Warto przeczytać

Model

W większości e‑materiałów poświęconych falom ośrodek, w którym się rozchodzą, traktuje się jako ośrodek ciągły. Jeżeli wyodrębnimy myślowo pewną jego objętość, to musimy z nią wiązać i pewną masę, i pewne właściwości sprężyste. Może jednak być interesujące rozważenie skrajnie uproszczonego modelu, który przedstawia Rys. 1. Jest to łańcuch jednakowych mas m. Powiązane są one jednakowymi sprężynami o stałej sprężystości k, o których będziemy zakładać, że mają masy zaniedbywalnie małe. Przyjmiemy też, że kiedy w układzie nie ma fali, sprężyny nie są napięte, co przedstawia górna część rysunku, podpisana a.

R1O347O7vDmBV

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczne są dwa łańcuchy jedenastu połączonych ze sobą jednakowych mas. Łańcuchy mas widoczne są w postaci jedenastu, takich samych niebieskich kulek połączonych ze sobą w kierunku poziomym. Łańcuchy widoczne są jeden pod drugim. Górny łańcuch przedstawia jedenaście połączonych ze sobą niebieskich kulek równo odległych od siebie. Przez każdą z kulek poprowadzono pionowy, czarny odcinek, dzieląc je na części prawą i lewą. U góry każdego z odcinka zaznaczono jego położenie mała litera x, począwszy od mała litera x z indeksem dolnym zero dla kulki widocznej najbardziej po lewej stronie a skończywszy na mała litera x z indeksem dolnym dziesięć najbardziej po prawej stronie. Wszystkie masy połączone są falistą, czerwoną linią. Odległość pomiędzy położeniem mała litera x z indeksem dolnym zero a mała litera x z indeksem dolnym osiem oznaczono jako długość fali mała grecka litera lambda. Odległość tę oznaczono u góry nad masami podwójną, poziomą strzałką, zakończoną grotami na obu końcach. Odległość pomiędzy położeniami mała litera x z indeksem dolnym dziewięć i mała litera x z indeksem dolnym dziesięć opisano małą literą d i również zaznaczono w postaci poziomej strzałki nad masami, zakończonej grotami na obu końcach. Dolny łańcuch mas widoczny jest również w postaci jedenastu niebieskich kulek przesuniętych względem mas widocznych u góry. Masy w dolnym łańcuchu nie są równo odległe od siebie. Odległości pomiędzy kolejnymi masami dla pięciu pierwszych po lewej stronie są mniejsze niż w górnym łańcuchu. Odległości pomiędzy masami od piątej do dziewiątej są większe niż w górnym łańcuchu. Następnie odległości pomiędzy kolejnymi masami zmniejszają się. Widoczna najbardziej po lewej stronie masa w dolnym łańcuchu jest przesunięta względem pierwszej masy w górnym łańcuchu w prawo. Różnicą położenia między tymi masami opisano poziomą, czarną strzałką skierowaną w prawo i wielką literą U z indeksem dolnym zero. Taką samą sytuacją obserwujemy dla drugich od lewej masz w górnym i dolnym łańcuchu. Różnicą odległości między nimi opisano wielką literą U z indeksem Dolnym jeden. Położenie trzecich od lewej ma w obu łańcuchach jest takie samo. Kolejne dwie masy czwarta i piąta w łańcuchu dolnym są przesunięte w lewo względem ich odpowiedników w łańcuchu górnym. Różnicę ich położeń opisano także wielkimi literami U z indeksami kolejno trzy i cztery. Położenie siódmych od lewej ma w obu łańcuchach jest takie samo. Podobnie jak ostatnich mas po prawej stronie. Masy od ósmej do dziesiątej w łańcuchu dolnym są przesunięte w prawo względem odpowiedników w łańcuchu górnym. Różnicę ich położeń opisano także wielkimi literami U z indeksami kolejno siedem, osiem i dziewięć.

Przypuśćmy, że przez nasz układ biegnie podłużna fala harmoniczna. Wtedy każda z mas poruszać się będzie ruchem harmonicznym. Amplitudy A i okresy T tych ruchów będą jednakowe, a fazy – na ogół różne (patrz dolna część Rys. 1. b).

Zauważmy istotny szczegół różniący nasze masy od kulek zawieszonych na sprężynach, czy wahadła matematycznego. Mają one zwykle jakiś punkt zaczepienia, z którym wiąże się położenie równowagi. Jeżeli nasz łańcuch jest swobodny – nie zamocowany na końcach – żadnego położenia równowagi nie ma. Można by go całego jednorodnie przesunąć – i nie spowodowałoby to powstania żadnych sił działających na masy. Wiąże się to z tym, że każda z mas oddziałuje za pomocą sprężynek tylko z dwoma sąsiadami.

Siły działające na masy

Rozpatrzmy trójkę mas naszego układu. Kiedy nie ma fali, położenie lewej masy jest równe xIndeks dolny l_l, środkowej masy równe xIndeks dolny s_s, a prawej równe xIndeks dolny p_p. Odległość pomiędzy środkami sąsiednich mas jest równa d (Rys. 2.).

R1NmCF3hOdxRS

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczne są dwa poziome łańcuchy, zawierające po trzy połączone masy. Masy narysowane są w postaci identycznych, niebieskich kulek. W górnym łańcuchu widoczne są trzy masy, równo odległe od siebie i połączone falistą, czerwoną i ciągłą linią. Położenie pierwszej masy opisano małą literą x z indeksem dolnym jeden, drugiej małą literą x z indeksem dolnym mała litera s a trzeciej mała litera x z indeksem dolnym mała litera p. Odległość między środkową i prawą masą opisaną małą literą d i zaznaczono poziomą, dwustronną strzałką zakończoną grotami na obu końcach. W dolnym łańcuchu widoczne są również trzy masy, lecz ich odległości nie są równe. Odległość pomiędzy wewnętrznymi punktami dwóch pierwszych masz po lewej stronie są równe odległością mas w łańcuchu górnym. Odległość pomiędzy najbliższymi punktami masy środkowej i najbardziej po prawej jest znacznie większa. Masy w dolnym łańcuchu są przesunięte w prawo względem ich odpowiedników w łańcuchu górnym. Odległość pomiędzy środkami mas w łańcuchach górnym i dolnym dla mas najbardziej po lewej opisano wielką literą U z indeksem dolnym mała litera l  i oznaczono poziomą strzałką skierowaną w prawo. Odległość pomiędzy środkami mas w łańcuchach górnym i dolnym dla mas środkowych opisano wielką literą U z indeksem dolnym mała litera s i oznaczono poziomą strzałką skierowaną w prawo. Odległość pomiędzy środkami mas w łańcuchach górnym i dolnym dla mas najbardziej po prawej opisano wielką literą U z indeksem dolnym mała litera p i oznaczono poziomą strzałką skierowaną w prawo. Różnica odległości dla mas najbardziej po lewej stronie jest najmniejsza, a dla tych najbardziej po prawej stronie jest największa.

Przypuśćmy, że fala wywołała przesunięcia mas, odpowiednio o UIndeks dolny l_l, UIndeks dolny s_s i UIndeks dolny p_p. W sytuacji przedstawionej na Rys. 2. obie sprężynki zostały rozciągnięte, ale prawa bardziej niż lewa. Sprężyna rozciągnięta o $\mathrm{\text{Δx}}$ działa siłą $F=-k\Delta x$ ( znak „-” jest związany z tym, że siła działa przeciwnie do wychylenia; przy obliczaniu wartości siły nie będzie brany pod uwagę). Oznacza to, że prawa sprężynka działa na środkową masę w prawo siłą o wartości:

Lewa sprężynka działa na środkową masę w lewo siłą o wartości:

Siły te działają w przeciwne strony, więc wypadkowa siła jest równa:

Ostatni człon wskazuje, że siła pojawia się wtedy, kiedy położenie środkowej masy nie pokrywa się ze średnią położeń mas prawej i lewej. Oznacza to na przykład, że jednorodne przesunięcie, dla którego UIndeks dolny l_l = UIndeks dolny s_s = UIndeks dolny p_p, nie powoduje powstania siły.

