Warto przeczytać

Ładunki elektryczne oddziałują ze sobą. Ładunki tego samego znaku odpychają się, natomiast ładunki różnoimienne przyciągają się. By opisać te oddziaływania, wprowadzamy pojęcie pola elektrycznego, które pełni rolę pośrednika w oddziaływaniach. Mechanizm oddziaływania jest następujący: każdy ładunek wytwarza pole elektryczne o natężeniunatężenie pola elektrycznegonatężeniu $\vec{E}$ i na każdy inny ładunek $q$ znajdujący się w tym polu działa siła $\vec{F}=q\cdot \vec{E}$.

Jednocześnie oznacza to, że przesuwając ładunek w polu elektrycznym musimy przeciwdziałać sile pola. Zatem przesunięcie ładunku wymaga wykonania pracy. Może być również tak, że siła pola elektrycznego wykonuje pracę przesuwając ładunek.

Pole elektryczne jest polem zachowawczym. Oznacza to, że przesunięcie ładunku w polu elektrycznym oznacza zmianę energii potencjalnej ładunku i zmiana ta równa jest wykonanej pracy.

Energia potencjalna ładunku w polu elektrycznym równa jest iloczynowi jego wartości oraz potencjału elektrycznegopotencjał elektrycznypotencjału elektrycznego, w którym się znajduje:

$E_p=q\cdot V$

By wyznaczyć zmianę energii potencjalnej ładunku, a zarazem pracę jego przemieszczenia z punktu A do punktu B, wystarczy znać różnicę potencjałów, między którymi ładunek był przesunięty.

$W=q\cdot (V_B-V_A)$

Pole jednorodne

R2V2rNbXZ9Uv4

Rys. 1. Na rysunku zaznaczono poziomą oś układu współrzędnych, opisano ją jako x. Równolegle do osi narysowano kilka długich, poziomych strzałek skierowanych w prawo. Symbolizują one linie pola elektrycznego. Strzałki podpisano nad nimi, za pomocą wielkiej litery E z symbolem wektora nad nią. W obszarze między strzałkami zaznaczono punkty A i B. Punkt A znajduje się na prawo i w górę od punktu B. Przy osi x zaznaczono współrzędne położenia punktów, współrzędną punktu A opisano jako x z indeksem dolnym 1, a współrzędną punktu B, jako x z indeksem dolnym 2. Punkty połączono przerywaną linią. Na linii zaznaczono między punktami trzeci punkt oznaczony jako q. Z tego punktu, wzdłuż linii łączącej zaznaczono strzałkę w kierunku punktu B (czyli w lewo i w dół).

Cechą jednorodnego pola elektrycznego jest stałe natężenienatężenie pola elektrycznegonatężenie, niezależne od położenia. Wartość pracy jest równa iloczynowi siły i przesunięcia, gdy przesunięcie jest zgodne z kierunkiem siły. Siła ma w tym wypadku wartość stałą. Oznacza to, że przesuwając ładunek wzdłuż linii pola, na każdym odcinku tej samej długości wykonamy zawsze tę samą pracę. Praca powoduje zmianę energii potencjalnej. Zatem energia potencjalna zmienia się liniowo wraz ze składową położenia styczną do linii pola elektrycznego.

R138GjAZXwjjp

Rys. 2. Rysunek składa się z dwóch części. W lewej przedstawiono dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pionową oznaczono jako V, oś poziomą jako x. W układzie współrzędnych narysowano linię skierowaną skośnie w prawo i w dół. Przez cały obszar wykresu biegną cieńsze pionowe i poziome linie odmierzające kolejne jednostki na skalach i dzielące obszar wykresu na przedziały. Dla dwóch takich poziomych przedziałów narysowano przerywane poziome linie, które oznaczono jako Delta x. Delta jest grecką literą wyglądającą jak trójkąt. Lewe końce przerywanych linii łączą się ze skośną linią na wykresie. Od prawego końca przerywanej poziomej linii poprowadzono pionowe przerywane linie, które kończą się, gdy przerywana linia spotyka się ze skośną linią. Pionowe linie oznaczono jako Delta wielka litera V. Innymi słowy, zaznaczono poziomą przerywaną linią pewien przedział argumentów na osi x oraz przedział wartości na osi V, który odpowiada danemu przedziałowi argumentów. W prawej części rysunku widoczne jest wzniesienie, którego nachylenie jest dokładnie takie samo jak nachylenie skośnej linii na lewym wykresie. Na dole wzniesienia znajduje się piłka.

Przesuwanie ładunku w polu jednorodnym można porównać do wtaczania piłki po równi pochyłej. Przy przesuwaniu się o ten sam odcinek względem podstawy równi, wysokość piłki, a więc również jej energia potencjalna, wzrasta zawsze o tę samą wartość. (Przypomnijmy, ∆EIndeks dolny p_p= mg∆h.)

