Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przypomnijmy, że pierwiastkiem stopnia n z liczby nieujemnej a jest taka liczba nieujemna b, która podniesiona do potęgi n jest równa liczbie a, czyli

an=b wtedy i tylko wtedy, gdy a=bn, dla a0, b0n0, 1.

Ponadto jeśli stopień pierwiastka jest liczbą nieparzystą, to możemy zdefiniować również pierwiastek z liczby ujemnej.

Własności pierwiastkowania
Własność: Własności pierwiastkowania

Przy okazji wcześniejszych tematów omówiliśmy dwie własności pierwiastkowania:

  • rozdzielność pierwiastkowania względem mnożenia, która orzeka, że:
    abn=anbn, dla a0, b0n0, 1,

  • rozdzielność pierwiastkowania względem dzielenia, która orzeka, że:
    a:bn=an:bn, dla a0, b>0n0, 1.

Analogiczne własności mają pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych.

W poniższej tabelce zestawimy pozostałe własności pierwiastkowania wraz z koniecznymi założeniami:

ann=a

a, n0, 1

ann=a

a0, n0, 1

anp=apn

a0, p, n0, 1

Rozważmy teraz następujący przykład.

Przykład 1

7293=273=3

7293=9=3

7296=3

10245=325=2

10245=4=2

102410=2

Na podstawie powyższego przykładu można postawić hipotezę, że:

amn=anm=anm, dla a0 oraz n, m0, 1, której dowód tutaj pomijamy.

W trakcie rozwiązywania zadań będą nam przydatne również prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych:

  • przemienność dodawania i mnożenia:
    a+b=b+a oraz ab=ba, dla dowolnych a, b;

  • rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania:
    ax+y=ax+ay oraz ax-y=ax-ay, dla dowolnych a, x, y;

  • prawostronna rozdzielność dzielenia względem dodawania i odejmowania:
    x+y:a=x:a+y:a oraz x-y:a=x:a-y:a, dla dowolnych x, y, a0.

Przykład 2

Przekształcimy do postaci sumy następujące wyrażenia:

a) 2-13+1=

rozdzielności mnożenia względem odejmowaniarozdzielność mnożenia względem odejmowaniarozdzielności mnożenia względem odejmowania.

=2·3+1-13+1=

rozdzielności mnożenia względem dodawaniarozdzielność mnożenia względem dodawaniarozdzielności mnożenia względem dodawania.

=23+2-3-1=

Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.

=6+2-3-1

b) 2+32-4=

Z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

=2·2-4+3·2-4=

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.

=22-42+32-34=

Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.

=2-42+32-12=

Redukcja wyrazów podobnych.

=-2-10

c) 253+5:53=

=253:53+5:53=

Z rozdzielności dzielenia względem dodawania.

=25:53+553=

Z rozdzielności pierwiastkowania względem dzielenia.

=53+553253253=

Usunięcie niewymierności z mianownika.

=53+52535=

=53+253

Przykład 3

Przedstawimy podane liczby w postaci iloczynów

a) 85-45=

=425-45=

Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.

=4525-45=

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.

=45·25-1

b) 104-324-454+12=

Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.

=2454-324-454+12=

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.

=24·54-3-4·54-3=

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.

=54-324-4

Przykład 4

Uprościmy wyrażenie 1087+547+2277367+187+297:

1087+547+2277367+187+297=2747+2727+2277947+927+297=

=277 47+27727+227797 47+9727+297=277·47+27+297·47+27+2=27797=37

Przykład 5

Suma dwóch liczb jest równa 10, zaś ich różnica jest równa 5. Wyznaczymy ich iloczyn.

Niech szukanymi liczbami będą ab. Wówczas warunki zadania można zapisać następująco:

a+b=10 1

a-b=5 2

Zauważmy, że gdy dodamy lewą stronę pierwszego równania do lewej strony drugiego równania, zaś prawą stronę pierwszego równania do prawej strony drugiego równania, to otrzymamy równanie:

a+b+a-b=10+5

2a=10+5

a=10+52

Odejmijmy teraz lewą stronę drugiego równania od lewej strony pierwszego równania, zaś prawą stronę drugiego równania od prawej strony pierwszego równania:

a+b-a+b=10-5

2b=10-5

b=10-52

Teraz możemy obliczyć iloczyn liczb ab:

ab=10+5210-52=10+510-54=

=10·10-5+5·10-54=

=1010-105+510-554=10-50+50-54=54

Ważne!

W przekształceniach wyrażeń postaci a+ba-b możesz korzystać z jednego ze wzorów skróconego mnożenia: a+ba-b=a2-b2, które szczegółowo omówimy w innych lekcjach.

Przykład 6

Skorzystamy z powyższego wzoru w następujących przykładach:

7-27+2=72-22=7-4=3

11-311+3=112-32=11-3=8

(23+5)(235)=(23)252=1225=13

Przykład 7

Usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

23-1=23-13+13+1=2·3+13-13+1=2·3-132-12=

=2·3-13-1=2·3-12=3-1

15+2=15+25-25-2=5-25+25-2=

=5-252-22=5-25-2=5-23

Przykład 8

Przedstawimy w postaci sumy następujące wyrażenia:

7+22=7+27+2=7·7+2+2·7+2=

=77+72+27+4=7+27+27+4=11+47

23-52=23-523-5=23·23-5-5·23-5=

=2323-235-523-5-5=12-103-103+25=

=37-203

Ważne!

W przekształceniach wyrażeń postaci a+b2a-b2 możesz korzystać z tzw. wzorów skróconego mnożenia:

a+b2=a2+2ab+b2
a-b2=a2-2ab+b2
Przykład 9

Zastosujemy powyższe wzory do następujących wyrażeń:

32-12=322-2321+12=18-62+1=19-62

2+32=22+223+32=2+26+3=5+26

Słownik

rozdzielność mnożenia względem dodawania
rozdzielność mnożenia względem dodawania

ax+y=ax+ay, dla dowolnych a, x, y

rozdzielność mnożenia względem odejmowania
rozdzielność mnożenia względem odejmowania

ax-y=ax-ay, dla dowolnych a, x, y