Warto przeczytać

Rozszerzalność cieplna gazów - warunek stałego ciśnienia

Zjawisko rozszerzalności cieplnej polega na zmianie objętości ciała wraz ze zmianą temperatury. Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek, z których zbudowane jest ciało. Gdy temperatura rośnie cząsteczki poruszają się coraz szybciej, na skutek czego zwiększają się odległości między nimi i zwiększa się również objętość ciała. I chociaż zjawisko rozszerzalności cieplnej obserwuje się we wszystkich stanach skupienia, tzn. w ciał stałych, cieczach i gazach, jednak z opisem tego zjawiska dla gazów jest pewien problem. Problemem jest to, że objętość gazu bardzo łatwo zmienić przez ściśnięcie gazu, czyli wywarcie nań ciśnienia zewnętrznego. Gdy rozważamy zmianę objętości gazu spowodowaną tylko zmianą temperatury, musimy uwzględnić warunek stałości ciśnieniaCiśnienieciśnienia gazu.

Rozszerzalność gazu charakteryzuje współczynnik rozszerzalności objętościowej. Jest on zdefiniowany jako względna zmiana objętości gazu $\frac{\Delta V}{V_0}$, która, w warunkach stałego ciśnienia, następuje w wyniku zmiany jego temperatury o $\Delta T=1\text{ K}$ (zauważ, że $\Delta T=\Delta t=1^{\circ}\text{C}$):

gdzie $V_0$ to objętość początkowa gazu, $\Delta V$ – zmiana objętości, zaś $\Delta T$ – zmiana temperatury.

Z równania (1) wynika, że

co interpretujemy w następujący sposób: spowodowana zmianą temperatury zmiana objętości gazu jest wprost proporcjonalna do objętości początkowej gazu $V_0$ i zmiany temperatury $\mathrm{\Delta }T$. Jeśli zapiszemy $\Delta V=V-V_0$ to otrzymamy wzór na objętość końcową:

Jednostką współczynnika rozszerzalności objętościowej jest odwrotność jednostki temperatury w układzie SI, czyli 1/K lub 1/°C.

Przykład gazu doskonałego

Aby wyznaczyć wartość współczynnika rozszerzalności objętościowej dla gazu doskonałego należy skorzystać z równania Clapeyrona:

gdzie $p$ to ciśnienie gazu, $V$ – jego objętość, $T$ – temperatura w skali Kelvina, $n$ – liczba moli, $R$ – stała gazowa.

Załóżmy, że przy tym samym ciśnieniu, ale w temperaturze zera stopni Celsjusza $t_0$ = 0°C ($T_0$ = 273,16 K) gaz ma objętość $V_0$. Można wówczas napisać:

Po podzieleniu stronami równań (4) i (5) otrzymujemy:

skąd wyznaczamy $V$:

Podstawiając wyrażenie (7) do wzoru (1) oraz uwzględniając, że $\Delta V=V-V_0$ dostajemy następującą zależność:

która, po przejściu do skali temperatur Celsjusza (tj. $T=t+T_0$, gdzie $T_0=273,16\text{ K}$), upraszcza się do postaci:

Wartość współczynnik rozszerzalności objętościowej gazu doskonałego wynosi więc

Współczynnik rozszerzalności objętościowej każdego gazu, który spełnia warunki modelu, jakim jest gaz doskonały, ma taką samą wartość, podczas gdy ciecze i ciała stałe mają różne współczynniki dla różnych substancji.

Rozszerzalność cieplna gazów rzeczywistych

Współczynniki rozszerzalności objętościowej gazów rzeczywistych mogą nieco różnić się od wartości 0,00366 KIndeks górny -1^-1. Gaz rzeczywisty jest dobrze opisywany przez model gazu doskonałego, gdy odległości między jego cząsteczkami są dużo większe od rozmiarów cząsteczek. W Tabeli 1. podano kilka wartości współczynników rozszerzalności objętościowej dla gazów rzeczywistych. Jak widać, gazy o najmniejszych molekułach, wodór i hel, mają wartości współczynników takie, jak gaz doskonały, natomiast dla powietrza współczynnik αalfa jest nieco mniejszy.

Tabela 1.

Warto tutaj wspomnieć o tym, że współczynniki rozszerzalności objętościowej cieczy i ciał stałych mają znacznie mniejsze wartości niż te podane w powyższej tabeli. O rozszerzalności cieczy i ciał stałych możesz przeczytać w materiałach pt. Na czym polega zjawisko rozszerzalności cieplnej cieczy? i Na czym polega zjawisko rozszerzalności cieplnej ciał stałych?.

Dlaczego balony na ogrzane powietrze wznoszą się

Wraz ze wzrostem temperatury gazu, w wyniku zwiększania się jego objętości, maleje jego gęstość $d$. Dzieje się tak, ponieważ przy założenia stałej masy $m=const$, gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do objętości:

gdzie $V$ – objętość gazu. Dzięki temu ogrzane masy gazu, na przykład powietrza, unoszą się w górę, powodując powstawanie tak zwanych prądów konwekcyjnychKonwekcjaprądów konwekcyjnych (zob. materiał pt. Na czym polega transport ciepła przez konwekcję?).

