Rozważmy następującą sytuację (Rys. 1.): samochód jadący z prędkością wjechał na prosty pas służący do rozpędzania się przed włączeniem się do ruchu na autostradzie i zaczął przyspieszać ze stałym przyspieszeniemprzyspieszenieprzyspieszeniem o wartości .
Rb6OmvxUrW79Y
Umieśćmy oś x wzdłuż drogi, jaką porusza się samochód i przyjmijmy, że w chwili, gdy zaczął przyspieszać, składowa położenia wynosiła .
Zastanówmy się teraz, czy na podstawie tych danych możemy określić położeniepołożeniepołożenie samochodu w dowolnej, późniejszej chwili ?
Prędkość chwilowa
Zacznijmy od definicji prędkościprędkośćprędkości chwilowej – ograniczymy się tylko do składowej , bo ruch odbywa się wzdłuż osi x
gdzie to składowa przemieszczenia, a to czas, w jakim to przemieszczenie nastąpiło. Tak wyrażona prędkość vIndeks dolny xx jest tym bliższa prędkości chwilowej, im czas jest krótszy.
Jeśli znamy położenie w chwili oraz wartość prędkości w tym momencie, to na podstawie tej definicji jesteśmy w stanie określić, jakie jest położeniepołożeniepołożenie w chwili o większej:
Musimy jednak pamiętać, że jeśli prędkośćprędkośćprędkość zmienia się w czasie – a tak jest w przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonegoruch jednostajnie przyspieszonyruchu jednostajnie przyspieszonego – to żebyśmy mogli z tej zależności korzystać, czas musi być bardzo, bardzo krótki – na tyle krótki, by można było uznać, że w tym czasie wartość prędkościprędkośćprędkości praktycznie się nie zmienia.
Jak zatem możemy to zastosować w naszym przypadku?
Równanie prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym
Zacznijmy od zależności prędkościprędkośćprędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonymruch jednostajnie przyspieszonyruchu jednostajnie przyspieszonym. Wartość prędkości w tym ruchu rośnie jednostajnie – czyli liniowo. Ruch odbywa się po torze prostoliniowym. Możemy zatem zapisać:
Symbolem oznaczamy składową przyspieszenia wzdłuż osi x.
Na Rys. 2. przedstawiony jest wykres tej zależności. Na osi czasu zaznaczono kolejne odcinki .
RNlsNH0lcwIN1
W dalszym ciągu naszych rozważań będziemy opuszczać indeksy „x” przy składowych wektorów prędkościprędkośćprędkości i przyspieszenia - zwiększy to czytelność wzorów. Zacznijmy od chwili t = 0. Wiemy, że położeniepołożeniepołożenie początkowe samochodu wynosiło xIndeks dolny 00, tj.
Dalej, po czasie , mamy
Po kolejnym czasie położeniepołożeniepołożenie wynosi
Postępując dalej w ten sam sposób, możemy dostać wyrażenie określające przybliżone położeniepołożeniepołożenie samochodu dla dowolnej chwili :
Jak już wspomnieliśmy, wyrażenie to jest przybliżone dlatego, że w każdym odcinku prędkośćprędkośćprędkość nie ma stałej wartości. Jednak przybliżenie to jest tym lepsze, im mniejsze są odcinki - wtedy jest ich po prostu więcej.
Pojawia się przy tym problem praktyczny: ta suma zawiera bardzo wiele składników, bo czas jest bardzo mały, więc n - liczba prostokątów na wykresie - jest bardzo duża.
Interpretacja graficzna - pole powierzchni pod wykresem prędkości
Kiedy jednak przyjrzymy się uważniej każdemu ze składników, możemy zauważyć (Rys. 3.), że są to pola powierzchni prostokątów. Wszystkie mają w poziomie boki o jednakowych długościach . W pionie boki są coraz dłuższe: bok i-tego prostokąta ma długość
R12j2XFqSqTEF
Kiedy zsumujemy pola wszystkich prostokątów dostajemy, w przybliżeniu, pole pod wykresem zależności . Tak jak wcześniej, przybliżenie to jest tym lepsze, im odcinki są mniejsze.
Zatem w naszym przypadku, aby wyznaczyć położeniepołożeniepołożenie samochodu w jakiejś chwili , musimy obliczyć pole zaznaczonego na rysunku 4. trapezu.
RZQYDHSPjG8eq
Chwila może być dowolna, więc w ten sposób dostajemy zależność położenia od czasu:
Pamiętając, że dostajemy ostatecznie
Słowniczek
droga
droga
(ang: distance) – długość odcinka toru, po którym porusza się ciało
położenie
położenie
(ang: position) – określa umiejscowienie ciała w układzie odniesienia.
prędkość
prędkość
(ang: velocity) - wielkość wektorowa; określa, jak szybko zmienia się położenie w czasie.
szybkość
szybkość
(ang: speed) – wielkość skalarna; obliczamy ją, dzieląc całkowitą drogę, jaką przebyło ciało, przez czas, w którym to nastąpiło
przyspieszenie
przyspieszenie
(ang: acceleration) – wielkość wektorowa, opisująca, jak szybko zmienia się prędkość w czasie
ruch jednostajnie przyspieszony
ruch jednostajnie przyspieszony
(ang: uniformly accelerated motion) - ruch, w którym wartość prędkości rośnie w sposób jednostajny