Przeczytaj

Ogólnie mówiąc przedziałem nazywamy pewien podzbiór zbioru liczb rzeczywistych o nieskończenie wielu elementach, który zawiera wszystkie liczby z podanego zakresu.

W tej lekcji skupimy się na omówieniu przedziałów ograniczonych. Wyróżniamy cztery ich rodzaje. Ustalmy najpierw dwie liczby rzeczywiste $a$ i $b$ , dla których zachodzi warunek $a < b$ .

Przedziałem obustronnie domkniętym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ , które spełniają warunek $a \leq x \leq b$ . Fakt, że $x$ należy do przedziału obustronnie domkniętego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x \in ⟨a, b⟩$ .

Przedział obustronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że końce przedziału zaznaczamy wyraźnie zamalowanymi kółeczkami:

RNLTNFPL7TCZ4

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty a b, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie a oraz w punkcie odpowiadającym liczbie b zaznaczone są na osi zamalowane kropki, a część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedziałem obustronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ , które spełniają warunek $a < x < b$ . Fakt, że $x$ należy do przedziału obustronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x \in (a, b)$ .

Przedział obustronnie otwarty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że końce przedziału zaznaczamy kółeczkami, które nie są zamalowane:

RC8LPM6OSN7SL

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty a b, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie a oraz w punkcie odpowiadającym liczbie b zaznaczone są na osi niezamalowane kropki, a część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedziałem prawostronnie domkniętym i lewostronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ , które spełniają warunek $a < x \leq b$ . Fakt, że $x$ należy do przedziału prawostronnie domkniętego i lewostronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x \in (a, b⟩$ .

Przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że lewy koniec przedziału zaznaczamy kółeczkiem, które nie jest zamalowane, zaś prawy – kółeczkiem, które jest zamalowane:

RP4KGA222B2HD

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział lewostronnie otwarty a b, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie a zaznaczona jest niezamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie b kropka jest zamalowana. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedziałem lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ , które spełniają warunek $a \leq x < b$ . Fakt, że $x$ należy do przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x \in ⟨a, b)$ .

Przedział prawostronnie otwarty i lewostronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że prawy koniec przedziału zaznaczamy kółeczkiem, które nie jest zamalowane, zaś lewy – kółeczkiem, które jest zamalowane:

RN5O35PQ5O4CS

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział prawostronnie otwarty a b, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie a zaznaczona jest zamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie b kropka jest niezamalowana. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Zwróćmy jeszcze uwagę na pewne istotne rozróżnienie. Omawiane w tej lekcji przedziały z jednej strony są zbiorami nieskończonymi, co oznacza, że należy do nich nieskończenie wiele liczb, ale jednocześnie są zbiorami ograniczonymi. Mówimy, że zbiór $A$ jest ograniczony, jeśli istnieją liczby $m$ i $M$ takie, że dla każdego elementu $x$ zbioru $A$ zachodzą warunki $m \leq x$ oraz $x \leq M$ . Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru $A$ , zaś liczbę $M$ - ograniczeniem górnym zbioru $M$ . Widzimy zatem, że istnieją zbiory ograniczone i nieskończone jednocześnie. W następnych lekcjach poznasz przedziały nieograniczone.

Przykład 1

Przedział $⟨- 2, 3⟩$ jest zbiorem wszystkich liczb większych lub równych $(- 2)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $3$ . Ten przedział liczbowyprzedział liczbowyprzedział liczbowy na osi można zilustrować następująco:

R1M21QGUS5SME

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty -2 3, czyli w obu punktach zaznaczone są zamalowane kropki. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedział $(- 2, 3)$ jest zbiorem wszystkich liczb większych od $(- 2)$ i jednocześnie mniejszych od $3$ . Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R1CHF97V9BA7X

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty -2 3, czyli w obu punktach zaznaczone są niezamalowane kropki. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedział $(- 2, 3⟩$ jest zbiorem wszystkich liczb większych od $(- 2)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $3$ . Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R1JPA6P8RN3RU

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział lewostronnie otwarty -2 3, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie -2 zaznaczona jest niezamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie 3 zaznaczona jest na osi zamalowana kropka. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedział $⟨- 2, 3)$ jest zbiorem wszystkich liczb większych lub równych $(- 2)$ i jednocześnie mniejszych od $3$ . Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R1945RC93C3XL

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział prawostronnie otwarty -2 3, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie -2 zaznaczona jest zamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie 3 zaznaczona jest na osi niezamalowana kropka. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność podwójną $3 \leq 2 x - 1 < 5$ .

