Warto przeczytać

W prostoliniowym ruchu jednostajnie zmiennym przyspieszenie średnie $\vec{a}_{\text{śr}}$ przemieszczającegoprzemieszczenieprzemieszczającego się ciała to iloraz zmiany prędkościprędkośćprędkości i czasu, w którym ta zmiana nastąpiła:

gdzie wektor zmiany prędkości $\Delta\vec v$ równy jest różnicy wektorów prędkości końcowej $\vec{v}_k$ i początkowej $\vec{v}_0$ ciała w czasie ruchu.

Przyspieszenie chwilowe obliczamy podobnie jak przyspieszenie średnie, z powyższego wzoru, ale dodajemy warunek, aby czas $\Delta t$ był bliski zeru:

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonegoruch jednostajnie przyspieszonyruchu jednostajnie przyspieszonego zwrot wektora przyspieszenia musi być taki sam jak zwrot wektora prędkości. Czyli, gdy przyspieszenie i prędkość mają zgodny zwrot, to ciało przyspiesza.

W ruchu jednostajnie przyspieszonego przyspieszenie średnie i chwilowe są sobie równe i stałe w czasie ruchu oraz

gdzie: v – prędkość końcowa w ruchu jednostajnie zmiennym, vIndeks dolny 0₀ – prędkość początkowa, a – przyspieszenie, t – czas trwania ruchu.

Powyższe równanie opisuje zależność liniową zmiennych v oraz t. Interpretujemy je podobnie jak w matematyce zależności typowych zmiennych y oraz x w równaniu prostej

Postać zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest analogiczna, jeśli utożsamimy prędkość z y, czas z x, prędkość początkową z b, a przyspieszenie ze współczynnikiem kierunkowym a (koincydencja oznaczeń). Pokazuje to wykres na Rys. 1.

R1dFImQeQqRdG

Rys. 1. Rysunek przedstawia wykres zależności prędkości oznaczonej małą czarną literą v mierzonej w metrach na sekundę od czasu oznaczonego małą czarną literą t mierzonego w sekundach. Wykres zależności stanowi narysowaną kolorem niebieskim rosnącą funkcję liniową (wartości tej funkcji rosną od wartości prędkości opisanej małą czarną literą v z indeksem dolnym zero do wartości opisanej małą czarną literą v z indeksem dolnym k). Obszar pomiędzy wykresem tej funkcji a poziomą osią układu współrzędnych został pomalowany na niebiesko. Pole powierzchni tego obszaru stanowi zmianę położenia ciała.

Pole obszaru pod wykresem zależności prędkości od czasu równe jest zmianie położeniapołożeniepołożenia ciała. Ponieważ $\Delta v=a\cdot \Delta t$, to $v_k-v_0=a\cdot (t_k-t_0)\mathrm{\text{.}}$ Zmiana położenia $\Delta x$ równa jest sumie pola prostokąta i trójkąta prostokątnego

$\Delta x = v_0 t_k + \frac{1}{2}at_k^2\ ,\ \text{gdy}\ t_0 = 0\ ,$

Wobec tego

Zatem zależność położenia od czasu w ruchu jednostajnie zmiennym opisana jest kwadratową funkcją czasu.

Wyznaczenie czasu ze wzoru na prędkość i wstawienie do powyższego związku prowadzi do zależności między położeniem a prędkością:

W szczególnym przypadku dla $v_0 = 0$ oraz $x_0 = 0$ otrzymamy $x=\frac{v^2}{2\cdot a}$.

Przykład 1.

Rowerzysta rusza w drogę. Będzie jechał ze stałym przyspieszeniem $a = 3\,\text{m/ s}^2$. Jaką drogę przejedzie po dwóch sekundach ruchu? Jaką drogę przejedzie w piątej sekundzie ruchu?

Dla tego ruchu $v\left(t\right)=a\cdot t$ oraz $s\left(t\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$

Dane w tabeli przedstawiają obliczone wartości jego prędkości i przebytej drogi od czasu w ciągu 5 pierwszych sekund ruchu.

Ruch rowerzysty przedstawiony jest też w formie wykresu zależności prędkości od czasu na Rys. 2.

RwOYE6TrrCKXW

Rys. 2. Rysunek przedstawia wykres zależności prędkości oznaczonej małą czarną literą v mierzonej w metrach na sekundę od czasu oznaczonego małą czarną literą t mierzonego w sekundach. Wykres zależności stanowi narysowaną kolorem czarnym rosnącą funkcję liniową (wartości tej funkcji rosną od zera do piętnastu metrów na sekundę). Wartości prędkości dla kolejnych sekund ruchu oznaczono na wykresie czerwonymi kropkami. Obszar pomiędzy wykresem tej funkcji a poziomą osią układu współrzędnych dla czasów pomiędzy zerową a drugą oraz pomiędzy czwartą i piątą sekundą ruchu został pomalowany na niebiesko. Pole powierzchni tego obszaru stanowi zmianę położenia ciała w tych okresach czasu.

Na wykresie mamy prostą o współczynniku kierunkowym $a = 3\,\text{m/s}^2$. Drogę pokonaną przez dwie pierwsze sekundy ruchu możemy obliczyć ze wzoru i odczytać z wykresu - jest to pole trójkąta o bokach $2\,\text{s}$ oraz $6\,\text{m/s}$. Drogę w 5. sekundzie także możemy obliczyć dwoma sposobami i odczytać z wykresu. Prędkość na początku 5. sekundy, czyli dla $t = 4\,\text{s}$ wynosi $v_5 = 12\,\text{m/s}$. Korzystając ze wzoru

wyznaczamy $s_{4\to 5} = 13,5\,\text{m}$.

Możemy też obliczyć drogę w 5. sekundzie jako różnicę dróg przejechanych w ciągu pierwszych 5 s i w ciągu 4 s:

co po podstawieniu danych daje

$\displaystyle = \frac{3}{2}(5 - 4)(5 + 4)\,\text{m} = 13,5\,\text{m}\ .$

Drogę tę można też obliczyć z wykresu zależności $v(t)$ jako pole odpowiedniego trapezu (Rys. 2.). Zależność $s(t)$ jest kwadratowa, co można zobrazować jak na (Rys. 3.).

RBpgQYhyDyjru

Rys. 3. Rysunek przedstawia wykres zależności drogi oznaczonej małą czarną literą s mierzonej w metrach od czasu oznaczonego małą czarną literą t mierzonego w sekundach. Wykres zależności stanowi narysowaną kolorem czarnym rosnącą funkcję kwadratową (wartości tej funkcji rosną od zera do około 38 metrów). Wartości drogi dla kolejnych sekund ruchu oznaczono na wykresie czerwonymi kropkami.

Przykład 2.

Ruch opisany jest za pomocą następujących funkcji opisujących drogę w zależności od czasu:

(a) $s(t) = (5\,\text{m/s}^2) t^2 + (1,5\,\text{m/s}) t$

(b) $s(t) = (4,905\,\text{m/s}^2)t^2$

W przypadku (a) jest to opis ruchu jednostajnie przyspieszonego, w którym przyspieszenie wynosi $10\,\text{m/s}^2$, a prędkość początkowa $1,5\,\text{m/s}$.

W przypadku (b) równanie opisuje ruch jednostajnie przyspieszony. Może to być np. spadek swobodny w ziemskim polu grawitacyjnym, skoro $a \approx g$.

Słowniczek