara stopniowa

α0°,90°

Miara łukowa

α0,π2

sinα

+

cosα

+

tgα

+

Teraz rozważymy kąt rozwarty α. Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowympołożenie standardowe kątapołożeniu standardowym.

Ponieważ α jest kątem rozwartym, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w II ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od 0,0. Niech będzie to punkt A o współrzędnych x0,y0. Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez r. Widzimy, że x0<0, y0>0,
r>0.

A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:

R1X2DEhQSYj6Y

sinα=y0r=++>0
cosα=x0r=-+<0
tgα=y0x0=+-<0

Zatem druga kolumna “siatki znaków” wygląda następująco:

II ćwiartka:

Miara stopniowa

α90°,180°

Miara łukowa

απ2,π

sinα

+

cosα

-

tgα

-

W przypadku, gdy α180°,270° postępujemy analogicznie. Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym. Ponieważ α jest kątem o rozwartości z przedziału 180°,270°, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w III ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od 0,0. Niech będzie to punkt A o współrzędnych x0,y0. Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez r. Widzimy, że x0<0, y0<0, r>0.

A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:

R1KU7scFOm5px

sinα=y0t=-+<0
cosα=x0r=-+<0
tgα=y0x0=-->0

Możemy zatem wypełnić trzecią kolumnę tabeli:

III ćwiartka:

Miara stopniowa

α180°,270°

Miara łukowa

απ,3π2

sinα

-

cosα

-

tgα

+

Pozostaje już tylko przypadek, gdy α270°,360°

Umieszczamy dany kąt w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym. Ponieważ α jest kątem o rozwartości z przedziału 270°,360°, zatem drugie ramię tego kąta znajduje się w IV ćwiartce układu współrzędnych. Wybieramy na drugim ramieniu dowolny punkt, ale różny od 0,0. Niech będzie to punkt A o współrzędnych x0,y0. Jego odległość od początku układu współrzędnych oznaczmy przez r. Widzimy, że x0>0, y0<0,  r>0.

A zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wynika:

Rd9TbkaHDGgIZ

sinα=y0t=-+<0
cosα=x0r=++>0
tgα=y0x0=-+<0

IV ćwiartka:

Miara stopniowa

α270°,360°

Miara łukowa

α3π2,2π

sinα

-

cosα

+

tgα

-

Ostatecznie tabela znaków funkcji trygonometrycznych wygląda następująco:

1

Miara stopniowa

α0°,90°

α90°,180°

α180°,270°

α270°,360°

Miara łukowa

α0,π2

απ2,π

απ,3π2

α3π2,2π

sinα

+

+

-

-

cosα

+

-

-

+

tgα

+

-

+

-

Często przy okazji tego tematu przytacza się krótką rymowaną mnemotechnikę, która ma pomóc zapamiętać znaki funkcji trygonometrycznych w zależności od ćwiartki, w której leży drugie ramię kąta:

W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie,
W drugiej – tylko sinus,
W trzeciej – tangenscotangens,
A w czwartej – cosinus.

RO5a27cE6ceYt
Przykłady obliczeń kątów sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Słownik

siatka znaków
siatka znaków

zwyczajowa nazwa tabeli, w której zestawiono znaki funkcji trygonometrycznych w zależności od rozwartości kąta będącego argumentem danej funkcji

położenie standardowe kąta
położenie standardowe kąta

umieszczenie kąta w układzie współrzędnych w taki sposób, aby jego wierzchołek znajdował się w punkcie 0,0, zaś jedno z ramion (pierwsze ramię) pokrywało się z dodatnią półosią OX