Zmniejszenie się gęstości powietrza ogrzanego świeczką w papierowym lampionie jest przyczyną tego, że siła wyporu unosi lampion do góry. Taka sama jest przyczyna wznoszenia się balonów na ogrzane powietrze, z których turyści mogą podziwiać z góry piękne krajobrazy (Rys. 1.).

RApMYgRgZWr1e

Rys. 1. Zdjęcie poglądowe przedstawia balony na ogrzane powietrze, unoszące się nad masywem górskim.

Tu nasuwa się pewna wątpliwość. Wiemy, że gazy bardzo łatwo mieszają się ze sobą. Dlaczego więc gorące powietrze, które wypełnia znajdujący się wysoko nad ziemią balon nie wymiesza się z zimnym powietrzem z otoczenia, a w rezultacie balon nie spada? Odpowiedź na te wątpliwości znajdujemy na Rys. 2, na którym pokazujemy, wykonane kamerą termowizyjnąKamera termowizyjnakamerą termowizyjną, zdjęcie kopuły balony. Na tym rysunku widać, że gorące powietrze zbiera się w górnej części balonu i dzięki materiałowi, z którego wykonana jest kopuła balonu,nie miesza się ono z chłodnym powietrzem na zewnątrz kopuły.

R17EQNJ19mFbH

Rys. 2. Zdjęcie poglądowe wykonane kamerą termowizyjną. Gorące powietrze zbiera się w górnej części balonu i nie miesza się z chłodnym powietrzem z zewnątrz.

Obliczmy siłę nośną, która unosi balon do góry. Jest ona równa różnicy między siłą wyporu skierowaną do góry i siłą ciężkości skierowaną w dół (Rys. 3.). Siła wyporu jest równa ciężarowi powietrza wypartego przez balon i wyraża się wzorem:

gdzie $d_{zewn}$ jest gęstością powietrza na zewnątrz balonu, $g$ to przyspieszenie ziemskie, a $V$ – objętość balonu. Siła ciężkości ogrzanego powietrza to:

gdzie $d_{wewn}$ jest gęstością powietrza wewnątrz balonu.

Siła nośna jest równa różnicy siły wyporu i ciężaru:

Do lotów pasażerskich najczęściej używa się balonu z powłoką o pojemności 3600 mIndeks górny ³^³. Powietrze w balonie rozgrzewa się do temperatur nie przekraczających 130°C. Temperatura wewnątrz balonu nie jest jednakowa (Rys. 2.), załóżmy więc, że średnia temperatura wynosi 90°C. Gęstość powietrza zależna jest od temperatury zgodnie ze wzorem:

gdzie $d_0=1,29~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ jest gęstością powietrza w temperaturze 0°C. Jeśli na zewnątrz balonu temperatura jest równa 15°C, to gęstość powietrza wynosi:

Gęstość powietrza wewnątrz balonu w temperaturze 90°C równa jest:

Zgodnie z równaniem (14) siła nośna wynosi więc:

Taka siła wystarcza, aby unieść ponad 800 kilogramowy ciężar balonu (wraz z kopułą, gondolą i turystami).

Domowe eksperymenty

W warunkach domowych też możesz przygotować proste, ale pouczające pokazy, w którym wykorzystasz zjawisko rozszerzalności cieplnej gazów:

1. Przygotuj lateksową rękawiczkę i przy pomocy gumki recepturki przymocuj ją do wylotu pustej, plastikowej butelki (Rys. 3.). Ogrzewaj butelkę ciepłym strumieniem powietrza pochodzącym z suszarki do włosów. Co się dzieje z rękawiczką? Na pewno bez trudu wyjaśnisz widzom przyczynę obserwowanego zjawiska.

RgHMbY1OH5wdf

Rys. 3. Ilustracja przedstawia kolejne etapy doświadczenia prezentującego rozszerzalność cieplną powietrza. Ilustracja podzielona jest na trzy części widoczne jedna obok drugiej. Najbardziej po lewej stronie widoczna jest część opisana małą literą a. Widoczne jest na niej zdjęcia przedstawiające elementy układu eksperymentalnego. Na zdjęciu widoczna jest przezroczysta, pusta, plastikowa butelka. Obok butelki, po lewej stronie widoczna jest czarna lateksowa rękawiczka. Pod nimi widać domową, ręczną suszarkę do włosów. W środkowej części ilustracji widoczna jest część opisana małą literą b. W tej części widoczne jest zdjęcie, na którym przedstawiono czarną, lateksową rękawiczkę naciągniętą na szyjkę stojącej, plastikowej butelki. Rękawiczka zwisa swobodnie z butelki. Po prawej stronie ilustracji widać część opisaną małą literą c. W tej części widoczna jest czarna lateksowa rękawiczka, którą naciągnięto na szyjkę stojącej plastikowej butelki. Rękawiczka jest skierowana do góry dzięki wypełniającemu ją powietrzu. Rękawiczka jest wypełniona powietrzem, ponieważ gaz wypełniający butelkę został ogrzany przy pomocy suszarki i rozszerzył się. W doświadczeniu nie zwiększono ilości gazu ale poprzez ogrzewanie dostarczono do niego energię, czego skutkiem jest rozszerzenie cieplne.

2. Włóż zakręconą, pustą, plastikową butelkę do zamrażalnika. Co się stanie z butelką po godzinie ochładzania? Czy po podgrzaniu powróci ona do dawnej postaci?

Słowniczek