Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Funkcje równe
Definicja: Funkcje równe

Funkcja f:XY jest równa funkcji g:XY, gdy dla każdego elementu xX spełniony jest warunek fx=gx.

Równość funkcji  f:XYg:XY możemy zapisać symbolicznie:

(f=g)xX(f(x)=g(x)).

Zwrot „dla każdego” nazywamy kwantfikatorem ogólnym (dużym) i oznaczamy symbolem   .

Analizując definicję funkcji równych możemy zauważyć, że funkcje równefunkcje równefunkcje równe spełniają dwa warunki.

Warunek 1.
Dziedziny obu funkcji są takie same.

Warunek 2.
Dla tych samych argumentów funkcje przyjmują te same wartości.

W jaki sposób możemy sprawdzić równość dwóch funkcji  liczbowych? Pokażemy to na kilku przykładach. Będziemy głównie korzystać z wykresów funkcji.

Przykład 1

Funkcje fg opisane są za pomocą wykresów.

REySFdFk0lifp

Sprawdzimy, czy funkcje te są równe.

Rozwiązanie:

Sprawdzimy, czy spełniony jest pierwszy warunek równości funkcji. W tym celu wyznaczymy dziedziny obu funkcji.

Df=6, 5

Dg=6, 5)

DfDg

Funkcje fg mają różne dziedziny.

Nie jest więc spełniony pierwszy warunek równości funkcji.

Zatem funkcje fg nie są równe.

Przykład 2

Funkcja f opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

-3, 2, -2, 3, -1, 4, 0, 5, 1, 6.

Funkcja g opisana jest za pomocą tabelki.

x

-3

-2

-1

0

1

2

gx

2

3

4

5

6

7

Sprawdzimy, czy te funkcje są równe.

Rozwiązanie:

Sprawdzimy, czy spełniony jest pierwszy warunek równości funkcji. Porównamy dziedziny obu funkcji.

Df=-3, -2, -1, 0, 1,

Dg=-3, -2, -1, 0, 1, 2.

DfDg

Funkcje fg mają różne dziedziny.

Nie jest więc spełniony pierwszy warunek równości funkcji.

Zatem funkcje fg nie są równe.

Przykład 3

Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru.

fx=x+5-2, gdy x.

Funkcja g opisana jest za pomocą wzoru.

gx=x+15+2, gdy x.

Wykażemy, że funkcje fg są równe.

Rozwiązanie:

Aby wykazać, że funkcje fg są równe musimy udowodnić spełnienie obu warunków równości funkcji.

Warunek pierwszy jest spełniony, ponieważ dziedziny obu funkcji są takie same.

Df= oraz Dg=

Df=Dg

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek drugi.

Przekształcimy wzór opisujący funkcję g.

gx=x+15+2=x+15+2·5-25-2=x+5-25-4=

=x+5-21=x+5-2

Po usunięciu niewymierności z mianownika okazało się, że wzory opisujące funkcje fg są identyczne.

Stąd wniosek, że dla dowolnego argumentu wartości funkcji fg są jednakowe.

Zatem funkcje fg są równe.

Przykład 4

Zbadamy, czy funkcje fx=5·x-3x-3gx=5 są równe.

Naszkicujemy wykresy tych funkcji i porównamy je.

Rozwiązanie:

Określimy dziedziny tych funkcji.

Df=3

Dg=

Zauważamy, że DfDg.

Stąd wniosek, że funkcje fg nie są równe.

Wzór funkcji f możemy zapisać w prostszej postaci: fx=5, gdy x3.

Stąd wniosek, że funkcja f dla każdego x3 przyjmuje wartość 5.

Funkcja g przyjmuje wartość 5 dla x.

Naszkicujemy wykresy obu funkcji.

RVYB3nvpxQMWh

Analizując wykresy funkcji fg możemy zauważyć, że różnią się one jednym punktem.

Stąd wniosek, że funkcje fg nie są równe.

Przykład 5

Wykażemy, korzystając z definicji, że funkcje fg są równe.

fx=2x-44x2-16x+16, gx=12x-4.

Rozwiązanie:

Wyznaczymy dziedziny obu funkcji.

Funkcja f – zapiszemy wyrażenie znajdujące się w mianowniku wzoru funkcji  w postaci iloczynowej.

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

fx=2x-42x-42

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera. Zapisujemy to w następującej postaci:

2x-402x4x2

Stąd Df=2.

Po skróceniu wzór funkcji f ma postać:

fx=12x-4, gdy x2.

Dziedziną funkcji g jest zbiór:

Dg=2.

Możemy zauważyć, że spełniony jest pierwszy warunek równości funkcji:

Df=Dg.

Sprawdzimy, czy spełniony jest drugi warunek równości funkcji.

Po przekształceniu wzoru funkcji f otrzymaliśmy wyrażenie algebraiczne, które jest identyczne jak wzór funkcji g.

Okazało się, że wzory funkcji fg są identyczne.

Stąd wynika, że dla dowolnego argumentu wartości funkcji fg są jednakowe.

Funkcje fg są równe.

Przykład 6

Wykażemy, że funkcje fg nie są równe, jeśli:

a) fx=x2-2xx-2, gx=2xx-24-2x,

b) fx=xx, gx=1.

Rozwiązanie:

Ad. a). Wyznaczymy dziedziny obu funkcji.

Dziedzina funkcji f.

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

Zapisujemy to w następującej postaci:

x-20x2

Zatem Df=2.

Dziedzina funkcji g.

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

Zapisujemy to w sposób następujący:

4-2x02·2-x02-x0x2

Zatem Dg=2.

Możemy zauważyć, że spełniony jest pierwszy warunek równości funkcji.

Df=Dg.

Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek drugi. W tym celu przekształcimy tożsamościowo wzory opisujące obie funkcje.

fx=x2-2xx-2=xx-2x-2=x, gdy x2

gx=2xx-24-2x=2xx-2-2·x-2=-x, gdy x2

Aby wykazać, że funkcje fg nie są równe wystarczy znaleźć jeden argument, dla którego wartości funkcji są różne. Np. x=3.

f3=3,

g3=-3.

Zatem funkcje fg nie są równe.

Ad. b). Wyznaczymy dziedziny obu funkcji.

Dziedzina funkcji f.

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

x0

Zatem Df=0.

Dziedzina funkcji g.

Funkcja g przyjmuje wartość 1 dla x.

Zatem Df=.

Dziedziny obu funkcji są różne, czyli nie spełniony jest warunek pierwszy.

Funkcje fg nie są równe.

Ważne!
  1. Funkcje są równe wtedy, gdy mają takie same dziedziny i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości funkcji są równe.

  2. Funkcje nie są równe wtedy gdy mają różne dziedziny lub dla co najmniej jednego argumentu należącego do dziedziny mają różne wartości.

Słownik

funkcje równe
funkcje równe

funkcje, które mają taką samą dziedzinę i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości funkcji są równe