Warto przeczytać

Drgania harmoniczne rozpoczynają się, gdy układ zostanie wyprowadzony z położenia równowagi i pojawia się siła wprost proporcjonalna do wychylenia, która próbuje ten stan równowagi przywrócić. Przykładem może być ciało przyczepione do sprężyny, która zostanie rozciągnięta i puszczona swobodnie. Ciało to wykonuje drgania z częstotliwościąCzęstotliwośćczęstotliwością charakterystyczną dla tego ciała i tej sprężyny. Częstotliwość drgań swobodnych, czyli takich, w których na układ nie działają siły zewnętrzne, nazywamy częstotliwością drgań własnych.

Oczywiście w realnym świecie zawsze występują siły oporu, które w końcu powodują wygaszenie drgań. Jeśli zależy nam na podtrzymaniu drgań, musimy na układ działać periodycznąRuch periodycznyperiodyczną siłą wymuszającą. Znanym wszystkim z własnego doświadczenia przypadkiem wymuszania drgań jest rozbujanie huśtawki (Rys. 1.). Aby to się udało, należy popychać huśtawkę z dokładnie określoną częstotliwością. Działanie siły musi być zgodne ze swobodnym ruchem huśtawki. Inaczej mówiąc, częstotliwość siły wymuszającej musi być zbliżona do częstotliwości drgań własnych. Jeśli będziemy popychali huśtawkę w innym rytmie, ruch huśtawki będzie bezładny a wychylenia z położenia równowagi niewielkie.

RnRApl4DrplH0

Rys. 1. Rysunek przedstawia dziewczynkę bujającą się na huśtawce na placu zabaw.

Zjawisko polegające na osiągnięciu przez układ drgający z wymuszeniem maksymalnej amplitudy nazywamy rezonansem. Częstotliwość siły wymuszającej, przy której występuje rezonans, nazywamy częstotliwością rezonansową. Częstotliwość rezonansowa zależy od wielkości sił oporu w układzie. Przy braku tłumienia częstotliwość rezonansowa równa jest częstotliwości własnej. Gdy występuje znaczne tłumienie, częstotliwość rezonansowa jest mniejsza od częstotliwości własnej układu i maleje wraz ze wzrostem sił oporu.

Czy dopasowanie częstotliwości siły wymuszającej do częstotliwości rezonansowej układu musi być idealne? Niekoniecznie. Drobne niedopasowania tych częstotliwości nie uniemożliwiają rezonansu. Jednak zasada ogólna jest taka, że im bliższe sobie są te częstotliwości, tym skuteczniej przekazywana jest energia do drgającego układu i tym większą amplitudę osiągnie układ.

Na Rys. 2. pokazano trzy wahadła zawieszone na lince. Częstotliwość drgań wahadła zależy od jego długości – im mniejsza długość, tym większa częstotliwość wahań i mniejszy okres.

Wahadła A i C mają równe długości, a więc częstotliwości ich drgań własnych też są równe. Wahadło B jest wyraźnie dłuższe, a częstotliwość jego drgań własnych jest mniejsza niż pozostałych wahadeł.

RwFTlihcXXeVf

Rys. 2. Rysunek przedstawia trzy niebieskie wahadła zawieszone obok siebie na niebieskiej linie zamocowanej na dwóch końcach w czarnej ramie. Wahadła są oznaczone zaczynając kolejno od lewej dużymi, czarnymi literami A, B i C. Wahadła A i C są tej samej długości, a wahadło B jest od nich dłuższe.

Co się stanie, gdy wychylimy wahadło C z położenia równowagi? Oczywiście zacznie ono drgać, pociągając przy tym za linkę, na której wisi. Kierunek i częstotliwość siły wywieranej na linkę jest zgodna z kierunkiem i częstotliwością drgań wahadła C. Siła ta przez linkę przekazywana jest pozostałym wahadłom A i B. Częstotliwość drgań własnych dłuższego wahadła B znacznie różni się od częstotliwości siły wywieranej na niego przez linkę i to wahadło nie rozpocznie drgań. Natomiast wahadło A, którego częstotliwość drgań własnych jest równa częstotliwości siły wymuszającej, rozpocznie drgania, osiągając maksymalną amplitudę. Gdy Wahadło A będzie już drgało z największą amplitudą, wahadło C zatrzyma się. Wynika to z zasady zachowania energii – wahadło A uzyskało energię drgań kosztem energii wahadła C. Teraz sytuacja odwraca się, wahadło A przekazuje energię drgań wahadłu C i ono znów zaczyna drgać, a wahadło A zatrzymuje się. Zjawisko powtarza się przez pewien czas, aż drgania ustaną na skutek rozproszenia energii w otoczeniu.

