Przeczytaj

Warto przeczytać

Pole fizyczne definiuje się jako przestrzeń, dla której możemy określić w każdym punkcie określoną wielkość fizyczną. Wielkością charakteryzującą pole oddziaływań, pozwalającą na porównanie różnych jego punktów (a także i źródeł), jest natężenie pola.

Jeśli w takiej przestrzeni umieścimy ładunki elektryczne, na które zacznie działać siła powodująca ich ruch, to wówczas mamy do czynienia z polem elektrostatycznym, a pojawiającą się siłę nazywamy siłą elektrostatyczną $\vec{F_{e}}$ . Stosunek tej siły do ładunku próbnego q, to właśnie wspomniane wcześniej natężenie pola elektrostatycznego $\vec{E}$ :

\vec{E} = \frac{\vec{F_{e}}}{q}

gdzie:

$\vec{E}$ – natężenie pola elektrostatycznego [N/C],

$\vec{F_{e}}$ – siła oddziaływania elektrostatycznego [N],

q – ładunek próbny [C].

Jeśli źródłem pola elektrostatycznego jest ładunek punktowy, to wywołane przez taki ładunek pole nazywamy polem centralnym i obrazujemy za pomocą promieniście rozchodzących się linii pola (Rys. 1.).

R1JJb7ENzzMS2

Rys. 1. Na rysunku znajduje się mała kulka symbolizująca ładunek punktowy. Ładunek oznaczony jest literą wielkie Q. Od kulki rozchodzą się promieniście linie proste. — Rys. 1. Rozkład linii pola wokół ładunku centralnego.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Kolejnym krokiem jest określenie zwrotu tych linii. Wyznacza się go umieszczając w pobliżu ładunku centralnego próbny ładunek dodatni i obserwując jego zachowanie.

RDPmVzpUvte4K

Rys. 1a. Na rysunku znajduje się czerwona kulka ze znakiem plus symbolizująca dodatni ładunek punktowy. Ładunek oznaczony jest literą wielkie Q. Od kulki rozchodzą się promieniście linie proste. Na jednej z linii zaznaczono punkt symbolizujący próbny ładunek dodatni. Obok niego zapisano nierówność małe q jest większe od zera. Do ładunku próbnego przyłożony jest wektor siły skierowany wzdłuż linii pola i zwrócony od ładunku wielkie Q. Wektor oznaczony jest literą wielkie F. — Rys. 1a. Ładunek dodatni q jest odpychany siłą $\vec{F}$ od centrum pola.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Jeśli ładunek centralny jest dodatni, to ładunek próbny zostanie odepchnięty od niego (Rys. 1a.) – zwrot linii pola jest więc skierowany od źródła (Rys. 2.).

RjAZ1fw6817BG

Rys. 2. Na rysunku znajduje się czerwona kulka ze znakiem plus symbolizująca dodatni ładunek punktowy. Ładunek oznaczony jest literą wielkie Q. Od kulki rozchodzą się promieniście linie proste. Na liniach są strzałki zwrócone od ładunku. — Rys. 2. Rozkład linii pola wokół ładunku centralnego dodatniego.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Jeśli jednak ładunek centralny jest ujemny, to ładunek próbny zostanie przyciągnięty – zwrot linii pola będzie więc skierowany do źródła (Rys. 3.).

RMRskfTTOMGVs

Rys. 3. Na rysunku znajduje się niebieska kulka ze znakiem minus symbolizująca ujemny ładunek punktowy. Ładunek oznaczony jest literą wielkie Q. Od kulki rozchodzą się promieniście linie proste. Na liniach są strzałki zwrócone do ładunku. — Rys. 3. Rozkład linii pola wokół ładunku centralnego ujemnego.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Wektor natężenia pola ma kierunek i zwrot siły działającej na ładunek próbny, czyli zgodny ze zwrotem linii pola, a wartość natężenia pola w poszczególnych jego punktach można obliczyć ze wzoru:

E = \frac{F}{q}

R1cs6hEZOoB2x

Rys. 3a. Na rysunku znajduje się czerwona kulka ze znakiem plus symbolizująca dodatni ładunek punktowy. Ładunek oznaczony jest literą wielkie Q. W odległości małe r od środka kulki zaznaczono punkt symbolizujący próbny ładunek dodatni. Do ładunku próbnego przyłożony jest wektor siły o kierunku zgodnym z kierunkiem linii prostej przechodzącej przez oba ładunki i o zwrocie od ładunku wielkie Q. Wektor siły oznaczony jest literą wielkie F. Do ładunku próbnego przyłożony jest drugi wektor o kierunku i zwrocie takim, jak wektor wielkie F, ale o długości nieco większej. Wektor ten oznaczony jest literą wielkie E. — Rys. 3a. Na ładunek próbny q umieszczony w odległości r od źródła pola Q działa siła $\vec{F}$ , której wartość obliczamy z prawa Coulomba. Wektor natężenia pola $\vec{E}$ ma kierunek i zwrot zgodny z $\vec{F}$ .
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Siła oddziaływania pomiędzy źródłem Q i ładunkiem próbnym q jest opisana prawem Coulomba. Wartość natężenia pola w odległości r od źródła wyraża się wtedy wzorem:

E = \frac{k \frac{Qq}{r^{2}}}{q} = k \frac{Q}{r^{2}}

Zauważymy, że natężenie pola elektrostatycznego zależy od ładunku centralnego i maleje z kwadratem odległości od środka tego ładunku.

Sytuacja komplikuje się jednak, gdy źródeł jest więcej – wówczas wielkości charakteryzujące te pola dodają się zgodnie z zasadą superpozycjisuperpozycjasuperpozycji.

Natężenie pola pochodzące od kilku źródeł jest sumą wektorową natężeń wytworzonych przez każde ze źródeł osobno.

W przypadku dwóch źródeł wytwarzających w danym punkcie pola o natężeniach $\vec{E_{1}}$ i $\vec{E_{2}}$ wypadkowe natężenie pola w tym punkcie:

\vec{E} = \vec{E_{1}} + \vec{E_{2}}

W przypadku N źródeł:

\vec{E} = \vec{E_{1}} + \vec{E_{2}} + \dots + \vec{E_{N}}

Rozważmy następujący przykład:

Umieśćmy dwa ładunki o wartościach 1 muC i -5 muC w odległości 1 metra (Rys. 4.), a następnie obliczmy natężenie pola elektrostatycznego w punkcie P - w połowie odległości pomiędzy ich środkami.

R1QX59scZg44h

Rys. 4. Na rysunku znajdują się dwie kulki, których środki leżą na poziomej linii prostej. Lewa kulka jest mniejsza i ma barwę czerwoną. Zapisano przy niej równość: małe q z indeksem dolnym jeden równa się plus jeden mikrokulomb. Prawa, większa kulka jest niebieska. Zapisano przy niej równość: małe q z indeksem dolnym dwa równa się minus pięć mikrokulombów. Odległość między środkami kulek oznaczono równością: małe r równa się jeden metr. W punkcie leżącym w połowie odległości pomiędzy środkami kulek narysowano punkt oznaczony litera wielkie P. — Rys. 4. Dwa ładunki różnoimienne: 1 μC i -5 μC w odległości 1m.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Możemy wykreślić wektory natężeń pola elektrostatycznego pochodzące od tych ładunków (Rys. 5.).

R1BKUS9MCzkM8

Rys. 5. Na rysunku znajdują się wszystkie elementy rysunku czwartego. Do punktu leżącego w połowie odległości pomiędzy środkami kulek przyłożone są dwa wektory leżące na linii łączącej środki kulek i zwrócone w prawo, w stronę niebieskiej kulki symbolizującej ładunek ujemny. Niebieski wektor, oznaczony literą wielkie E z indeksem dolnym dwa, ma większą długość niż wektor czerwony, oznaczony literą wielkie E z indeksem dolnym jeden. — Rys. 5. Wektory natężeń pola elektrostatycznego $\vec{E_{1}}$ i $\vec{E_{2}}$ mają zgodne zwroty.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Dodając wektory do siebie otrzymujemy wypadkowy wektor natężenia pola elektrostatycznego $\vec{E_{w}} = \vec{E_{1}} + \vec{E_{2}}$ .

R15FTnoqaMqj9

Rys. 6. Na rysunku znajdują się wszystkie elementy rysunku piątego, z tym że dwa wektory przyłożone do punktu wielkie P zastąpione zostały przez jeden dłuższy wektor wypadkowy o takim samym kierunku i zwrocie. Pod wektorem zapisano równanie: litera wielkie E z indeksem dolnym w, równa się litera wielkie E z indeksem dolnym jeden plus litera wielkie E z indeksem dolnym dwa. — Rys. 6. Wypadkowy wektor natężenia pola elektrostatycznego $\vec{E_{w}}$ .
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Możemy zapisać, że:

x = \frac{1}{2} r = 0, 5 m

E_{1} = k \frac{q_{1}}{x^{2}} = 9 \cdot 10^{9} \frac{N m^{2}}{C^{2}} \cdot \frac{1 \cdot 10^{- 6} C}{(0, 5 m)^{2}} \approx 3, 6 \cdot 10^{4} \frac{N}{C}

E_{2} = k \frac{q_{2}}{x^{2}} = 9 \cdot 10^{9} \frac{N m^{2}}{C^{2}} \cdot \frac{5 \cdot 10^{- 6} C∖textasciitilde}{(0, 5 m)^{2}} \approx 18 \cdot 10^{4} \frac{N}{C}

Zatem wartość wypadkowego natężenia pola elektrostatycznego jest równa:

E_{1} + E_{2} = 3, 6 \cdot 10^{4} \frac{N}{C} + 18 \cdot 10^{4} \frac{N}{C} = 21, 6 \cdot 10^{4} \frac{N}{C}

A jak będzie wyglądała sytuacja w przypadku większej liczby ładunków źródłowych? Przyjrzyjmy się najpierw symulacjom przedstawiającym pole elektryczne wytwarzane przez układ trzech oraz czterech punktowych ładunków elektrycznych o tej samej wartości bezwzględnej przedstawionych za pomocą czerwonych i niebieskich kulek (niebieski umownie reprezentuje „–”, zaś czerwony – „+”). Czarne strzałki oznaczają zwrot linii pola elektrycznego.
Symulacje zostały wykonane z użyciem apletu „Ładunki i pola elektryczne”, dostępnego na stronie: https://www.edukator.pl/site/applet/?id=288.

Dla trzech ładunków:

R17WkcFT2VNpL

Na rysunku pierwszym dwie niebieskie kulki ze znakiem minus leżą na jednej linii poziomej. Nad środkiem odcinka łączącego te kulki położona jest trzecia niebieska kulka ze znakiem minus. W pobliżu każdej kulki czarne strzałki skierowane są promieniście w stronę kulki. W większych odległościach od kulek strzałki stają się bardziej szare, co ma symbolizować zmniejszanie natężenia pola, gdy rośnie odległość od źródła pola. Wszystkie strzałki leżące na linii poziomej łączącej dolne kulki mają kierunek poziomy. Na lewo od lewej kulki strzałki skierowane są w prawo. Między lewą kulką i środkiem odcinka łączącego kulki strzałki skierowane są w lewo. Między środkiem odcinka łączącego kulki i prawą kulką strzałki skierowane są w prawo. Na prawo od prawej kulki strzałki skierowane są w lewo. Wszystkie strzałki leżące na linii symetralnej odcinka łączącego dolne kulki mają kierunek pionowy. Nad górną kulką strzałki skierowane są w dół. Między górną kulką i środkiem odcinka łączącego dolne kulki strzałki skierowane są w górę. Poniżej odcinka łączącego dolne kulki strzałki skierowane są w dół. Po obu stronach symetralnej pod odcinkiem strzałki skierowane są ukośnie w dół i w lewo po lewej stronie oraz w dół i w prawo po prawej stronie. W obszarze pod prawą, dolną kulką strzałki zmieniają kierunek i są skierowane ukośnie w górę i w prawo, dalej pionowo w górę i jeszcze dalej w górę i w lewo. Podobnie wygląda układ strzałek pod lewą dolną kulką. 2) Na rysunku drugim na jednej linii poziomej leży z lewej strony niebieska kulka ze znakiem minus, a z prawej strony czerwona kulka ze znakiem plus. Nad środkiem odcinka łączącego te kulki położona jest trzecia niebieska kulka ze znakiem minus. W pobliżu niebieskich kulek czarne strzałki skierowane są promieniście w stronę kulki. W pobliżu czerwonej kulki czarne strzałki skierowane są promieniście od kulki. Wszystkie strzałki leżące na linii poziomej łączącej dolne kulki mają kierunek poziomy. Na lewo od lewej kulki strzałki skierowane są w prawo. Między lewą kulką i środkiem odcinka łączącego dolne kulki strzałki skierowane są w lewo. Między środkiem odcinka łączącego kulki i prawą kulką strzałki skierowane są w prawo a bliżej czerwonej kulki zmieniają zwrot na przeciwny. Na prawo od czerwonej kulki strzałki skierowane są w prawo. Wszystkie strzałki leżące na linii symetralnej odcinka łączącego dolne kulki mają kierunek pionowy. Nad górną kulką strzałki skierowane są w dół. Między górną kulką i środkiem odcinka łączącego dolne kulki strzałki skierowane są w górę. Poniżej odcinka łączącego dolne kulki strzałki skierowane są w dół. Po obu stronach symetralnej pod odcinkiem strzałki skierowane są ukośnie w dół i w lewo po lewej stronie oraz w dół i w prawo po prawej stronie. W obszarze pod prawą, czerwoną kulką strzałki zmieniają kierunek i są skierowane ukośnie w dół i w lewo, dalej pionowo w dół i jeszcze dalej w dół i w prawo. Pod lewą niebieską kulką strzałki skierowane są ukośnie w górę i w prawo. — Rys. 7. Układ trzech ładunków jednoimiennych ujemnych oraz dwóch ujemnych i dodatniego.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

