Ogólnie mówiąc przedziałem nazywamy pewien podzbiór zbioru liczb rzeczywistych o nieskończenie wielu elementach, który zawiera wszystkie liczby z podanego zakresu.

W tej lekcji skupimy się na omówieniu przedziałów ograniczonych. Wyróżniamy cztery ich rodzaje. Ustalmy najpierw dwie liczby rzeczywiste $a$ i $b$, dla których zachodzi warunek $a<b$.

Przedziałem obustronnie domkniętym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a\le x\le b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału obustronnie domkniętego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in ⟨a, b⟩$.

Przedział obustronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że końce przedziału zaznaczamy wyraźnie zamalowanymi kółeczkami:

RPbNlI8pid4Ng

Grafika przedstawia poziomą prostą $X$, na której zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty $a$ $b$, czyli w punkcie $a$ oraz w punkcie $b$ zaznaczone są na osi zamalowane kropki, a nad osią zaznaczony jest przedział w formie zamalowanego prostokąta o boku $ab$.

Przedziałem obustronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a<x<b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału obustronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in \left(a, b\right)$.

Przedział obustronnie otwarty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że końce przedziału zaznaczamy kółeczkami, które nie są zamalowane:

R14H7MSsGo4ev

Grafika przedstawia poziomą prostą $X$, na której zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty $a$ $b$, czyli w punkcie $a$ oraz w punkcie $b$ zaznaczone są na osi niezamalowane kropki, a nad osią zaznaczony jest przedział w formie zamalowanego prostokąta o boku $ab$.

Przedziałem prawostronnie domkniętym i lewostronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a<x\le b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału prawostronnie domkniętego i lewostronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in \left(a, b\right.⟩$.

Przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że lewy koniec przedziału zaznaczamy kółeczkiem, które nie jest zamalowane, zaś prawy – kółeczkiem, które jest zamalowane:

R11vyLeUPuA0y

Grafika przedstawia poziomą prostą $X$, na której zaznaczony jest przedział lewostronnie otwarty $a$ $b$, czyli w punkcie $a$ zaznaczona jest niezamalowana kropka, a w punkcie $b$ kropka jest zamalowana. Nad osią zaznaczony jest przedział w formie zamalowanego prostokąta o boku $ab$.

Przedziałem lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a\le x<b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in \left.⟨a, b\right)$.

Przedział prawostronnie otwarty i lewostronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że prawy koniec przedziału zaznaczamy kółeczkiem, które nie jest zamalowane, zaś lewy – kółeczkiem, które jest zamalowane:

R1DbXZAKt0UiP

Grafika przedstawia poziomą prostą $X$, na której zaznaczony jest przedział prawostronnie otwarty $a$ $b$, czyli w punkcie $a$ zaznaczona jest zamalowana kropka, a w punkcie $b$ kropka jest niezamalowana. Nad osią zaznaczony jest przedział w formie zamalowanego prostokąta o boku $ab$.

Zwróćmy jeszcze uwagę na pewne istotne rozróżnienie. Omawiane w tej lekcji przedziały z jednej strony są zbiorami nieskończonymi, co oznacza, że należy do nich nieskończenie wiele liczb, ale jednocześnie są zbiorami ograniczonymi. Mówimy, że zbiór $A$ jest ograniczony, jeśli istnieją liczby $m$ i $M$ takie, że dla każdego elementu $x$ zbioru $A$ zachodzą warunki $m\le x$ oraz $x\le M$. Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru $A$, zaś liczbę $M$ - ograniczeniem górnym zbioru $M$. Widzimy zatem, że istnieją zbiory ograniczone i nieskończone jednocześnie. W następnych lekcjach poznasz przedziały nieograniczone.

Przykład 1

Przedział $⟨-2, 3⟩$ jest zbiorem wszystkich liczb większych lub równych $\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $3$. Ten przedział liczbowyprzedział liczbowyprzedział liczbowy na osi można zilustrować następująco:

R88XY4oxTafz8

Grafika przedstawia poziomą prostą $X$, na której zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty $-2$ $3$, czyli w obu punktach zaznaczone są zamalowane kropki. Nad osią zaznaczony jest przedział w formie zamalowanego prostokąta o boku $ab$.

Przedział $\left(-2, 3\right)$ jest zbiorem wszystkich liczb większych od $\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych od $3$. Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R15kLWfPQ7CG4

Grafika przedstawia poziomą prostą $X$, na której zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty $-2$ $3$, czyli w obu punktach zaznaczone są niezamalowane kropki. Nad osią zaznaczony jest przedział w formie zamalowanego prostokąta o boku $ab$.

Przedział $\left(-2, 3\right.⟩$ jest zbiorem wszystkich liczb większych od $\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $3$. Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R1WXrG5z4e9cE

Grafika przedstawia poziomą prostą $X$, na której zaznaczony jest przedział lewostronnie otwarty $-2$ $3$, czyli w punkcie $-2$ zaznaczona jest niezamalowana kropka, a w punkcie $3$ zaznaczona jest na osi zamalowana kropka. Nad osią zaznaczony jest przedział w formie zamalowanego prostokąta o boku $ab$.

Przedział $\left.⟨-2, 3\right)$ jest zbiorem wszystkich liczb większych lub równych$\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych od $3$. Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

Ry5tCXilW88jG

Grafika przedstawia poziomą prostą $X$, na której zaznaczony jest przedział prawostronnie otwarty $-2$ $3$, czyli w punkcie $-2$ zaznaczona jest zamalowana kropka, a w punkcie $3$ zaznaczona jest na osi niezamalowana kropka. Nad osią zaznaczony jest przedział w formie zamalowanego prostokąta o boku $ab$.

Słownik