Rozwiążemy trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych ma miarę $5$ a przeciwprostokątna miarę $13$.

Rozwiązanie:

Zaczniemy od znalezienia długości drugiej przyprostokątnej. W tym celu skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

RwwA2iClvmURj

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 oraz b, natomiast długość przeciwprostokątnej wynosi trzynaście. Zaznaczono kąt alfa naprzeciw przyprostokątnej o długości 5 oraz kąt beta naprzeciw przyprostokątnej o długości b.

$5^2+b^2={13}^2$

$b^2=144$

$b=12$

Pozostaje znalezienie miar kątów trójkąta.

Skorzystamy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych:

$\sin \alpha =\frac{5}{13}\approx 0,38$

R1Cyt4DHMKBYP

Ilustracja przedstawia tabelę składającą się z czterech kolumn i jedenastu wierszy, przy czym pomiędzy piątym a szóstym wierszem zaznaczono przerwę. W pierwszej kolumnie pierwszego wiersza znajduje się zapis $\alpha \left[°\right]$, w drugiej kolumnie tego wiersza zapisano: $\sin \left(\alpha \right)$ $\cos \left(\beta \right)$, w trzeciej kolumnie zapisano: $\tan \left(\alpha \right)$, w czwartej kolumnie pierwszego wiersza widnieje zapis $\beta \left[°\right]$. W pierwszej kolumnie pod zapisem $\alpha \left[°\right]$ w wierszach od drugiego do jedenastego znajdują się następujące wartości 0 1 2 3 18 19 20 21 22 23, w drugiej kolumnie pod zapisem $\sin \left(\alpha \right)$ $\cos \left(\beta \right)$ znajdują się wartości kolejno: 0,000 0,0175 0,0349 0,0523 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907, w trzeciej kolumnie pod zapisem math>tanα znajdują się wartości kolejno: 0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,03249 0,03443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 w ostatniej kolumnie pod zapisem $\beta \left[°\right]$ znajdują się wartości kolejno: 90 89 88 87 72 71 70 69 68 67. Wartości znajdujące się w dziesiątym i jedenastym wierszu drugiej kolumny zaznaczono w okrąg, są to wartości 0,3746 i zero przecinek trzy tysiące dziewięćset siedem dziesieciotysięcznych.

$\alpha \left[°\right]$	$\sin \alpha \cos \beta$	$\mathrm{tg}\alpha$	$\beta \left[°\right]$
$0$	$0,0000$	$0,0000$	$90$
$1$	$0,0175$	$0,0175$	$89$
$2$	$0,0349$	$0,0349$	$88$
$3$	$0,0523$	$0,0524$	$87$
$18$	$0,3090$	$0,3249$	$72$
$19$	$0,3256$	$0,3443$	$71$
$20$	$0,3420$	$0,3640$	$70$
$21$	$0,3684$	$0,3839$	$69$
$22$	$0,3746$	$0,4040$	$68$
$23$	$0,3907$	$0,4245$	$67$

Zatem

$\alpha \approx 22°$ a $\beta =180°-\left(90°+\alpha \right)\approx 180°-112°=68°$

Odpowiedź:

Omawiany trójkąt ma boki długości $5$, $12$ i $13$ oraz kąty o mierze $90°$, $22°$ i $68°$.

Rozwiążemy trójkąt prostokątnyrozwiązać trójkąt prostokątnyRozwiążemy trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych ma miarę $2$ a kąt naprzeciwko tego boku ma miarę $\alpha =25°$.

Rozwiazanie:

RHvBcbuPEhjjk

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 2 i b, oraz przeciwprostokątnej długości c. Zaznaczono kąt 25 stopni naprzeciw przyprostokątnej o długości 2 oraz kąt beta naprzeciw przyprostokątnej o długości b.

Zaczniemy od znalezienie miary drugiego kąta ostrego $\beta =90°-25°=65°$.

Aby znaleźć długości boków trójkąta skorzystamy z tablicy funkcji trygonometrycznych.

R79IQBtnueJCU

Ilustracja przedstawia tabelę składającą się z czterech kolumn i sześć wierszy, przy czym pomiędzy trzecim a czwartym wierszem zaznaczono przerwę. W pierwszej kolumnie pierwszego wiersza znajduje się zapis $\alpha \left[°\right]$, w drugiej kolumnie tego wiersza zapisano: $\sin \left(\alpha \right)$ $\cos \left(\beta \right)$, w trzeciej kolumnie zapisano: $\tan \left(\alpha \right)$, w czwartej kolumnie pierwszego wiersza widnieje zapis $\beta \left[°\right]$. W pierwszej kolumnie pod zapisem $\alpha \left[°\right]$ w wierszach od drugiego do jedenastego znajdują się następujące wartości 0 1 23 24 25, w drugiej kolumnie pod zapisem $\sin \left(\alpha \right)$ $\cos \left(\beta \right)$ znajdują się wartości kolejno: 0,000 0,0175 0,3907 0,4067 0,4226 w trzeciej kolumnie pod zapisem math>tanα znajdują się wartości kolejno: 0,0000 0,0175 0,4245 0,4452 0,4663 w ostatniej kolumnie pod zapisem $\beta \left[°\right]$ znajdują się wartości kolejno: 90 89 67 66 65. Wartość znajdujące się w szóstym wierszu drugiej kolumny zaznaczono w okrąg, w którym znajduje się wartość 0,4226.