R1IhlvxoJqTeG

Na rysunku po lewej stronie są dwie czerwone kulki ze znakiem plus i leżą one na jednej linii poziomej. Nad środkiem odcinka łączącego te kulki położona jest trzecia czerwona kulka ze znakiem plus. W pobliżu każdej kulki czarne strzałki skierowane są promieniście od kulki. Wszystkie strzałki leżące na linii symetralnej odcinka łączącego dolne kulki mają kierunek pionowy. Nad górną kulką strzałki skierowane są w górę. Pod górną kulką w dół. Po obu stronach symetralnej pod odcinkiem strzałki skierowane są ukośnie w dół i w lewo po lewej stronie oraz w dół i w prawo po prawej stronie. W obszarze pod prawą, dolną kulką strzałki zmieniają kierunek i są skierowane ukośnie w dół i w prawo, a dalej w dół i w lewo. W obszarze na prawo od prawej, dolnej kulki strzałki znów skierowane są w dół i w prawo. Układ strzałek pod lewą, dolną kulką jest symetryczny względem symetralnej. Na rysunku po prawej stronie są dwie czerwone kulki ze znakiem plus i leżą one na jednej linii poziomej. Nad środkiem odcinka łączącego te kulki położona jest trzecia niebieska kulka ze znakiem minus. W pobliżu niebieskiej kulki czarne strzałki skierowane są promieniście w stronę kulki. W pobliżu obu czerwonych kulek czarne strzałki skierowane są promieniście od kulki. W obszarach pośrednich kierunki strzałek są zgodne z kierunkami wektorów wypadkowych natężeń pochodzących od sąsiednich kulek. — Rys. 8. Układ trzech ładunków jednoimiennych dodatnich oraz dwóch dodatnich i ujemnego.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Dla czterech ładunków:

R1M19Ov7hZlza

Na rysunku drugim na jednej linii poziomej leży z lewej strony niebieska kulka ze znakiem minus, a z prawej strony czerwona kulka ze znakiem plus. Nad środkiem odcinka łączącego te kulki położona jest trzecia niebieska kulka ze znakiem minus. W pobliżu niebieskich kulek czarne strzałki skierowane są promieniście w stronę kulki. W pobliżu czerwonej kulki czarne strzałki skierowane są promieniście od kulki. Wszystkie strzałki leżące na linii poziomej łączącej dolne kulki mają kierunek poziomy. Na lewo od lewej kulki strzałki skierowane są w prawo. Między lewą kulką i środkiem odcinka łączącego dolne kulki strzałki skierowane są w lewo. Między środkiem odcinka łączącego kulki i prawą kulką strzałki skierowane są w prawo a bliżej czerwonej kulki zmieniają zwrot na przeciwny. Na prawo od czerwonej kulki strzałki skierowane są w prawo. Wszystkie strzałki leżące na linii symetralnej odcinka łączącego dolne kulki mają kierunek pionowy. Nad górną kulką strzałki skierowane są w dół. Między górną kulką i środkiem odcinka łączącego dolne kulki strzałki skierowane są w górę. Poniżej odcinka łączącego dolne kulki strzałki skierowane są w dół. Po obu stronach symetralnej pod odcinkiem strzałki skierowane są ukośnie w dół i w lewo po lewej stronie oraz w dół i w prawo po prawej stronie. W obszarze pod prawą, czerwoną kulką strzałki zmieniają kierunek i są skierowane ukośnie w dół i w lewo, dalej pionowo w dół i jeszcze dalej w dół i w prawo. Pod lewą niebieską kulką strzałki skierowane są ukośnie w górę i w prawo. — Rys. 9. Układ czterech ładunków jednoimiennych ujemnych oraz trzech ujemnych i dodatniego.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

