Przeczytaj
Przypomnijmy, że pierwiastkiem stopnia z liczby nieujemnej jest taka liczba nieujemna , która podniesiona do potęgi jest równa liczbie , czyli
wtedy i tylko wtedy, gdy , dla , i .
Ponadto jeśli stopień pierwiastka jest liczbą nieparzystą, to możemy zdefiniować również pierwiastek z liczby ujemnej.
Przy okazji wcześniejszych tematów omówiliśmy dwie własności pierwiastkowania:
rozdzielność pierwiastkowania względem mnożenia, która orzeka, że:
, dla , i ,rozdzielność pierwiastkowania względem dzielenia, która orzeka, że:
, dla , i .
Analogiczne własności mają pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych.
W poniższej tabelce zestawimy pozostałe własności pierwiastkowania wraz z koniecznymi założeniami:
Rozważmy teraz następujący przykład.
Na podstawie powyższego przykładu można postawić hipotezę, że:
, dla oraz , której dowód tutaj pomijamy.
W trakcie rozwiązywania zadań będą nam przydatne również prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych:
przemienność dodawania i mnożenia:
oraz , dla dowolnych ;rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania:
oraz , dla dowolnych ;prawostronna rozdzielność dzielenia względem dodawania i odejmowania:
oraz , dla dowolnych , .
Przekształcimy do postaci sumy następujące wyrażenia:
a)
Z rozdzielności mnożenia względem odejmowaniarozdzielności mnożenia względem odejmowania.
Z rozdzielności mnożenia względem dodawaniarozdzielności mnożenia względem dodawania.
Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.
b)
Z rozdzielności mnożenia względem dodawania.
Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.
Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.
Redukcja wyrazów podobnych.
c)
Z rozdzielności dzielenia względem dodawania.
Z rozdzielności pierwiastkowania względem dzielenia.
Usunięcie niewymierności z mianownika.
Przedstawimy podane liczby w postaci iloczynów
a)
Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.
Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.
b)
Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.
Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.
Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.
Uprościmy wyrażenie :
Suma dwóch liczb jest równa , zaś ich różnica jest równa . Wyznaczymy ich iloczyn.
Niech szukanymi liczbami będą i . Wówczas warunki zadania można zapisać następująco:
Zauważmy, że gdy dodamy lewą stronę pierwszego równania do lewej strony drugiego równania, zaś prawą stronę pierwszego równania do prawej strony drugiego równania, to otrzymamy równanie:
Odejmijmy teraz lewą stronę drugiego równania od lewej strony pierwszego równania, zaś prawą stronę drugiego równania od prawej strony pierwszego równania:
Teraz możemy obliczyć iloczyn liczb i :
W przekształceniach wyrażeń postaci możesz korzystać z jednego ze wzorów skróconego mnożenia: , które szczegółowo omówimy w innych lekcjach.
Skorzystamy z powyższego wzoru w następujących przykładach:
Usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:
Przedstawimy w postaci sumy następujące wyrażenia:
W przekształceniach wyrażeń postaci i możesz korzystać z tzw. wzorów skróconego mnożenia:
Zastosujemy powyższe wzory do następujących wyrażeń:
Słownik
, dla dowolnych
, dla dowolnych