Warto przeczytać

Wektor to uporządkowana para punktów. Pierwszy z nich to początek wektora, a drugi - jego koniec. Początek wektora nazywamy punktem przyłożenia albo zaczepienia wektora. Graficznie wektor przedstawiamy w postaci strzałki z grotem na końcu wektora. Aby określić wektor musimy znać jego:

• wartość (czyli długość)

• kierunek

• zwrot

Notacja: Wektory oznaczamy podobnie jak odcinki, czyli albo dwoma dużymi literami, ale ze strzałką umieszczoną nad nimi (zapis $\overrightarrow{AB}$ oznacza wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B), albo jedną literą ze strzałką, np. $\overrightarrow{AB},\vec{u},\vec{v}.$

Zdarza się, że w druku rezygnuje się ze strzałek na rzecz pogrubienia, niekiedy bez kursywy, np. $\overrightarrow{v}$ może być oznaczony jako $\mathbf{v}$ albo $\mathit{v}$.

Wartość wektora

Wartość (długość) wektora to liczba, w fizyce w ogólności mianowanaliczba mianowanamianowana. Mając współrzędne końca i początku wektora, możemy obliczyć jego długość. Jest to liczba nieujemna; jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z wektorem zerowym, tj. takim, którego początek i koniec pokrywają się. (Uwaga: zwrot i kierunek takiego wektora są nieokreślone.)

Fakt, że wartość wektora jest liczbą mianowanąliczba mianowanaliczbą mianowaną oznacza, że oprócz wartości liczbowej długości musimy podać też jednostkę. Długości wektora nie zawsze wyrażamy w metrach (jest tak tylko w przypadku wektora położenia). W fizyce mamy do czynienia z wieloma wartościami wektorowymi, np. siłą – wartość tego wektora wyrażamy w niutonach (N) czy przyspieszeniem - jego wartość wyrażamy w $\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. Jeśli chcesz uzyskać więcej informacji na ten temat, sięgnij do e‑materiału „Czym różnią się wielkości skalarne od wektorowych?”

Wartość wektora zapisujemy w pojedynczym nawiasie prostym, np. $\left|\overrightarrow{AB}\right|$, a jeśli nie prowadzi to do nieporozumień w zastosowaniach fizycznych, opuszczamy zarówno nawiasy, jak i strzałkę. Np. długość wektora położenia $\overrightarrow{r}$ oznaczymy po prostu przez $r$, podobnie z prędkością, siłą, przyspieszeniem, natężeniami pól itp.

Długość wektora wyznaczamy na podstawie współrzędnych punktu początkowego i końcowego wektora (Rys. 1.).

RiR2lpqIBurhc

Rys. 1. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację danych. Rysunek przedstawia wektor w postaci strzałki narysowanej w układzie współrzędnych. Początek wektora oznaczony jest punktem kropką, przy której napisana jest litera duże A, koniec wektora oznaczony jest grotem, przy którym zaznaczony jest punkt kropka i napisana jest litera duże B. Punkt A ma współrzędne zaznaczone na osiach układu współrzędnych a z indeksem dolnym x i a z indeksem dolnym y. Punkt B ma analogiczne współrzędne – b z indeksem dolnym x i b z indeksem dolnym y. Tak narysowany wektor nazywa się AB.

Długość wektora $\overrightarrow{AB}$ (Rys. 1.) obliczamy przy użyciu twierdzenia PitagorasaTwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa:

Na Rys. 2. pokazano trzy wektory o takich samych długościach:

Rgl73IVheUl1u

Rys. 2. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację danych. Rysunek przedstawia trzy wektory AB, CD i EF w układzie współrzędnych. Wektory mają różne kierunki, ale jednakowe długości. Wektor AB jest równoległy do osi y, jego początek w punkcie A ma współrzędne 1, 1 a koniec w punkcie B 1,6. Zmienia się współrzędna y o 5 jednostek. Wektor CD jest równoległy do osi x. Jego początek jest w punkcie C o współrzędnych 2,2 a koniec w punkcie D o współrzędnych 7,2. Zmienia się współrzędna x również o 5 jednostek. Wektor EF jest położony ukośnie w stosunku do osi układu. Początek wektora, który jest punktem E ma współrzędne 9,2 a koniec, który jest punktem F 13,5. Długość wektora obliczona z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa również wynosi 5 jednostek. Rachunek jest w tekście.

Widać, że $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|=5$, ponieważ odcinki AB i CD są równoległe do osi, a ich niezerowe współrzędne różnią się o 5. Znajdźmy długość trzeciego wektora:

Uwaga: Matematycy często dla odróżnienia od wartości bezwzględnej liczby zapisują wartość wektora z pomocą podwójnego nawiasu prostego. W wielu przypadkach wielkość ta nazywana jest normą wektora.

Kierunek wektora

Kierunek wektora określa jego nachylenie względem osi układu współrzędnych i jest tożsamy z kierunkiem prostej przechodzącej przez początek i koniec wektora. Zwrot wektora określa, w którą stronę wzdłuż tej prostej „wskazuje” strzałka wektora. Jeśli wektor jest zerowy, jego kierunek jest nieokreślony.

R12iNZJF3pckB

Rys. 3. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację danych. Rysunek przedstawia dwa wektory, które mają groty skierowane w przeciwnych kierunkach. Oznaczone są dużymi literami AB i A’B’. Wektory są jednakowej długości. Wektor AB leży w płaszczyźnie poziomej, a wektor A’B’ usytuowany jest pod skosem. O takich wektorach mówimy, że są różne mimo jednakowych długości.