RgwBIRMx72JCN

Podobnie jak poprzednio, z tą różnicą, że dwa ładunku, ten po lewej stronie oraz u dołu są dodatnie, natomiast pozostałe dwa ujemne. Strzałki odbiegają promieniście od ładunków dodatnich, a zmierzają do ujemnych. Na ilustracji po prawej stronie, również dwa dodatnie, dwa ujemne ładunki. Tym razem dolny i górny dodatni, a lewy i prawy ujemny. — Rys. 10. Układ czterech ładunków różnoimiennych w różnych konfiguracjach.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

R1dxqLXlGSFI3

Na pierwszej ilustracji trzy ładunki dodatnie, natomiast tylko jeden, ten po prawej stronie ujemny. Na ilustracji drugiej, wszystkie cztery ładunki dodatnie. Wszystkie strzałki rozbieżne. — Rys. 11. Układ trzech ładunków dodatnich i ujemnego oraz czterech jednoimiennych dodatnich.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Widzimy, jak prezentują się linie pola elektrostatycznego. Rozpatrzmy teraz jedną z tych sytuacji.

W wierzchołkach kwadratu o boku a = 2 m umieśćmy cztery ładunki elektryczne: dwa dodatnie i dwa ujemne o jednakowych wartościach q = 0,05 muC. Następnie, wyznaczmy wypadkowe natężenie pola elektrycznego w punkcie P leżącym w środku tego kwadratu.

R1Jr6QqPQgIo1

Zaprezentowano cztery ładunki elektryczne w czterech wierzchołkach kwadratu, dwa ujemne oznaczone jako 1 i 3 w lewym dolnym i górnym rogu, dwa dodatnie oznaczone 2 i 4 w prawym górnym i dolnym rogu. Długość boku kwadratu a. Środek stanowiący punkt przecięcia się przekątnych oznaczono jako wielkie P. — Rys. 12. Układ czterech ładunków różnoimiennych w wierzchołkach kwadratu.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Narysujmy najpierw wektory natężenia pola pochodzące od poszczególnych ładunków, a następnie dodajmy wektory mające ten sam kierunek i zwrot.

R1bQjKfnTsLFe

Sytuacja jak na rysunku poprzednim. Oznaczono wektor w punkcie P w kierunku ładunku ujemnego 1 podpisany wektor E z indeksem 1 plus wektor E z indeksem 4. W kierunku ładunku ujemnego 3 zaznaczono wektor E z indeksem 2 plus wektor E z indeksem 3. — Rys. 13. Rozkład wektorów natężenie pola pochodzącego od poszczególnych ładunków.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Przekątna kwadratu ma długość $a \sqrt{2}$ , czyli odległość punktu P od ładunku to $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ . Korzystając z prawa Coulomba możemy więc zapisać, że:

E_{1} + E_{4} = 2 \cdot k \cdot \frac{q}{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = 4 k \frac{q}{a^{2}}

E_{2} + E_{3} = E_{1} + E_{4} = 4 k \frac{q}{a^{2}}

R6fshyCR5xsF0

Pomiędzy wektorami opisanymi na rysunku powyżej oznaczono wektor wypadkowy, podpisany jako wektor E z indeksem w. — Rys. 14. Natężenie wypadkowe dla układu czterech ładunków różnoimiennych.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Natężenie wypadkowe jest więc przekątną w powstałym kwadracie. Jego wartość wynosi więc:

E_{w} = (E_{1} + E_{4}) \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} k \frac{q}{a^{2}}

E_{w} = 4 \sqrt{2} \cdot 9 \cdot 10^{9} \frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} \cdot \frac{0, 05 \cdot 10^{- 6} C}{{(2 m)}^{2}} \approx 636 \frac{N}{C}

Słowniczek

superpozycja

(ang.: superposition) nakładanie się na siebie wielkości pochodzących z różnych źródeł.

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Warto przeczytać

Słowniczek