$\alpha \left[°\right]$	$\sin \alpha \cos \beta$	$\mathrm{tg}\alpha$	$\beta \left[°\right]$
$0$	$0,0000$	$0,0000$	$90$
$1$	$0,0175$	$0,0175$	$89$
$18$	$0,3090$	$0,3249$	$72$
$23$	$0,3907$	$0,4245$	$67$
$24$	$0,4097$	$0,4452$	$66$
$25$	$0,4226$	$0,4663$	$65$

$\sin 25°\approx 0,42=\frac{2}{c}$

Zatem $c\approx \frac{2}{0,42}=4,76$.

Długość boku $b$ można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

$b^2=4,{76}^2-2^2\approx 22,66-4=18,66$, więc $b\approx 4,32$.

Odpowiedź:

Omawiany trójkąt ma boki długości $2$, $4,32$ i $4,76$ oraz kąty o mierze $90°$, $25°$ i $75°$.

Rozwiążemy trójkąt wiedząc, że najkrótszy bok trójkąta prostokątnego ma długość $10$ oraz jeden z kątów ostrych tego trójkąta ma miarę $5$ razy większą niż drugi.

Rozwiazanie:

Oznaczmy miarę mniejszego kąta jako $\alpha$. Wówczas $\alpha +5\alpha =90°$, więc $\alpha =15°$. Na przeciwko najmniejszego kąta trójkąta mamy najkrótszy bok. Zatem $\sin \alpha =\sin 15°=\frac{10}{c}\approx 0,2588$. Stąd $c\approx 38,64$. Pozostaje nam obliczyć długość dłuższej przyprostokątnej: ${10}^2+b^2=38,{64}^2$, czyli $b^2\approx 1393,05$

$b\approx 37,32$.

Odpowiedź:

Omawiany trójkąt ma boki długości $10$, $37,32$ i  $38,64$ oraz kąty o mierze $90°$, $15°$ i $75°$.

Wiedząc, że jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę $57°$ oraz że obwód tego trójkąta wynosi $100$ rozwiążemy ten trójkąt.

Rozwiazanie:

Zaczniemy od obliczenia miary drugiego kąta ostrego: $90°-57°=33°$. Oznaczmy długości boków trójkąta jako $a<b<c$. Zachodzą równości: $\mathrm{tg}57°=\frac{b}{a}$, $\sin 57°=\frac{b}{c}$ oraz $a+b+c=100$. Korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych oraz wyznaczając $a$ i $c$ z dwóch pierwszych równań otrzymujemy: $\frac{b}{1,54}+b+\frac{b}{0,84}=100$, po zsumowaniu: $2,84b=100$, więc $b\approx 35,2$, $a\approx \frac{35,2}{1,54}\approx 22,9$ oraz $c\approx \frac{35,2}{0,84}=41,9$.

Odpowiedź:

Przybliżowne długości boków omawianego trójkąta, to $22,9$, $35,2$ i $41,9$ a przybliżone miary jego kątów, to $90°$, $33°$ i $57°$.

W trójkącie prostokątnym wysokość o długości $2\sqrt{2}$ opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Rozwiążemy ten trójkąt.

Rozwiazanie:

Sporządzimy rysunek pomocniczy:

RAMywsr9STcLx

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C z kątem prostym przy wierzchołku C. Długość boku AB oznaczono literą c, długość boku AC oznaczono literą b natomiast długość boku BC oznaczono literą a. Z wierzchołka C opuszczono wysokość o długości $2\sqrt{2}$, której spodek leży w punkcie D na boku A B. Punkt D dzieli podstawę na odcinek BC o długości $2x$ oraz odcinek AD o długości x. Kąt C B A ma miarę beta, natomiast kąt B A C ma miarę alfa.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że $ADC~BDC$, zatem $\frac{2x}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{x}$, więc $2x^2=8$, $x=2$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ADC$ otrzymujemy, że $2^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=b^2$, więc $b=2\sqrt{3}$. Pozostaje zauważyć, że $c=6$ oraz ponownie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, tym razem dla trójkąta $ABC$: $a^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=6^2$, więc $a=2\sqrt{6}$. Znajdziemy teraz miary kątów ostrych tego trójkąta korzystając np. z równości $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. Korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych ustalamy, że $\alpha \approx 55°$, więc $\beta \approx 35°$.

Odpowiedź:

Omawiany trójkąt ma boki długości $2\sqrt{3}$, $2\sqrt{6}$ i $6$ oraz kąty o mierze $90°$, około $35°$ i około $55°$.

podać długości wszystkich jego boków i miary wszystkich kątów

zależności między długościami boków w trójkącie prostokątnym, w którym jeden z kątów ma miarę $\alpha$