Widzimy z tego przykładu, że układy o jednakowych częstotliwościach drgań własnych mogą przekazywać sobie drgania. Bywa to przyczyną niszczącego działania rezonansu, na przykład gdy obudowa silnika ma częstotliwość drgań własnych równą częstotliwości z jaką pracuje silnik. Dochodzi wtedy do niekontrolowanego wzrostu amplitudy drgań obudowy i konstrukcja może nawet ulec zniszczeniu, pomimo niewielkiej mocy silnika. Częściej mamy do czynienia z uciążliwymi drganiami, stukami i hałaśliwą pracą urządzeń, w których pojawia się niechciany rezonans, powodując szybsze zużycie urządzenia. Konstruktorzy muszą pamiętać o zjawisku rezonansu, aby uniknąć takich sytuacji.

Zjawisko rezonansu może doprowadzić do zawalenia się budynku nawet podczas słabego trzęsienia ziemi, gdy częstotliwość własna drgań budynku jest zgodna z częstotliwością drgań gruntu.

W 1940 roku w Stanach Zjednoczonych w miejscowości Tacoma (stan Waszyngton) zawalił się w katastrofie most o długości ponad 1800 metrów, przy wietrze o prędkości zaledwie 64 km/h. Pomimo, że wiatr o tej prędkości potrafi zaledwie obłamywać gałązki z drzew, most wpadł w potężne wibracje, które doprowadziły do jego zawalenia. Wibracje o tej skali spowodowane były błędem w konstrukcji mostu. Kluczowe elementy konstrukcji, tzw. przęsła i pylony, miały bardzo zbliżone częstotliwości rezonansowe. W wyniku działania wiatru most wpadł w rezonans. Działanie wiatru miało podobny efekt, jakby ruch mostu był wymuszany ze wszystkimi możliwymi częstotliwościami. Taki sygnał, który zawiera w sobie wszystkie możliwe częstotliwości, w fizyce nazywamy szumem.

Każdy układ drgający posiada jakąś swoją wartość częstotliwości rezonansowej, czyli takiej częstotliwości, na którą odpowiada największą amplitudą. Jeśli któraś z częstotliwości sił wymuszających jest równa lub bliska częstotliwości rezonansowej, układ na nią odpowie i jego amplituda wzrośnie. Układ rezonansowy jest swego rodzaju filtrem, który odpowiada tylko na wybraną częstotliwość pobudzenia zgodną z częstotliwością rezonansową.

Na podobnej zasadzie działa wiele instrumentów muzycznych. Dmuchając w stroik oboju lub szarpiąc strunę gitary (Rys. 3.), nie wymuszamy drgań z konkretną częstotliwością, lecz ze wszystkimi możliwymi. Częstotliwości, które nie są częstotliwością rezonansową, bardzo szybko są osłabiane i zanikają, co sprawia, że drgania zachodzą z częstotliwością rezonansową i słyszany jest tylko jeden ton muzyczny. Inaczej mówiąc, stroik i struna „wybierają” sobie tą częstotliwość, która jest najbliżej ich częstotliwości rezonansowej i właśnie z taką drgają.

RvTlkcY8wfBVi

Rys. 3. Rysunek przedstawia muzyka grającego na gitarze basowej.

Działanie instrumentów muzycznych to przykład korzystnego dla nas zjawiska rezonansu. Innym przykładem wykorzystania rezonansu jest zegar wahadłowy (Rys. 4.). Ruch wahadła zegara odbywa się z częstotliwością bliską częstotliwości rezonansowej. Urządzenie napędowe zegara podtrzymuje wahania wahadła, działając na nie siłą z częstotliwością równą częstotliwości rezonansowej.

RkGc7IgwaWgBD

Rys. 4. Rysunek przestawia stary, drewniany zegar wahadłowy o owalnym kształcie, z mosiężnym wahadłem powieszony na ścianie.

Słowniczek