Przeczytaj
Podstawowe pojęcia
Na rysunku przedstawiony jest czworokąt z zaznaczonymi kątami.
Odcinki , , , nazywamy bokami czworokąta . Dla uproszczenia oznaczamy je małymi literami , , , . Litery te są stosowane zarówno do nazywania boków jak i do zapisania długości boków.
Punkty , , , są wierzchołkami czworokąta. Jeśli wierzchołki leżą na jednym boku, to mówimy, że są sąsiednie a w przeciwnym przypadku – są przeciwległe.
Odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki nazywamy przekątną.
Stąd wynika od razu, że czworokąt ma dwie przekątne.
Boki, które mają wspólny wierzchołek, nazywamy bokami sąsiednimi a w przeciwnym przypadku – przeciwległymi.
Kąty , , , nazywamy kątami wewnętrznymi (lub krócej kątami) czworokąta.
Jeśli dwa kąty mają wspólne ramię (bok czworokąta) to są kątami sąsiednimi a w przeciwnym przypadku – przeciwległymi.
Suma kątów czworokąta wynosi .
Podział ze względu na wypukłość kątów
Figurą wypukłą nazywamy taką figurę, dla której odcinek łączący dowolne dwa punkty należące do tej figury jest zawarty w tej figurze.
Kąt jest wypukły jeśli ma miarę mniejszą lub równą . W czworokątach wewnętrzny kąt wypukłykąt wypukły ma miarę mniejszą niż .
Kąt, który ma miarę większą niż nazywany jest kątem wklęsłym.
Pokażemy, że kąt wklęsłykąt wklęsły nie jest wypukły.
Rozwiązanie
Przeanalizujmy rysunek.
Punkty i należą do kąta . Natomiast odcinek w części nie leży w obrębie tego kąta, a to znaczy, że ten kąt nie jest wypukły.
Czworokąt jest wypukłyCzworokąt jest wypukły jeśli jest figurą wypukłą. Czworokąt, jest wklęsłyCzworokąt, jest wklęsły jeśli nie jest figurą wypukłą.
Czworokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy jego wszystkie cztery kąty wewnętrzne są wypukłe. Czworokąt jest wklęsły wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jeden z jego kątów wewnętrznych jest wklęsły.
Przekątne w czworokącie wypukłym zawierają się w tym czworokącie, natomiast w czworokącie wklęsłym jedna przekątna leży poza czworokątem.
Zauważmy, że czworokąt może mieć tylko jeden kąt wklęsły, bo gdyby miał dwa takie kąty, to suma ich miar byłaby większa od a to nie jest możliwe, gdyż suma wszystkich kątów czworokąta jest równa .
Na rysunku poniżej czworokąt niebieski jest wypukły, a zielony jest wklęsły. Przekątne narysowane są linią przerywaną. Widać, że przekątna w czworokącie zielonym leży poza tym czworokątem, więc przekątne nie przecinają się.
W czworokącie wypukłym przekątne się przecinają.
Otrzymaliśmy więc pierwszy podział czworokątów na wypukłe i wklęsłe.
Podział ze względu na równoległość boków
Trapezem nazywamy czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Boki równoległe nazywamy podstawami, a pozostałe dwa boki – ramionami.
Suma kątów przy ramieniu trapezu jest równa .
Jeżeli w czworokącie suma kątów przy jednym z boków jest równa , to ten czworokąt jest trapezem.
Jeśli czworokąt jest trapezem, to jest wypukły.
Własności . i . wynikają z twierdzenia o prostych równoległych przeciętych trzecią prostą. Własności . i . wykluczają sytuację, w której jeden z kątów miałby miarę większą od , więc trapeztrapez jest czworokątem wypukłym.
Na rysunku przedstawione są czworokąty z zaznaczonymi kątami. Pokażemy, które z nich są trapezami, a które nie są.
Rozwiązanie
Czworokąty niebieskie są trapezami, bo suma miar dwóch sąsiednich kątów jest równa .
Czworokąty różowe nie są trapezami, bo jeden z nich jest wklęsły a w pozostałych dwóch suma miar żadnych dwóch sąsiednich kątów nie jest równa .
Punkt przecięcia przekątnych trapezu , w którym dzieli przekątne w stosunku , czyli przy oznaczeniach z rysunku .
Dowód tego twierdzenia wynika wprost z odwrotnego twierdzenia Talesa.
Trapez o równych ramionach nazywany jest trapezem równoramiennym.
W trapezie równoramiennym o różnych podstawach kąty przy podstawach są równe. Ponadto, kąt przy dłuższej podstawie jest ostry, a kąt przy krótszej podstawie jest rozwarty.
Jeśli przekątne w trapezie są równej długości, to jest on trapezem równoramiennym.
