W prostokątnym układzie współrzędnych rozważmy wektor $\overrightarrow{AB}$, gdzie $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$.

Ry0vv4fekHUZl

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y bez zaznaczonych współrzędnych. Na płaszczyźnie zaznaczonych jest pięć wektorów. Wektor A prim B prim położony jest na osi X. Jego początek wyznacza punkt A prim należący do ujemnej półosi OX o współrzędnych X A, zero. Jego koniec wyznacza punkt B prim należący do dodatniej półosi OX o współrzędnych X B zero. Nad tym wektorem znajduje się wektor AC, który ma tę samą długość i ten sam zwrot. Jego początek znajduje się w punkcie A o współrzędnych X A Y A (druga ćwiartka), natomiast jego koniec jest w punkcie C o współrzędnych X B Y A (pierwsza ćwiartka). Wektor AC przecina oś Y w punkcie A prim prim równym zero Y A. Na końcu wektora AC zaczepiony jest pionowy wektor CB, którego koniec znajduje się w punkcie X B Y B (pierwsza ćwiartka). Na rysunku widnieje także suma wektorów AC oraz CB, czyli ukośny wektor AB poprowadzony z początku wektora AC do końca wektora CB. Te trzy wektory tworzą trójkąt prostokątny. Na rysunku umieszczony jest również wektor A prim prim B prim prim, który jest równy wektorowi CB co do długości oraz zwrotu. Wektor A prim prim B prim prim leży na osi Y. Jego początek znajduje się w punkcie A prim prim o współrzędnych zero Y A, a koniec w punkcie B prim prim o współrzędnych zero Y B.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku powyżej, możemy zauważyć, że $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$, gdzie wektor $\overrightarrow{AC}$ jest równoległy do osi $X$, zaś wektor $\overrightarrow{CB}$ jest równoległy do osi $Y$. Zrzutujmy teraz prostopadle punkty $A$ i $B$ na osie układu. Otrzymamy wówczas punkty $A\text{'}=\left(x_A,0\right), B\text{'}=\left(x_B,0\right), A\text{'}\text{'}=\left(0,y_A\right), B\text{'}\text{'}=\left(0,y_B\right)$. Ponieważ $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}$ i $\overrightarrow{A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}}$ są wektorami na osiach, więc ich współrzędne są równe $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\left[x_B-x_A\right]$ i $\overrightarrow{A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}}=\left[y_B-y_A\right]$. Możemy ponadto zauważyć, że $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}}$, czyli $\overrightarrow{AC}=\left[x_B-x_A\right]$, $\overrightarrow{CB}=\left[y_B-y_A\right]$. Liczby te przyporządkowujemy wektorowi $\overrightarrow{AC}$ jako jego współrzędne w układzie współrzędnych.

Zauważmy jeszcze, że jeśli początek danego wektora znajduje się w początku układu współrzędnych, to współrzędne końca tego wektora są równe współrzędnym wektora.

R15jXSVF4tBwQ

Na ilustracji przedstawiony jest fragment układu współrzędnych w postaci pierwszej ćwiartki z poziomą osią X oraz pionową osią Y bez zaznaczonych współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowany jest wektor OP poprowadzony z początku układu współrzędnych do punktu P o współrzędnych A B. Liniami przerywanymi narysowane są także rzuty punktu na osie.

Ponadto współrzędne wektora zerowego są zerami: $\overrightarrow{0}=\left[0, 0\right]$.

Poczyńmy jeszcze tylko jedno spostrzeżenie: współrzędne wektorawspółrzędne wektora w układzie współrzędnychwspółrzędne wektora to “instrukcja”, jak się poruszać, żeby dostać się z początku tego wektora do jego końca. Pierwsza współrzędna określa przemieszczenie w poziomie (jeśli jest dodatnia, to ruch wykonujemy w prawo, jeśli ujemna - w lewo), druga - w pionie (jeśli jest dodatnia, to ruch wykonujemy w górę, jeśli ujemna - w dół). Na przykład współrzędne $\overrightarrow{HI}=\left[-3,2\right]$ oznaczają, że aby przemieścić się z punktu $H$ do punktu $I$, wystarczy poruszyć się o $3$ jednostki w lewo i $2$ jednostki do góry.

RfMOZWLE6u2RV

Na ilustracji widnieje siatka, na której narysowane są trzy wektory, które razem budują trójkąt prostokątny. Na rysunku przyjęte jest, że dwie kratki siatki to jeden. Z punktu H umieszczonego po prawej stronie poprowadzony jest w lewo poziomy wektor podpisany jako minus trzy. Z jego końca do góry poprowadzony jest pionowy wektor do punktu I podpisany jako dwa. Z punktu H jest poprowadzony również wektor HI, którego koniec znajduje się w punkcie I.

Słownik