Warto przeczytać

Rozpatrując ruch satelity dookoła planety lub ruch planety dookoła Słońca możemy zauważyć, że jeśli orbita, po której krążą ma kształt okręgu, to wartość siły grawitacyjnejSiła grawitacyjnasiły grawitacyjnej działającej pomiędzy ciałami nie ulega zmianie. Ciała poruszające się pod wpływem siły grawitacyjnej nie wymagają żadnego zasilania. Jeśli jednak chcielibyśmy zwiększyć promień orbity, po której ciało się porusza, wykonanie pracy byłoby koniecznością. Praca w sensie fizycznym definiowana jest jako iloczyn działającej siły F , przesunięcia Δ r oraz cosinusa kąta pomiędzy nimi:

W=FΔrcos(F,Δr)

Dla pola grawitacyjnegoPole grawitacyjnepola grawitacyjnego nie możemy jednak jej wyznaczyć z powyższego wzoru, bo dotyczy on stałej wartości działającej siły, co nie jest tutaj spełnione. Jak zatem wyznaczyć pracę wykonaną przez siły zewnętrzne (w przypadku, gdy mamy do czynienia z brakiem oporów ruchu i zmian energii kinetycznej)? Przy przesuwaniu ciała o masie m z punktu odległego od masy centralnej (będącej źródłem pola grawitacyjnego) M r 1 do punktu znajdującego się w odległości r 2 możemy zapisać, że praca W równa jest zmianie energii potencjalnej przenoszonego ciała:

W = Δ E p
W = E p 2 E p 1 = G m M r 2 ( G m M r 1 ) = G m M ( 1 r 1 1 r 2 )

Z powyższego widać, że wartość pracy nie zależy od długości toru ruchu, a jedynie od położenia punktu początkowego i końcowego. Jeśli więc wykonujemy pracę po torze zamkniętym – czyli wracamy do punktu, z którego rozpoczęliśmy ruch – praca ma wartość zerową (Rys. 1.).

R1Ji85pPzDOK3
Rys. 1. Praca w polu zachowawczym po torze zamkniętym ma wartość zero

Powróćmy do przypadku satelity krążącego dookoła planety lub planety okrążającej Słońce. Czy energia potencjalna jest jedyną energią, jaką ciało posiada? Oczywiście, że nie. Krąży ono po orbicie, zatem ma pewną, określoną prędkość. Wiemy, że z prędkością związana jest energia kinetyczna. Energia całkowita planety lub satelity jest więc sumą energii kinetycznej i potencjalnej:

E = E p + E k
E = G m M r + m v 2 2
RIvs1jPcYp3pY
Rys. 2. Wykres zależności energii potencjalnej grawitacji od odległości

Jak widać na wykresie zależności energii potencjalnej od odległości EIndeks dolny p(r) (Rys. 2.): gdy odległość rośnie nieograniczenie, energia potencjalna przyjmuje wartość dowolnie bliską zeru, gdyż siła grawitacji dąży do zera. Natomiast, jeśli odległość między ciałami się zwiększa, to zmiana energii potencjalnej grawitacji jest większa od zera, i na odwrót.

Jeżeli założymy, że na ciało nie działają siły zewnętrzne, oprócz siły grawitacji centrum przyciągania, czyli przyjmiemy, że układ jest odosobniony, możemy skorzystać z zasady zachowana energii mechanicznej. Mówi ona, że suma ta jest wartością stałą, zatem wzrost wartości energii potencjalnej grawitacjiEnergia potencjalna grawitacjienergii potencjalnej grawitacji odbywa się kosztem energii kinetycznej i na odwrót – w momencie, gdy energia kinetyczna wzrasta o określoną wartość, energia potencjalna maleje dokładnie o taką samą wartość. Jeśli mamy więc do czynienia z orbitą kołową, wartość prędkości się nie zmienia. Gdy orbita ma kształt elipsy (jak stwierdził Kepler), w momencie, gdy ciało znajduje się w peryheliumPeryheliumperyhelium (czyli punkcie na orbicie, w którym odległość pomiędzy planetą a Słońcem jest najmniejsza) – ciało porusza się z większą wartością prędkości niż w apheliumApheliumaphelium (czyli punkcie na orbicie, w którym odległość między planetą a Słońcem jest największa).

Aby lepiej to zrozumieć, przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: przenieśmy ciało o masie m z orbity kołowej o promieniu r równym dwukrotności promienia Ziemi R Z na orbitę o promieniu r  równą 3 R Z (Rys. 3.).

RvMg5WQs6dgqC
Rys. 3. Ilustracja do przykładu, w którym ciało o masie m zostaje przeniesione z orbity o promieniu r=2RZ na orbitę o promieniu r=3RZ

Na początku należy zauważyć, że ciało poruszając się po orbicie ma energię całkowitą równą sumie energii kinetycznej i potencjalnej:

E = E k + E p = m v 2 2 G m M r

Skąd jednak wziąć wartość prędkości v ? Można zauważyć, że siła grawitacyjna pełni tutaj rolę siły dośrodkowej, zatem:

F d = F g
m v 2 r = G m M r 2

Z tego wynika, że:

v 2 = G M r ,

czyli energia całkowita na orbicie r ma wartość:

E 1 = G m M 2 r G m M r = G m M 2 r = G m M 4 R Z

zaś na orbicie r :

E 2 = G m M 2 r G m M r = G m M 2 r = G m M 6 R Z

Praca potrzebna do przeniesienia ciała z orbity r na r  równa jest więc zmianie tej energii:

W = Δ E = E 2 E 1
W = G m M 6 R Z ( G m M 4 R Z ) = G m M 12 R Z

Słowniczek

Aphelium
Aphelium

(ang. aphelion) – punkt leżący na orbicie, po której krąży planeta lub inny obiekt obiegający Słońce; punkt leżący najdalej od Słońca.

Energia potencjalna grawitacji
Energia potencjalna grawitacji

(ang. potential energy of gravity) – energia układu ciał oddziałujących ze sobą grawitacyjnie, zależna od masy ciał i odległości między ich środkami.

Peryhelium
Peryhelium

(ang. peryhelion) – punkt leżący na orbicie, po której krąży planeta lub inny obiekt obiegający Słońce, leżący najbliżej Słońca.

Pole grawitacyjne
Pole grawitacyjne

(ang. gravitational field) – modyfikacja własności przestrzeni sprawiająca, że na każde ciało o masie m, umieszczone w pobliżu masy będącej źródłem pola, działa siła grawitacyjna.

Siła grawitacyjna
Siła grawitacyjna

(ang. force of gravity) – oddziaływanie o charakterze przyciągającym istniejące pomiędzy ciałami posiadającymi masę, zależne od iloczynu mas i kwadratu odległości pomiędzy ich środkami.