Siły w obecności fali harmonicznej

Przyjmijmy, że położenie xIndeks dolny n_n n-tej masy w układzie, przy nieobecności fali jest równe

Trzy kolejne masy i ich położenia zostały przedstawione na górnej części Rys. 3.

R1Qt0HKkI2S5U

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczne są trzy kolejne masy ich położenia w obecności fali harmonicznej. Na rysunku widoczne są dwa poziome łańcuchy mas, jeden pod drugim. Masy widoczne są w postaci takich samych czerwonych kulek. W górnym łańcuchu wszystkie masy są równo odległe od siebie. Leżą one na poziomej niebieskiej ciągłej linii. Odległość pomiędzy dwoma pierwszymi masami po lewej stronie opisano małą literą d i oznaczono poziomą, podwójną strzałką, zakończoną grotami na obu końcach. Położenia środków mas w łańcuchu górnym oznaczono poziomymi przerywanym i czarnymi liniami przechodzącymi przez ich środki. Położenie masy po lewej stronie opisana małą literą x z indeksem dolnym mała litera n odjąć jeden równe w nawiasie mała litera n odjąć jeden i cały nawias pomnożony przez odległość mała litera d. Położenie środkowej masy oznaczono małą literą x z indeksem dolnym mała litera n równe iloczynowi mała litera n razy odległość mała litera d. Położenie masy po prawej stronie opisana małą literą x z indeksem dolnym mała litera n dodać jeden równe w nawiasie mała litera n dodać jeden i cały nawias pomnożony przez odległość mała litera d. Masy w dolnym łańcuchu są przesunięte w prawo względem ich odpowiedników w łańcuchu górnym. Odległości pomiędzy odpowiadającymi sobie masami w łańcuch górnym i dolnym opisano wielkimi literami z indeksami dolnymi kolejno mała litera n odjąć jeden, mała litera n i mała litera n dodać jeden. Różnicę odległości środków mas pomiędzy odpowiadającymi sobie kulkami w łańcuchu górnym i dolnym oznaczono poziomymi strzałkami skierowanymi w prawo. Odległość pomiędzy masami widocznymi, najbardziej po lewej stronie jest najmniejsza, a odległość pomiędzy masami po prawej stronie jest największa.

Jeśli w układzie zacznie rozchodzić się fala harmoniczna (e‑materiał pt.: „Równanie fali”) opisana równaniemrównanie falirównaniem

To wychylenie UIndeks dolny n_n n-tej masy z położenia xIndeks dolny n_n jest równe

Każda z mas porusza się ruchem harmonicznym. Wiemy, że w takim ruchu wartość siłysiła harmonicznasiły jest proporcjonalna do wychylenia(dla sprężyny było to $F=-k\Delta x$), ale ma zwrot przeciwny. Możemy wiec napisać

Można oczekiwać, że współczynnik B zależy od długości fali, ponieważ jeżeli przy niezmienionej amplitudzie A długość fali wzrośnie, odkształcenia sąsiednich sprężyn zmaleją. Zatem B powinno maleć ze wzrostem długości fali. Jeżeli ze wzrostem λlambda maleje siła działająca na masę, powinna zmaleć również częstotliwość kołowa ruchu $\omega =\frac{2\pi }{T}$.

Fale w monokrysztale

Tak naprawdę żaden ośrodek materialny nie jest idealnie ciągły, bo ma budowę atomową. Jeżeli fala rozchodzi się w monokrysztalemonokryształmonokrysztale, warstwy atomów mogą być potraktowane jak nasze masy, a siły chemiczne między warstwami – jako nasze sprężynki. Taki opis rozchodzenia się fal bardzo dobrze opisuje rozchodzenie się fal np. w sodzie.

Słowniczek