Potencjał elektryczny jest równy stosunkowi energii potencjalnej ładunku do jego wartości:

$V=\frac{E_p}{q}$

Zatem również wartość potencjału elektrycznego zależy liniowo od położenia. Zależność ta ma postać:

$V=-E\cdot x$

Wprowadziliśmy tu układ współrzędnych, w którym oś $\mathrm{\text{OX}}$ jest równoległa do linii jednorodnego pola elektrycznego. Znak minus w równaniu oznacza, że wektor natężenia pola elektrycznegonatężenie pola elektrycznegonatężenia pola elektrycznego jest zwrócony ku malejącemu potencjałowipotencjał elektrycznypotencjałowi.

Przesuwając ładunek z punktu o współrzędnej $x_1$ do punktu o współrzędnej $x_2$ wykonamy pracę proporcjonalną do zmiany potencjału, równą:

$W=q\cdot (V_2-V_1)=-q\cdot E\cdot (x_2-x_1)$

W obliczeniach uwzględniamy znak ładunku.

Pole centralne

RUNSG9fONmQbC

Rys. 3. W środku rysunku 3 narysowano punkt, z którego promieniście we wszystkich kierunkach wychodzą strzałki skierowane na zewnątrz. Symbolizuje to pole elektryczne dla dodatniego ładunku punktowego. Punkt opisano jako plus wielka litera Q. Strzałki opisano za pomocą wielkiej litery E ze strzałką skierowaną w prawo nad literą, co symbolizuje wektor. Na rysunku zaznaczono również dwa punkty, połączone z centralnym punktem przerywanymi liniami. Punkty oznaczono wielkimi literami A i B. Punkty połączone są przerywanymi liniami z punktem centralnym oraz ze sobą. Punkt A umieszczony jest na godzinie 11, a linię łączącą go z punktem centralnym oznaczono jako r z indeksem dolnym 1. Punkt B umieszczony jest na godzinie 2, a linię łączącą go z punktem centralnym oznaczono jako r z indeksem dolnym 2. Punkt oznaczony jako r1 znajduje się dalej od punktu centralnej niż ten oznaczony r2. Na linii łączącej ze sobą punkty A i B zaznaczono kolejny punkt, opisany małą literą q. Od punktu, wzdłuż linii łączącej A i B poprowadzono strzałkę skierowaną do punktu B.

Pole centralne wytwarza ładunek punktowy lub ładunek rozłożony na powierzchni kuli. Potencjałpotencjał elektrycznyPotencjał pola centralnego od ładunku punktowego $Q$ ma postać:

$V(r)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r}$

gdzie $r$ jest odległością od centrum pola.

R868mpfhLPzUH

Rys. 4. Rysunek składa się z dwóch części. W lewej przedstawiono dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pionową oznaczono jako V, oś poziomą jako r. W układzie współrzędnych narysowano linię krzywą skierowaną w prawo i w dół. Przedstawiona linia to hiperbola, dla coraz niższych wartości na osi r nachylenie krzywej rośnie tak, że krzywa nie przechodzi przez punkt r = 0 i biegnie do nieskończoności. Przez cały obszar wykresu biegną cieńsze pionowe i poziome linie odmierzające kolejne jednostki na skalach i dzielące obszar wykresu na przedziały. Dla dwóch takich poziomych przedziałów narysowano przerywane poziome linie, które oznaczono jako Delta r. Delta jest grecką literą wyglądającą jak trójkąt. Lewe końce przerywanych linii łączą się ze skośną linią na wykresie. Od prawego końca przerywanej poziomej linii poprowadzono pionowe przerywane linie, które kończą się, gdy przerywana linia spotyka się ze skośną linią. Pionowe linie oznaczono jako Delta wielka litera V. Innymi słowy, zaznaczono poziomą przerywaną linią pewien przedział argumentów na osi r oraz przedział wartości na osi V, który odpowiada danemu przedziałowi argumentów. W prawej części rysunku widoczne jest wzniesienie, którego nachylenie jest dokładnie takie samo jak nachylenie hiperboli na lewym wykresie. Na dole wzniesienia znajduje się piłka.

Przesuwanie ładunku w polu centralnym można porównać do wtaczania piłki na wzniesienie w kształcie hiperboli. Na początku wzniesienie jest łagodne, jednak z każdym krokiem robi się coraz bardziej strome i wymaga coraz większej pracy, by przetoczyć piłkę o ten sam odcinek.

Przesuwając ładunek w polu centralnym wykonujemy pracę wyłącznie wtedy, gdy zmienia się odległość ładunku od centrum pola ($r$). Praca potrzebna do przesunięcia ładunku $q$ w polu wytworzonym przez ładunek $Q$ z odległości $r_1$ na odległość $r_2$ wynosi:

$W=q\cdot (V_2-V_1)=\frac{q\cdot Q}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1})$.

Słowniczek