Skorzystamy z rysunku. Jeśli trapez ma podstawy różnej długości, to jego ramiona można przedłużyć do punktu tak, by powstał trójkąt , w którym . Z twierdzenia Talesa wynika, że jeśli , to trójkąt jest równoramienny, więc kąty przy wierzchołku i są równe. Stąd kąty trapezu przy wierzchołkach i są równe jako kąty przyległe do kąta . To dowodzi własności .
Aby pokazać własność ., załóżmy, że przekątne i są równej długości. Stąd i z twierdzenia o przekątnych trapezu wynika, że oraz . Poza tym trójkąty i mają równe kąty przy wierzchołku jako kąty wierzchołkowe.
Z cechy przystawanie trójkątów trójkąty i są przystające i stąd .
Pokażemy, że jeśli w trapezie kąty przy podstawie są równe, to trapez jest równoramienny.
Rozwiązanie
Jeśli kąty przy podstawie są kątami prostymi, to trapez jest prostokątem, czyli jest równoramienny. W przeciwnym przypadku przedłużenia ramion przecinają się tworząc trójkąt równoramienny. Druga podstawa trapezu ma wierzchołki na ramionach kąta, który tworzą przedłużenia ramion trapezu. Z równoległości podstaw trapezu i z twierdzenia Talesa wynika, że trapez jest równoramiennytrapez jest równoramienny.
Klasycznie równoległobokrównoległobok definiuje się jako czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Stąd wynika, że równoległobok jest trapezem.
Spróbujmy jednak scharakteryzować trapez, w którym podstawy są równej długości.
Trapez, którego podstawy są równe, jest równoległobokiem.
Równoległobok jest trapezem równoramiennym.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie.
Jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to czworokąt jest równoległobokiem.
Suma sąsiednich kątów w równoległoboku jest równa , a kąty przeciwległe są równe.
Na rysunku odcinki i mają równe długości. Linie przerywane przedstawiają proste przechodzące przez punkty , i , , odpowiednio. Proste te są równoległe, bo w przeciwnym przypadku miałyby punkt przecięcia i wtedy twierdzenie Talesa przeczyłoby równości podstaw i .
To dowodzi własności . oraz .
Własności . i . wynikają z twierdzenia o przekątnych w trapezie i z twierdzenia Talesa.
Natomiast własność . wynika z faktu, że ramiona równoległoboku są zarówno podstawami jak i ramionami, a suma kątów przy ramionach trapezu jest równa
.
Pokażemy, że przekątna równoległoboku dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające.
Rozwiązanie
Weźmy dowolną przekątną równoległoboku, na przykład na rysunku.
Wtedy odpowiednie boki w trójkątach i są równe, więc na mocy cechy przystawania trójkąty te są przystające.
Otrzymaliśmy więc podział czworokątów wypukłych jak na rysunku.
Podział ze względu na kąt prosty
Z faktu, że w czworokącie jest jeden kąt prosty, nie wynika jakaś szczególna własność. Taki czworokąt może być zarówno wypukły jak i wklęsły. Zatem do klasyfikacji potrzeba jeszcze dodatkowych warunków.
Jeśli zapytamy o czworokąty, w których są dwa kąty proste, to wykluczymy czworokąty wklęsłe, bo suma dwóch pozostałych kątów jest wtedy równa .
Jeśli czworokąt ma dwa przeciwległe kąty proste, to możemy tylko powiedzieć, że jest wypukły.
Jeśli natomiast ma dwa sąsiednie kąty proste, to jest trapezem jak pokażemy w dowodzie własności prostokątaprostokąta.
Trapez, w którym kąt przy podstawie jest prosty, nazywamy trapezem prostokątnym.
Wprost z własności kątów trapezu wynika, że trapez prostokątny ma dwa kąty proste przy ramieniu.
Na rysunku przedstawiono czworokąty, które mają przynajmniej jeden kąt prosty. Określimy rodzaj podanych czworokątów.
Rozwiązanie
Czworokąty różowe mają jeden kąt prosty. Jeden z nich jest wypukły (po lewej) a drugi jest wklęsły. Nie mają żadnych dodatkowych cech charakterystycznych.
Czworokąt zielony ma przeciwległe kąty proste. Jest wypukły i nie ma żadnych dodatkowych cech charakterystycznych.
Czworokąty niebieskie mają dwa kąty sąsiednie proste. Są trapezami prostokątnymi.
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.
Prostokąt jest trapezem prostokątnym.
Prostokąt jest równoległobokiem.
Jeżeli w trapezie kąty przy podstawie są proste, to ten trapez jest prostokątem.
Jeżeli w równoległoboku jeden z kątów jest prosty, to jest on prostokątem.
