Warto przeczytać

Rozpatrując ruch satelity dookoła planety lub ruch planety dookoła Słońca możemy zauważyć, że jeśli orbita, po której krążą ma kształt okręgu, to wartość siły grawitacyjnejSiła grawitacyjnasiły grawitacyjnej działającej pomiędzy ciałami nie ulega zmianie. Ciała poruszające się pod wpływem siły grawitacyjnej nie wymagają żadnego zasilania. Jeśli jednak chcielibyśmy zwiększyć promień orbity, po której ciało się porusza, wykonanie pracy byłoby koniecznością. Praca w sensie fizycznym definiowana jest jako iloczyn działającej siły $F$, przesunięcia $\mathrm{\Delta }r$ oraz cosinusa kąta pomiędzy nimi:

Dla pola grawitacyjnegoPole grawitacyjnepola grawitacyjnego nie możemy jednak jej wyznaczyć z powyższego wzoru, bo dotyczy on stałej wartości działającej siły, co nie jest tutaj spełnione. Jak zatem wyznaczyć pracę wykonaną przez siły zewnętrzne (w przypadku, gdy mamy do czynienia z brakiem oporów ruchu i zmian energii kinetycznej)? Przy przesuwaniu ciała o masie $m$ z punktu odległego od masy centralnej (będącej źródłem pola grawitacyjnego) $M$ o $r_1$ do punktu znajdującego się w odległości $r_2$ możemy zapisać, że praca $W$ równa jest zmianie energii potencjalnej przenoszonego ciała:

Z powyższego widać, że wartość pracy nie zależy od długości toru ruchu, a jedynie od położenia punktu początkowego i końcowego. Jeśli więc wykonujemy pracę po torze zamkniętym – czyli wracamy do punktu, z którego rozpoczęliśmy ruch – praca ma wartość zerową (Rys. 1.).

R1Ji85pPzDOK3

Rys. 1. Rysunek przedstawia dużą czerwoną kulę opisaną wielką literą M, symbolizującą planetę. Obok niej, w jej polu grawitacyjnym znajduje się satelita o masie małe m. Rysunek pokazuje trzy przykładowe krzywe, po których może poruszać się satelita przesuwając się pomiędzy dwoma punktami oznaczonymi jako wielkie A i wielkie B. Długości tych trzech torów są różne, a praca wykonana podczas przesuwania satelity taka sama.

Powróćmy do przypadku satelity krążącego dookoła planety lub planety okrążającej Słońce. Czy energia potencjalna jest jedyną energią, jaką ciało posiada? Oczywiście, że nie. Krąży ono po orbicie, zatem ma pewną, określoną prędkość. Wiemy, że z prędkością związana jest energia kinetyczna. Energia całkowita planety lub satelity jest więc sumą energii kinetycznej i potencjalnej:

RIvs1jPcYp3pY

Rys. 2. Rysunek przedstawia wykres - zależność energii potencjalnej grawitacji od odległości od powierzchni planety. Na osi x zaznaczono odległość, na osi y energię potencjalną. Najmniejsza wartość to energia na powierzchni. Jest to iloczyn stałej grawitacyjnej wielkie G, masy planety wielkie M i masy m małe dowolnego ciała, podzielony przez odległość małe r pomiędzy nimi. Jest to wielkość ujemna. Wraz ze wzrostem odległości rośnie do zera asymptotycznie.

Jak widać na wykresie zależności energii potencjalnej od odległości EIndeks dolny p_p(r) (Rys. 2.): gdy odległość rośnie nieograniczenie, energia potencjalna przyjmuje wartość dowolnie bliską zeru, gdyż siła grawitacji dąży do zera. Natomiast, jeśli odległość między ciałami się zwiększa, to zmiana energii potencjalnej grawitacji jest większa od zera, i na odwrót.

Jeżeli założymy, że na ciało nie działają siły zewnętrzne, oprócz siły grawitacji centrum przyciągania, czyli przyjmiemy, że układ jest odosobniony, możemy skorzystać z zasady zachowana energii mechanicznej. Mówi ona, że suma ta jest wartością stałą, zatem wzrost wartości energii potencjalnej grawitacjiEnergia potencjalna grawitacjienergii potencjalnej grawitacji odbywa się kosztem energii kinetycznej i na odwrót – w momencie, gdy energia kinetyczna wzrasta o określoną wartość, energia potencjalna maleje dokładnie o taką samą wartość. Jeśli mamy więc do czynienia z orbitą kołową, wartość prędkości się nie zmienia. Gdy orbita ma kształt elipsy (jak stwierdził Kepler), w momencie, gdy ciało znajduje się w peryheliumPeryheliumperyhelium (czyli punkcie na orbicie, w którym odległość pomiędzy planetą a Słońcem jest najmniejsza) – ciało porusza się z większą wartością prędkości niż w apheliumApheliumaphelium (czyli punkcie na orbicie, w którym odległość między planetą a Słońcem jest największa).

Aby lepiej to zrozumieć, przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: przenieśmy ciało o masie $m$ z orbity kołowej o promieniu $r$ równym dwukrotności promienia Ziemi $R_Z$ na orbitę o promieniu $r^{\prime }$ równą $3R_Z$ (Rys. 3.).

RvMg5WQs6dgqC

Rys. 3. Rysunek przedstawia Ziemię i zaznaczone wokół niej dwie orbity w kształcie dwóch okręgów: jeden o promieniu równym podwojonemu promieniowi Ziemi, a drugi o promieniu równym trzy razy promień Ziemi. Ciało o masie m położone jest na orbicie o mniejszym promieniu.

Na początku należy zauważyć, że ciało poruszając się po orbicie ma energię całkowitą równą sumie energii kinetycznej i potencjalnej:

Skąd jednak wziąć wartość prędkości $v$? Można zauważyć, że siła grawitacyjna pełni tutaj rolę siły dośrodkowej, zatem:

Z tego wynika, że:

czyli energia całkowita na orbicie $r$ ma wartość:

zaś na orbicie $r^{\prime }$:

Praca potrzebna do przeniesienia ciała z orbity $r$ na $r^{\prime }$ równa jest więc zmianie tej energii:

Słowniczek