Zauważmy, że jeśli do każdego z wyrażeń występujących w nierówności podwójnej dodamy $1$ , otrzymamy warunek równoważny:

$3 + 1 \leq 2 x - 1 + 1 < 5 + 1$

$4 \leq 2 x < 6$ .

Zauważmy teraz, że po podzieleniu każdego wyrażenia występującego w powyższej nierówności podwójnej przez $2$ , również otrzymamy warunek równoważny:

$\frac{4}{2} \leq \frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$

$2 \leq x < 3$ .

Rozwiązanie powyższej nierówności możemy zapisać przy pomocy przedziału $x \in ⟨2, 3)$ .

Przykład 3

Spośród liczb $\{\sqrt{2}; π; 5, 5; \frac{20}{3}; 5, (3); \frac{10}{\sqrt{5}}; \sqrt[3]{63}; |1 - 2 π|\}$ wybierzemy te, które należą do przedziału $⟨\sqrt{3}, 5⟩$ .

Zauważmy najpierw, że do przedziału należą liczby większe lub równe $\sqrt{3} \approx 1, 73$ i jednocześnie mniejsze lub równe $5$ . Wykonajmy przekształcenia, które ułatwią nam szacowanie wartości wskazanych liczb:

$\frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3}$

$\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10 \sqrt{5}}{5} = 2 \sqrt{5} \approx 4, 47$

$\sqrt[3]{63} < \sqrt[3]{64} = 4$

$|1 - 2 π| = 2 π - 1 \approx 5, 28$ .

Zatem do przedziału $⟨\sqrt{3}, 5⟩$ należą liczby $π$ , $\frac{10}{\sqrt{5}}$ oraz $\sqrt[3]{63}$ . Pozostałe liczby nie należą do wskazanego przedziału, ponieważ:

$\sqrt{2} < \sqrt{3}$ ; $5, 5 > 5$ ; $\frac{20}{3} > 5$ ; $5, (3) > 5$ ; $|1 - 2 π| > 5$ .

Przykład 4

Wyznaczymy wartości parametru $m$ , dla których do przedziału $(- 4, m⟩$ należy dokładnie $8$ liczb całkowitych.

Zauważmy najpierw, że jeśli $m \leq - 4$ , to przedział jest zbiorem pustymzbiór pustyzbiorem pustym.

Zatem $m > - 4$ .

Najmniejszą liczbą całkowitą ujemną, która może należeć do rozważanego przedziału jest liczba $(- 3)$ .

Jeśli do tego przedziału ma należeć jeszcze jakaś liczba całkowita, to musi być to liczbą większa lub równa $(- 3)$ .

Najprościej będzie wymienić $8$ kolejnych liczb całkowitych zaczynając od liczby $(- 3)$ .

Są to kolejno: $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ .

Zatem największą liczbą całkowitą należącą do przedziału $(- 4, m⟩$ jest liczba $4$ .

Zatem $m$ może być równe $4$ i może być “nieco” większe od $4$ , ale nie może być równe $5$ (gdyby $m = 5$ , to liczba $5$ również należałaby do rozważanego przedziału i wówczas w przedziale znajdowałoby się $9$ , a nie $8$ liczb całkowitych).

Zatem warunki zadania spełnia każda liczba $m$ należąca do przedziału $⟨4, 5)$ .

Ważne!

Kolejność końców przedziału jest bardzo istotna.

Chociaż z definicji przedziału ograniczonegoprzedział liczbowy ograniczonyprzedziału ograniczonego jeśli jego prawy koniec jest większy od lewego, to można wprowadzić umowę, że jeżeli oba końce przedziału obustronnie domkniętego są równe, wówczas przedział ten opisuje zbiór jednoelementowy.

Na przykład $⟨5, 5⟩ = \{5\}$ .

Umowa ta jest rozszerzeniem tradycyjnej definicji przedziału i nie stoi z nią w sprzeczności.

Słownik

przedział liczbowy

spójny podzbiór liczb rzeczywistych

przedział liczbowy ograniczony

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych zawartych między dwiema ustalonymi liczbami

zbiór pusty

zbiór, który nie zawiera żadnego elementu; jego symbolem jest przekreślone kółko lub przekreślone zero: $\emptyset$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik