Warto przeczytać

Czym jest pole elektryczne?

Jeśli na naładowane ciało działa siła elektrostatyczna, która jest proporcjonalna do ładunku tego ciała, to mówimy, że w przestrzeni istnieje pole elektryczne.

Jeśli pole elektryczne jest niezerowe, to na każdą cząstkę naładowaną umieszczoną w polu elektrycznym działa pewna siła $\vec{F}$. Jest ona jest proporcjonalna do wartości ładunku cząstki $q$ oraz do wektora zwanego natężeniem pola elektrycznego, oznaczanego przez $\vec{E}$, co zapisujemy następująco:

Co zatem się stanie, jeśli w obszar z jednorodnym polempole jednorodnejednorodnym polem elektrycznym wstrzelimy naładowaną cząstkę, niekoniecznie równolegle do linii pola?

Ustalmy układ współrzędnych $x,\,y$ taki, że natężenie pola elektrycznego jest równoległe do osi $Oy$ (Rys. 1), czyli

Rqsa1SR0p0lUV

Rys. 1. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono współrzędną położenia oznaczoną literą małe x, na osi pionowej współrzędną położenia oznaczoną literą małe y. W układzie narysowano dwie poziome linie symbolizujące naładowane płytki. Przy górnej płytce zapisano znaki plus, przy dolnej znaki minus. Od górnej płytki do dolnej narysowano pionowe linie pola elektrycznego zakończone strzałkami skierowanymi w dół. Z lewej strony płytek znajduje się punkt symbolizujący cząstkę. Do cząstki przyłożony jest wektor prędkości skierowany w dół i w prawo i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym zero i strzałką nad nią.

Niech prędkość początkowa cząstki $\vec{v}_0$ będzie skierowana pod kątem $\alpha$ do osi $Ox$. Możemy ją zapisać przy pomocy współrzędnych:

gdzie $v_x = v_0\cos\alpha$ i $v_y = v_0\sin\alpha$.

R1OgVTdARh8h3

Rys. 2. Na rysunku znajduje się wektor prędkości skierowany ukośnie w górę i w prawo i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym zero i strzałką nad nią. Wektor został rozłożony na dwie składowe poziomą i pionową. W tym celu narysowano prostokąt o poziomych i pionowych bokach, którego przekątną jest wektor prędkości. Składowa pozioma wektora to dolny, poziomy bok prostokąta zakończony strzałką skierowana w prawo i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym zero x i strzałką nad nią. Składowa pionowa wektora to lewy, pionowy bok prostokąta zakończony strzałką skierowaną do góry i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym zero y i strzałką nad nią. Kąt ostry między wektorem prędkości i jego składową poziomą oznaczono grecką literą alfa.

Ponieważ pole elektryczne działa na cząstkę niezerową siłą, to zgodnie z II zasadą dynamiki Newtonadruga zasada dynamikiII zasadą dynamiki Newtona, cząstka ta będzie miała pewne przyspieszenie. Jego kierunek jest tożsamy z kierunkiem wektora natężenia pola, a zwrot zależy od znaku ładunku cząstki. Wektor przyspieszenia możemy zapisać jako

Z II zasady dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie to iloraz siły $\vec{F}$ przez masę cząstki $m$, zatem

Rozłóżmy teraz wektor przyspieszenia na współrzędne wzdłuż poszczególnych osi. Ponieważ współrzędna $x$ natężenia pola jest zerowa, to $a_x = 0$. Natomiast dla składowej $y$ mamy $a_y = qE_y/m$.

Jest to więc ruch jednostajnie przyspieszony, więc prędkość cząstki zmienia się liniowo w czasie:

co także możemy zapisać w języku współrzędnych:

Oznacza to, że współrzędna $v_x$ prędkości jest stała.

Jeszcze raz korzystając z własności ruchu jednostajnie przyspieszonego, możemy znaleźć położenie cząstki w funkcji czasu,

gdzie $\vec{r}_0$ to początkowe położenie cząstki. Dla poszczególnych współrzędnych uzyskujemy więc

(Oczywiście należy pamiętać o związku współrzędnych prędkości początkowej z jej długością i podanym kątem $\alpha$.)

Na podstawie uzyskanego wyniku możemy także wyznaczyć tor cząstki. Mamy

Podstawiając zależność $t(x)$ do równania opisującego $y(t)$ uzyskamy zależność $y(x)$:

Widzimy, że jest to zależność kwadratowa, więc tor będzie miał kształt paraboli. Możemy tę zależność przepisać wykorzystując przemieszczenie cząstki, tj. z pomocą wielkości $\Delta x = x - x_0$ oraz $\Delta y = y - y_0$; otrzymamy

Dobrym przybliżeniem pola jednorodnego jest pole elektrostatyczne obecne między dwiema przeciwnie naładowanymi płaszczyznami (Rys. 3.). Jeśli cząstka zostanie wstrzelona między takie płaszczyzny i $q < 0$, to - po odpowiednio długim czasie - będzie zbliżała się do płaszczyzny naładowanej dodatnio. Jeśli $q > 0$ - do płaszczyzny naładowanej ujemnie.

R1QkMDliQKdCN

Rys. 3. Rysunek składa się z dwóch części. Na obu przedstawiono dwie poziome, naładowane płytki. Przy górnej płytce zapisano znaki plus, przy dolnej znaki minus. Od górnej płytki do dolnej narysowano pionowe linie pola elektrycznego zakończone strzałkami skierowanymi w dół. Na rysunku z lewej strony między płytkami znajduje się cząstka naładowana ujemnie, przedstawiona jako kółeczko ze znakiem minus. Do cząstki przyłożony jest wektor prędkości początkowej skierowany w dół i w prawo i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym zero i strzałką nad nią. Narysowano tor cząstki, który jest styczny do wektora prędkości i początkowo skierowany jest w dół i w prawo. Po osiągnięciu najniższego punktu odchyla się w górę i w prawo, tworząc fragment paraboli, który kończy się na górnej płytce. Na rysunku z prawej strony między płytkami znajduje się cząstka naładowana dodatnio, przedstawiona jako kółeczko ze znakiem plus. Do cząstki przyłożony jest wektor prędkości początkowej taki sam, jak na rysunku z lewej strony. Wektor skierowany w dół i w prawo i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym zero i strzałką nad nią. Narysowano tor cząstki, który jest styczny do wektora prędkości i wygina się dół i w prawo, tworząc fragment paraboli, który kończy się na dolnej płytce.

Słowniczek