Słowo kierunek służy do scharakteryzowania nie tylko konkretnego wektora, ale także zbioru (klasy) wektorów do niego równoległych. Wektory mają taki sam kierunek, jeśli proste, na których leżą, są równoległe (Rys. 4.).

RUcxcv2VDg9wh

Rys. 4. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację treści. Na rysunku przedstawione są trzy wektory o różnej długości leżące na trzech prostych równoległych. O takich wektorach mówimy, że mają kierunki jednakowe. Dwa mają zwroty zgodne w prawo ku górze, jeden ma zwrot przeciwny w lewo ku dołowi.

Zwrot wektora

Zwrot wektora określa, w którą stronę wektor jest skierowany, tj. gdzie jest jego początek i gdzie koniec (przypomnijmy: wektor to uporządkowana para punktów, to od tego porządku pochodzą terminy „początek” i „koniec” oraz zaznaczenie końca z pomocą „grota” strzałki). Podobnie jak w przypadku kierunku, pojęcie zwrotu nie ma sensu dla wektora zerowego.

Jeśli dwa wektory nie mają tego samego kierunku, pytanie o zgodność ich zwrotów nie ma sensu. Zgodność albo niezgodność zwrotów ma miejsce tylko dla wektorów równoległych. (Uwaga: czasem używa się terminu „równoległe” oraz „antyrównoległe” dla zaznaczenia, że zwroty dwóch wektorów są, odpowiednio, zgodne albo przeciwne. Z obu tych określeń wynika, że kierunki tych wektorów są takie same.)

R1CkI5CLO8fpt

Rys. 5. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację treści. Na rysunku przedstawione są trzy wektory AB, CD, i EF o różnej długości i kierunkach jednakowych, leżą na trzech równoległych prostych. Wektory AB i CD mają jednakowe zwroty w prawo ku górze. Wektor EF ma zwrot przeciwny w lewo ku dołowi.

Typowe oznaczenie równoległości wektorów to dwie pionowe strzałki dla zgodnych kierunków oraz te same strzałki z przekreśleniem dla innych. Niekiedy dla oznaczenia równoległości i antyrównoległości stosuje się dwie pionowe strzałki. Gdybyśmy chcieli opisać zawartość Rys. 5., mogłoby to wyglądać następująco:

Zauważ, że w tym przypadku pojęcia matematyczne różnią się od pojęć stosowanych w życiu codziennym. To, co na co dzień nazywamy kierunkiem, w przypadku opisu wektorów będziemy oznaczali jako zwrot, podczas gdy słowo „kierunek” oznacza coś innego; ważne jest, aby nie mylić tych pojęć.

Dwa wektory są sobie równe, jeśli mają taką samą długość, taki sam kierunek i taki sam zwrot (jak na Rys. 7a.). Dwa wektory są przeciwne, jeśli mają taką samą długość, taki sam kierunek i przeciwny zwrot (jak na Rys. 7b.).

R1KzmIi5Svnyy

Rys. 7a. Rysunki przedstawiają graficzną ilustrację treści. Na rysunku przedstawione są trzy wektory równej długości leżące na trzech równoległych prostych. Wektory mają takie same zwroty. Mówimy o nich, że są równe. Rys. 7b. Na rysunku przedstawione są dwa wektory równej długości leżące na dwóch prostych równoległych. Wektory mają przeciwne zwroty. Takie wektory nazywamy przeciwnymi.

Wektor jednostkowy

Omówimy szczególny przypadek wektora zwany wektorem jednostkowym lub wersorem. Wersor ma zawsze wartość (długość) równą 1, jest niemianowany i ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora, któremu odpowiada (ew. z dodatnią półosią współrzędnych, której odpowiada). Uwaga: zgodność kierunków wektora i jego wersora wynika ze zgodności zwrotów.

W układzie kartezjańskim zazwyczaj oznaczamy wektory jednostkowe: $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$, gdzie wersor $\overrightarrow{i}$ jest skierowany wzdłuż osi x, wersor $\overrightarrow{j}$ wzdłuż osi y, a wersor $\overrightarrow{k}$ wzdłuż osi z (patrz Rys. 8).

R1TmqxMmqUeTH

Rys. 8. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację danych. Wektory jednostkowe przedstawiono w trójwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych. Wektor i usytuowany jest w płaszczyźnie x, wektor j w płaszczyźnie y a wektor k w płaszczyźnie z. Wektory są tej samej długości lecz mają inne zwroty i kierunki.

Dla dowolnego niezerowego wektora da się znaleźć jego wektor jednostkowy - dzieląc ten wektor przez jego własną długość. Więcej na ten temat w materiale „Iloczyn wektora przez liczbę oraz iloczyn skalarny wektorów”.

Po co są wersory? (Ich maksymalny zestaw zwany jest przez matematyków bazą). Okazuje się, że każdy wektor da się jednoznacznie przedstawić jako sumę iloczynów pewnych liczb (znasz je - to współrzędne wektora) właśnie przez wersory, czyli niezależne kierunki. Zapis

oznacza dokładnie tyle, co

W szczególności gdybyśmy chcieli przedstawić same wersory we współrzędnych, otrzymalibyśmy

Słowniczek