Skorzystamy z oznaczeń na rysunku
Załóżmy, że w czworokącie kąty przy wierzchołkach i są proste. Wtedy boki i są równoległe, więc czworokąt ten jest trapezem prostokątnym. Z definicji prostokąta wynika też, że kąt przy wierzchołku jest prosty i stąd . Zatem prostokąt jest równoległobokiem. Pokazaliśmy więc własności .
i .
Jeżeli kąty przy podstawie trapezu są proste, to i są prostopadłe do oraz , ale jest równoległa do , więc i są prostopadłe do . Stąd jest prostokątem.
Załóżmy, że w równoległoboku kąt przy wierzchołku jest prosty. Wtedy kąt przeciwległy do niego ma tę samą miarę, więc też jest prosty. Natomiast miary kątów sąsiednich do tego kąta sumują się z nim do , więc kąty sąsiednie są proste. Pokazaliśmy więc, że równoległobok jest prostokątem.
Wprost z faktu, że prostokąt jest równoległobokiem, wynika, że przeciwległe boki prostokąta są równe i że przekątne prostokąta dzielą się w połowie.
Na rysunku przedstawiona jest litera . Pokażemy, z jakich rozłącznych czworokątów można zbudować tę literę.
Rozwiązanie
Podział wzdłuż zaznaczonych odcinków wskazuje dwa prostokąty i jeden równoległobok.
Ten rysunek przedstawia podział na równoległobok i dwa trapezy.
Kolejna linia dzieli literę na dwa trapezy i dwa prostokąty.
Otrzymaliśmy więc podział trapezów jak na rysunku.
Podział ze względu na równość boków
Kolejną cechą pozwalającą rozróżniać czworokąty jest równość boków.
Jeżeli czworokąt ma dwie pary równych boków przeciwległych, to jest on równoległobokiem.
Jeśli czworokąt ma dwie pary równych boków sąsiednich, to dostaniemy czworokąt deltoidalnyczworokąt deltoidalny, a jeśli dodatkowo założymy, że jest wypukły, to dostaniemy deltoid.
Ostatecznie, jeśli czworokąt ma wszystkie boki równe, to jest rombemrombem.
Kwadrat definiuje się jako czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste.
Zatem kwadratkwadrat jest prostokątem, który ma wszystkie boki równe i jednocześnie jest rombem, który ma wszystkie kąty równe.
Na rysunku równe boki oznaczone są tym samym kolorem. Określimy rodzaje narysowanych czworokątów.
Rozwiązanie
Niebieskie figury to od lewej: deltoiddeltoid, bo jest wypukły i ma dwie pary równych boków sąsiednich; kolejny jest czworokątem deltoidalnym, bo jest wklęsły i ma dwie pary równych boków sąsiednich; trzeci z nich jest równoległobokiem, bo ma równe dwie pary przeciwległych boków. Figury zielone to romby, bo mają wszystkie boki równe, a romb po prawej jest kwadratem.
Na rysunku w powyższym przykładzie zaznaczono również przekątne. Zauważmy, że w deltoidzie i dwóch rombach przekątne przecinają się pod kątem prostym.
Przekątne deltoidu przecinają się pod kątem prostym i jedna z przekątnych dzieli drugą na połowy.
Jeśli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym i jedna z przekątnych dzieli drugą na połowy, to jest on deltoidem.
Przekątne rombu przecinają w połowie i pod kątem prostym.
Niech czworokąt będzie deltoidem, przy czym i
.
Poprowadźmy symetralną przekątnej . Symetralna odcinka jest zbiorem punktów równoodległych od końców tego odcinka. Stąd wynika, że wierzchołki i leżą na symetralnej, więc przekątna przecina przekątną pod kątem prostym. W ten sposób pokazaliśmy własność .
Do dowodu własności również wykorzystamy symetralną. Jeśli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym i przekątna dzieli na połowy. Wtedy czworokąt jest wypukły i BD leży na symetralnej odcinka .
Stąd i , więc czworokąt jest deltoidem.
Ponieważ romb jest deltoidem, to przekątne przecinają się pod kątem prostym. A ponieważ jest również równoległobokiem, to przekątne dzielą się w połowie.
Przekątne kwadratu są prostopadle do siebie i dzielą się w połowie, bo kwadrat jest rombem.
Otrzymaliśmy więc podział czworokątów jak na rysunku.
Ostateczna klasyfikacja czworokątów wygląda następująco:
Słownik
kąt, który ma miarę mniejszą lub równą
kąt, który ma miarę większą niż
czworokąt, którego wszystkie cztery kąty wewnętrzne są wypukłe
czworokąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest wklęsły
czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych
trapez, którego ramiona mają równe długości
czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych
czworokąt, który ma wszystkie kąty proste
czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste
czworokąt, który ma wszystkie boki równe
czworokąt wypukły, który ma dwie pary równych boków sąsiednich
czworokąt, który ma dwie pary równych boków sąsiednich