Przedstawienie prostopadłościanu na płaszczyźnie poprzez rozcięcie niektórych jego krawędzi tak, aby możliwe było rozłożenie jego ścian na płaszczyźnie nazywamy siatką prostopadłościanu.

RhLWeSYOY0Ipj

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu. Kolejno od lewej strony znajdują się, prostokąt o bokach długości b i c, prostokąt o długościach boków a i b, prostokąt o długościach boków b i c, prostokąt o bokach długości a i b. Nad drugim w kolejności prostokątem, oraz pod nim, znajdują się prostokąty o bokach długości a i c.

Obliczymy sumę długości krawędzi prostopadłościanu, jeżeli jego siatkę przedstawiono na poniższym rysunku.

RH17FkGOoKjcw

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu, składającego się ze ścian o wymiarach 10 centymetrów na 12 centymetrów, 24 centymetry na 12 centymetrów, oraz 10 centymetrów na 24 centymetry.

Rozwiązanie:

W każdym prostopadłościanie jest $12$ krawędzi.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$a$ – długość,

$b$ – szerokość,

$c$ – wysokość.

Wówczas:

$a=12 \mathrm{cm}$

$b=10 \mathrm{cm}$

$c=24 \mathrm{cm}$

Jeżeli $S$ jest sumą długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu, to:

$S=4·12 \mathrm{cm}+4·10 \mathrm{cm}+4·24 \mathrm{cm}=48 \mathrm{cm}+40 \mathrm{cm}+96 \mathrm{cm}=184 \mathrm{cm}$.

Uzasadnimy, dlaczego poniższe rysunki nie mogą przedstawiać siatek prostopadłościanów.

a)

R1dQ4OjfLDGc1

Na ilustracji przedstawiono siatkę, składającą się z trzech, przyległych do siebie prostokątów. Do górnej, oraz dolnej podstawy środkowego prostokąta przylega mniejszy prostokąt.

Rozwiązanie:

Rysunek nie przedstawia siatki prostopadłościanu, ponieważ w każdym prostopadłościanie jest sześć ścian: trzy pary przystających prostokątów.

b)

RHmlXafTkJeho

Na ilustracji przedstawiono siatkę, składającą się z czterech, przyległych do siebie prostokątów. Do górnej podstawy, drugiego z kolei prostokąta przylega trójkąt równoboczny, oraz do jego dolnej podstawy przylega mniejszy prostokąt.

Rozwiązanie:

Rysunek nie przedstawia siatki prostopadłościanu, ponieważ podstawy oraz ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami.

Narysujemy siatkę prostopadłościanu, jeżeli długości jego krawędzi pozostają w stosunku $1:1,5:2$, a pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe $52 {\mathrm{cm}}^2$.

Rozwiązanie:

Jeżeli długości krawędzi $a$, $b$, $c$ prostopadłościanu pozostają w stosunku $1:1,5:2$, to:

$b=1,5·a$ oraz $c=2·a$

Ponieważ pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $52 {\mathrm{cm}}^2$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$52=2·a·1,5a+2·1,5a·2a+2·a·2a$

$52=3a^2+6a^2+4a^2$

$52=13a^2$

$a^2=4\Rightarrow a=2$

Zatem długości krawędzi prostopadłościanu wynoszą odpowiednio:

$a=2 \mathrm{cm}$

$b=1,5·2 \mathrm{cm}=3 \mathrm{cm}$

$c=2·2 \mathrm{cm}=4 \mathrm{cm}$

Wobec tego rysunek siatki omawianego prostopadłościanu przedstawia się następująco:

RTubpNUcvo4FV

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu, składającą się przyległych do siebie kolejno prostokątów, o następujących wymiarach. Ściana 2 centymetry na 4 centymetry, 3 centymetry na 4 centymetry, 2 centymetry na 4 centymetry, 3 centymetry na 4 centymetry. Do drugiego z kolei prostokąta, o wymiarach 3 centymetry na 4 centymetry, do górnej, oraz do dolnej podstawy przylega prostokąt o wymiarach 2 centymetry na 3 centymetry.

Obliczymy objętość prostopadłościanu, którego siatka została przedstawiona poniżej wiedząc, że pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe $208 c{m}^2$.

R5DJ1swb6AadZ

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu składającą się z przyległych do siebie prostokątów a, b i c. Kolejno od lewej znajdują się prostokąt a, b, a, oraz b. Do dolnej podstawy pierwszego prostokąta a, przylega prostokąt c, są one styczne do siebie krótszymi bokami. Do górnej podstawy drugiego z kolei prostokąta b, przylega prostokąt c, są styczne od siebie dłuższymi bokami. Suma dłuższego boku prostokąta a, oraz dłuższego boku prostokąta c wynosi 14 centymetrów. Krótszy bok prostokąta a, jest równy 4 centymetry.

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez $a$ i $b$ długości krawędzi podstaw oraz przez $c$ długość wysokości prostopadłościanu.

Z rysunku wynika, że $a=4 cm$ oraz $b+c=14 cm$.

Ponieważ pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu wynosi $208 c{m}^2$, wobec tego rozwiązujemy równanie:

$208=2·4·b+2·4·c+2·b·c$

Skoro $b+c=14$, zatem $c=14-b$.

Do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$208=2·4·b+2·4·(14-b)+2·b·(14-b)$

$208=8b+112-8b+28b-2b^2$

$-2b^2+28b-96=0$

$-b^2+14b-48=0$

Zatem

$b_1=\frac{-14-2}{-2}=8$

$b_2=\frac{-14+2}{-2}=6$

Ponieważ $c=14-b$, więc $c_1=6$ oraz $c_2=8$

Objętość prostopadłościanu, którego siatkę przedstawiono na rysunku wynosi:

$V=a·b·c$

$V=4·6·8=192 c{m}^3$

Obliczymy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, którego siatkę przedstawiono na poniższym rysunku.

ROZM4n3lLwzVx

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu składającą się z przyległych do siebie dłuższym bokiem, prostokątów a, b i c. Kolejno od lewej znajdują się, prostokąt a, b, a, oraz b. Do górnej, oraz dolnej podstawy pierwszego prostokąta a, przylega dłuższym bokiem prostokąt c. Dłuższy bok prostokąta a, ma długość dwanaście, natomiast krótszy bok prostokąta c, ma długość dwa. Kąt między przekątną wszystkich ścian bocznych na płaszczyźnie, a sumą długości podstaw tych ścian wynosi trzydzieści stopni.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że $b=2$ oraz $c=12$.

Niech $a$ będzie długością nieznanej krawędzi podstawy, którego siatkę przedstawiono na rysunku.

Wobec tego:

$2·a+2·2=12\sqrt{3}$

$2a+4=12\sqrt{3}$

$2a=12\sqrt{3}-4$

Zatem $a=6\sqrt{3}-2$.

Skoro $a=6\sqrt{3}-2$, $b=2$, $c=12$, to pole powierzchni prostopadłościanu wynosi:

$P=2·a·b+2·a·c+2·b·c$

$P=2·\left(6\sqrt{3}-2\right)·2+2·\left(6\sqrt{3}-2\right)·12+2·2·12=$

$=24\sqrt{3}-8+144\sqrt{3}-48+48=168\sqrt{3}-8$.

przedstawienie bryły na płaszczyźnie w taki sposób, aby po wycięciu dało się złożyć model tej bryły

równoległościan, którego wszystkie ściany są prostokątami